專題7.5復(fù)數(shù)的三角表示（重難點(diǎn)題型精講）1．復(fù)數(shù)的三角表示式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復(fù)數(shù)z.

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.(2)輔角的主值

顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是+2kπ，其中k可以取任何整數(shù).對(duì)于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.2．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到

=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，

即(+i)(+i)=[(+)+i(+)].

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示設(shè)=(+i)，=(+i)，且≠，因?yàn)?+i)[(-)+i(-)]=(+i)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有=[(-)+i(-)].這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.(2)幾何意義如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)，相除時(shí)，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.【題型1求輔角主值】【方法點(diǎn)撥】求輔角主值時(shí)，要考慮角的范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”來判斷是否為三角形式，再進(jìn)行求解.【例1】（2022秋·遼寧·高二開學(xué)考試）z=1?3i（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值argzA．53π B．116π C．【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）2的輻角主值為（

）．A．π2 B．3π2 C．0【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)cosπ4?A．π4 B．3π4 C．5π4【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)π<θ<5π4，則復(fù)數(shù)cos2θ+A．2π?3θ B．3θ?2π C．3θ D．3θ?π【題型2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：①求出模；②確定輻角的主值；③寫出三角形式.將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，只需要將其中蘊(yùn)含的三角函數(shù)值求出數(shù)值即可.【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式(1)tanθ+(2)1+cos【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化下列復(fù)數(shù)為三角形式．(1)－1＋3i；(2)1－i；(3)2i；(4)－1．【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：(1)sin5π(2)cosα?【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：(1)?3(2)?1?3(3)?2cos(4)2sin【題型3三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)三角形式下的乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加；復(fù)數(shù)三角形式下的乘方法則：模數(shù)乘方，輻角n倍；復(fù)數(shù)三角形式下的除法法則：模數(shù)相除，輻角相減.【例3】（2022春·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學(xué)校考期中）棣莫弗公式(cosx+isinx)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算2cos75°+iA．?62+C．22?6【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1＝2cosπ12+isinπ12，z2＝3cosA．6cosπ4C．3－3i D．3＋3i【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)向量為OZ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)|OZ|=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1=rA．1024?10243i B．?1024+10243i C．【題型4復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)行求解即可.【例4】把復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2π3A．1?32+C．?1+32+【變式4-1】設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1?i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量OZ1，將OZ1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)56π后得到向量OZ2A．2?3 B．?2+3 C．2+3【變式4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量OM繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π4，得到的向量為OM1A．2i B．2i C．22+【變式4-3】設(shè)復(fù)數(shù)z1=2sinθ+icosθπ4<θ<π2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量OZ1，將向量OZ1A．2tanθ+12tanθ?1 B．2tan專題7.5復(fù)數(shù)的三角表示（重難點(diǎn)題型精講）1．復(fù)數(shù)的三角表示式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復(fù)數(shù)z.

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.(2)輔角的主值

顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是+2kπ，其中k可以取任何整數(shù).對(duì)于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.2．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到

=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，

即(+i)(+i)=[(+)+i(+)].

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示設(shè)=(+i)，=(+i)，且≠，因?yàn)?+i)[(-)+i(-)]=(+i)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有=[(-)+i(-)].這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.(2)幾何意義如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)，相除時(shí)，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.【題型1求輔角主值】【方法點(diǎn)撥】求輔角主值時(shí)，要考慮角的范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連”來判斷是否為三角形式，再進(jìn)行求解.【例1】（2022秋·遼寧·高二開學(xué)考試）z=1?3i（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值argzA．53π B．116π C．【解題思路】復(fù)數(shù)可以寫成z=rcosθ+i【解答過程】z=1?3i=212?故選：A.【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）2的輻角主值為（

）．A．π2 B．3π2 C．0【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，若輻角主值為π2，則z=rcosπ對(duì)于B，若輻角主值為3π2，則z=rcos對(duì)于C，若輻角主值為0，則z=rcos0+isin0對(duì)于D，由于輻角主值的范圍為0,2π，不可能為2故選：C.【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)cosπ4?A．π4 B．3π4 C．5π4【解題思路】將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，即可求出輻角的主值．【解答過程】復(fù)數(shù)cos=cos所以復(fù)數(shù)cosπ4?故選：D.【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)π<θ<5π4，則復(fù)數(shù)cos2θ+A．2π?3θ B．3θ?2π C．3θ D．3θ?π【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式下的乘除運(yùn)算及輻角的定義即可求解．【解答過程】解：cos2θ+因?yàn)棣?lt;θ<5π所以3π<3θ<15π4，所以所以該復(fù)數(shù)的輻角主值為3θ?2π．故選：B.【題型2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：①求出模；②確定輻角的主值；③寫出三角形式.將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，只需要將其中蘊(yùn)含的三角函數(shù)值求出數(shù)值即可.【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式(1)tanθ+(2)1+cos【解題思路】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式及誘導(dǎo)公式，再結(jié)合復(fù)數(shù)表示的三角形式即可求解；【解答過程】(1)tanθ+∵θ∈(0,πtanθ+(2)1+=2cos∵當(dāng)0≤α<π時(shí)，0≤α2∴1+cos當(dāng)π≤α<2π時(shí)，π2∴1+=?2cos【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化下列復(fù)數(shù)為三角形式．(1)－1＋3i；(2)1－i；(3)2i；(4)－1．【解題思路】對(duì)于（1）、（2）、（3）、（4）四個(gè)小題，分別求出模和輻角主值，即可寫出對(duì)應(yīng)的三角形式.【解答過程】(1)因?yàn)閦=－1＋3i，所以a＝－1，b＝3，則r＝(?1)2+(3)而對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(－1，3)在第二象限，θ的主值為23∴－1＋3i＝2(cos(2)因?yàn)閦=1－i，所以a＝1，b＝-1，則r＝12+(?1)而對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(1，-1)在第四象限，θ的主值為74∴－1＋3i＝2((3)因?yàn)閦=2i，所以a＝0，b＝2，則r＝2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(0，2)在y軸正半軸上，θ的主值為12∴2i＝2(cos(4)因?yàn)閦=－1，所以a＝－1，b＝0，則r＝1，對(duì)應(yīng)點(diǎn)M(-1，0)在x軸正半軸上，θ的主值為π.∴－1＝cosπ+【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：(1)sin5π(2)cosα?【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式直接可得；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化即可.【解答過程】（1）sin5π（2）cosα?【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：(1)?3(2)?1?3(3)?2cos(4)2sin【解題思路】求出各復(fù)數(shù)的模和輻角，化簡(jiǎn)成r(cos【解答過程】（1）?3（2）?1?3（3）?2cos（4）2sin【題型3三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)三角形式下的乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加；復(fù)數(shù)三角形式下的乘方法則：模數(shù)乘方，輻角n倍；復(fù)數(shù)三角形式下的除法法則：模數(shù)相除，輻角相減.【例3】（2022春·江蘇無錫·高二江蘇省天一中學(xué)?？计谥校╅δス?cosx+isinx)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)棣莫弗公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可．【解答過程】由棣莫弗公式知，cos=cos(π+∴復(fù)數(shù)cosπ6+故選：C．【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算2cos75°+iA．?62+C．22?6【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算公式運(yùn)算即可.【解答過程】因?yàn)?所以2cos所以2cos故選：B.【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1＝2cosπ12+isinπ12，z2＝3cosA．6cosπ4C．3－3i D．3＋3i【解題思路】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，計(jì)算即可得解.【解答過程】z===3故選:D.【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)向量為OZ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)|OZ|=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1=rA．1024?10243i B．?1024+10243i C．【解題思路】先將z=?1+3【解答過程】由題意，得當(dāng)z=?1+3i時(shí)，r=2，∴(?1+=2∵cos20π∴210故選：D.【題型4復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)行求解即可.【例4】把復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2π3A．1?32+C．?1+32+【解題思路】由題意用復(fù)數(shù)1+i乘以cos【解答過程】復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2(1+=(1+=?=?1+故選：B.【變式4-1】設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1?i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量OZ1，將OZ1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)56π后得到向量OZ2A．2?3 B．?2+3 C．2+3【解題思路】將給定的復(fù)數(shù)化成三角形式，再利用復(fù)數(shù)乘法的三角形式求出z2【解答過程】復(fù)數(shù)z1=2[cos(5π依題意，z2因此復(fù)數(shù)z2的輻角主值θ=5π12故選：C.【變式4-2】（2022·高一課時(shí)