第01講空間向量的概念與運(yùn)算【人教A版2019】模塊一模塊一空間向量及其線性運(yùn)算1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【題型1空間向量的線性運(yùn)算及其含參問(wèn)題】【例1.1】（2324高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，G為△ACD的重心，則FG=（

A．?B．?C．1D．1【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，將FG用AB,【解答過(guò)程】因?yàn)镋,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，所以AF=因?yàn)镚為△ACD的重心，所以AG=所以FG=故選：B.【例1.2】（2324高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在四面體ABCD中，點(diǎn)E滿足DE=λDC，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，且AF=1A．14 B．13 C．12【解題思路】由空間向量線性和基本定理運(yùn)算可解.【解答過(guò)程】由F為BE的中點(diǎn)，得AF又AF所以AE=2得AE即AE=λAC故選：D.

【變式1.1】（2324高二上·河南開(kāi)封·期末）已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則EF=（

A．12AD?C．AF?12【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF=對(duì)于B，EF=對(duì)于C，EF=對(duì)于D，EF=故選：AC.【變式1.2】（2223高二上·廣西防城港·期末）如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若OE=12OD+xA．?2 B．0 C．?1 D．3【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出OE=【解答過(guò)程】∵E為OC的中點(diǎn)，∴OE∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∴OE∵OE∴x=12，∴x+y=0，故選：B.【題型2向量共線的判定及應(yīng)用】【例2.1】（2324高二上·遼寧·期中）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足CD=yAC，列方程組，求出【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=?3e1所以AC=因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以存在唯一的即4e即4=?2y2=yλ?18=?4y故選：A.【例2.2】（2324高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點(diǎn)F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【解題思路】根據(jù)共線定理及空間向量線性運(yùn)算可得結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖：連接DG交BC于H，則H為BC中點(diǎn)，連接AH,EH,AG,因?yàn)锳G?平面AHD，EH?平面AHD，設(shè)AG∩EH=K，則K∈EH,K∈AG，又EH?平面BCE，所以K∈平面BCE，故K為AG與平面BCE的交點(diǎn)，又因?yàn)锳G與平面BCE交于點(diǎn)F，所以F與K重合，又E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心，因?yàn)辄c(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，則AF=m=又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，則AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故選：C.【變式2.1】（2324高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【解題思路】將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問(wèn)題求證即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=?所以BC//BD，又所以B，C，D三點(diǎn)共線．【變式2.2】（2324高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【解題思路】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=3【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)锳1E=2所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB與FB相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【題型3向量共面的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2324高二上·江西九江·期末）對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=1是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)共面向量定理判斷點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，向量AP，AB，AC共面，得到P，【解答過(guò)程】解：若x+y+z=1，則OP=1?y?zOA由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)，OA=0，x可取任意值，不一定有所以x+y+z=1是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充分不必要條件．故選：B．【例3.2】（2324高二上·山東聊城·期中）在四面體OABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+16OB+λOC，若A．12 B．13 C．512【解題思路】根據(jù)向量共面定理求解．【解答過(guò)程】由題意MA=OA?OM=∵M(jìn)A，MB，MC共面，∴存在實(shí)數(shù)唯一實(shí)數(shù)對(duì)(m,n)，使得MA=m12OA?∴?12m?故選：B．【變式3.1】（2324高二·湖南·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【解題思路】利用共面向量定理證明，由EG=【解答過(guò)程】證明：因?yàn)閺?ABCD所在平面外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且滿足OEOA=OFOB=OGOC=OH而在?ABCD中，有AC=EG=k=EF故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，證畢.【變式3.2】（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：平面ABCD//平面EFCH(3)求證：OG=k【解題思路】（1）利用空間向量共面定理即可求證；（2）由空間向量線性運(yùn)算可得EG=kAC，由空間向量共線定理可證明AC//EG，再由線面平行的判定定理可得EG//平面ABCD（3）由（2）知EG=k【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳C=AD+m所以AC，AD，AB共面，即A，B，C，D四點(diǎn)共面．因?yàn)镋G=EH+m所以EG，EH，EF共面，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）連接HF，BD，EG=kAD+kmAB又因?yàn)镋G?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以EG//平面ABCD因?yàn)镕H=OH?又FH?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FH//平面ABCD因?yàn)镋G與FH相交，所以平面ABCD//平面EFGH（3）由（2）知EG=kAC，所以模塊二模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算求兩個(gè)向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【題型4求空間向量數(shù)量積及其最值】【例4.1】（2324高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱錐O?ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,OB=OC=2OA=2,E為OC的中點(diǎn)，則AEA．1 B．0 C．1 D．3【解題思路】由題意可得AE=【解答過(guò)程】因?yàn)椤螦OB=∠AOC=∠BOC=60所以O(shè)C?OA?OA?因?yàn)锳E=AE=1故選：C.【例4.2】（2324高二下·江蘇常州·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)有一內(nèi)切球O，點(diǎn)A．?2,2 B．0,2 C．?2,4 D．0,4【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P(x,y,z)，可知PA?PC=x?12+y?1【解答過(guò)程】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，所以PA=(2?x,?y,?z)，PC所以PA?因?yàn)閤?12+y?12+所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,1,2)時(shí)，PA?PC取得最大值為當(dāng)P與點(diǎn)M(1,1,0)重合時(shí)，PA?PC取得最小值所以PA?PC的取值范圍為：故選：A.【變式4.1】（2324高二上·河南·階段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為2，MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個(gè)點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN最長(zhǎng)時(shí)，PM?PN的最大值為（A．13 B．43 C．16【解題思路】求出正四面體內(nèi)切球的半徑，確定弦MN最長(zhǎng)時(shí)，MN為內(nèi)切球直徑，它的中點(diǎn)是球心O，由數(shù)量積運(yùn)算律得PM?PN=【解答過(guò)程】如圖,正四面體ABCD中，AH是四面體的高，AH與底面上直線CH垂直，由對(duì)稱性知其內(nèi)切球球心O必在高AH上，利用體積法（四面體ABCD的體積等于四個(gè)三棱錐O?ABC,O?ABD,O?BCD,O?ACD的體積和）可得OH=1而CH=23×所以O(shè)H=14AH=66弦MN最長(zhǎng)時(shí)，MN為內(nèi)切球直徑，它的中點(diǎn)是球心O，PM?PN=(PO+易知當(dāng)P是正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，PO最大，所以PM?PN的最大值是故選：B．【變式4.2】（2324高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，空間中存在一動(dòng)點(diǎn)PA．存在點(diǎn)P，使得I1=I2 C．對(duì)任意的點(diǎn)P，有I1>I2 【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由B1P=1，設(shè)P的坐標(biāo)為x,y,z，可得x、y、z的取值范圍都為?1,1【解答過(guò)程】以B1A1為x軸，B1C1為y軸，則B0,0,2，A4,0,2、D4,3,2，C所以AB=?4,0,0，AP=x?4,y,z?2，AD=因?yàn)锽1P=1，所以，x2+y2I1=ABI3I1I1?I3=?3y+2B1P=I2故選：C．【題型5空間向量的夾角、垂直問(wèn)題】【例5.1】（2324高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．23 B．?23 C．3【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算法則和數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件可求AA【解答過(guò)程】因?yàn)锳=所以AAcosA故選：B.【例5.2】（2324高二上·浙江湖州·期中）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 【解題思路】首先根據(jù)OA為單位向量得到m2+n2=1，再利用OA與OC的夾角等于π4，得【解答過(guò)程】∵空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p與向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA?OC=m+n又OA為單位向量，∴m聯(lián)立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故選：C.【變式5.1】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【解題思路】（1）利用數(shù)量積的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得AO?（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得AO?CD1=0【解答過(guò)程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意知，AB?AO=AO=故AO?故cosAO（3）由題意，AB?AO=1故AO與CD【變式5.2】（2324高二上·山東棗莊·期中）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求證：D,M,B(2)當(dāng)AA1AB【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何表示可得DN=（2）設(shè)AA1=c，【解答過(guò)程】（1）在平行六面體ABCD?A1B因?yàn)锳1所以MBDN=所以DN=MB1，即DN=MB1且（2）當(dāng)AA1AB設(shè)AA1=c，AD=b，AB=a，且c與因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以b=∵A∵A若AC1⊥AC即a2解得a=c或即AA1AB【題型6利用空間向量的數(shù)量積求?！俊纠?.1】（2324高二上·湖北荊門(mén)·期末）已知平面α和平面β的夾角為60°，α∩β=l，已知A，B兩點(diǎn)在棱上，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=BD=6，則CD的長(zhǎng)度為（

）A．213 B．231 C．62 D．【解題思路】由題意可得二面角的大小為60°或120°，則CA,BD=60°或120°，將CD【解答過(guò)程】平面α和平面β的夾角為60°，則二面角的大小為60°或120°，因?yàn)锳C⊥AB,BD⊥AB，所以CA,BD=60°由題可知CD=∴=36+16+36+0+0+2×6×6×±故CD2=52或∴CD=213故選：D.【例6.2】（2324高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段CC1上，動(dòng)點(diǎn)P在平面A．1,2 B．62,3 C．【解題思路】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Pa,b,1，M則A1,0,0,B1,1,0因?yàn)锳P⊥平面MBD1，所以即AP?BD所以AP=t,1?t,1，所以又0≤t≤1，所以當(dāng)t=12時(shí)，即M是CC1的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)t=0或1，即M與點(diǎn)C或C1重合時(shí)，AP取得最大值2所以線段AP長(zhǎng)度的取值范圍為62故選：C.【變式6.1】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足ON=2NM，點(diǎn)P滿足(1)用向量OA，OB，(2)求|OP【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）先計(jì)算OP2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镸是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足ON=2NM，點(diǎn)P滿足所以O(shè)P=OA+（2）因?yàn)檎拿骟w（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，所以O(shè)A=OB=所以O(shè)A?所以O(shè)P==116+【變式6.2】（2324高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=

(1)求AB?(2)求A1【解題思路】（1）根據(jù)AB?（2）化簡(jiǎn)可得A1O=12【解答過(guò)程】（1）AB?（2）因?yàn)锳1所以A===9+4+18+6?18?12所以A1O的長(zhǎng)為模塊模塊三空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型7空間向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算】【例7.1】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a=(1)若a∥b，分別求λ與(2)若a=5，且與c=【解題思路】（1）利用向量平行的條件即可求解；（2）利用向量的模公式及向量垂直的條件即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍∥所以設(shè)λ+1,1,2λ=k所以λ+1=6k1=k2m?12λ=2k所以λ=15，（2）因?yàn)閍=5，且與所以λ+12+12+故a=【例7.2】（2324高二上·安徽宿州·期中）已知空間向量a=(1)若c//a，且a?(2)若a⊥b，且m>0,n>0，求【解題思路】（1）直接由向量共線定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式運(yùn)算即可求解.（2）首先由向量垂直的坐標(biāo)表示得到條件等式，結(jié)合基本不等式即可求解，注意取等條件是否成立.【解答過(guò)程】（1）由題意c//a，a=又a?從而a?解得λ=2，所以c=λ（2）由題意a⊥b，所以a?又因?yàn)閙>0,n>0，所以由基本不等式可得2m+3n=4≥26mn，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=解得mn≤2所以當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=23時(shí)，mn的最大值為【變式7.1】（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知向量a=(1)求a?2(2)當(dāng)c=22時(shí)，若向量ka+b與c(3)若向量c與向量a,b共面向量，求【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式求解即可.（2）根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，可得坐標(biāo)表示，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算公式，求解即可.（3）根據(jù)向量共面定理，建立向量c與向量a,【解答過(guò)程】（1）∵a=?2,?1,2∴a∴a（2）因?yàn)閨c所以x2+2因?yàn)閗a+b=(?2k?1,1?k,2k+2)，且向量所以(ka+即2?2k+4k+4=2k+6=0，∴k=?3．所以實(shí)數(shù)x和k的值分別為0和?3；（3）解：設(shè)c=λa+μ則(x,2,2)=λ(?2,?1,2)+μ(?1,1,2)解得，x=?即c=?所以向量c與向量a，b共面．【變式7.2】（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，(1)求a，b夾角的余弦值．(2)若向量ka+b，k(3)若向量λa?b，a【解題思路】（1）利用夾角公式可求夾角的余弦值.（2）利用向量垂直的坐標(biāo)形式可求參數(shù)的值.（3）利用共線向量定理可求參數(shù)的值.【解答過(guò)程】（1）a=(1,1,0)，b故cos?（2）由（1）可得ka+b因?yàn)橄蛄縦a+b，k整理得到：2k2+k?10=0，故k=2（3）由（1）可得a,b不共線，故λa若向量λa?b，a?λb整理得到：(λ?t)a因?yàn)閍,b不共線，故{λ?t=0tλ?1=0，故故λ=±1.【題型8空間向量模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算】【例8.1】（2324高二下·重慶北碚·階段練習(xí)）已知a=x,0,3,b=1,2,?1,c=1,z,1，a⊥A．π6 B．π3 C．23【解題思路】根據(jù)空間向量的平行、垂直關(guān)系求x,z，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角.【解答過(guò)程】∵a⊥b，∴x×1+0×2+3×?1=x?3=0，解得又∵a∥c，注意到a≠0，則?λ∈R，使得∴3λ=1z=0，解得λ=13∴b+∴cosa,b∴a,故選：B.【例8.2】（2324高二下·遼寧·階段練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)在直線CE上，則AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【解題思路】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=λPD=0,2λ,?2λ和【解答過(guò)程】如圖所以，連接AC，BD，記AC∩BD=O，連接OP，由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A=AB=2，所以A?2,0,0，C2,0,0則CA=?22設(shè)PE=λPD=從而CE=故點(diǎn)A到直線CE的距離d=C即AF的最小值是26故選：D.【變式8.1】（2324高二上·山東聊城·階段練習(xí)）已知a=x,4,1，b=?2,y,?1，c=3,?2,z，A．?219 B．219 C．2【解題思路】由向量的平行和垂直可得關(guān)于x,y,z的關(guān)系式，解得x,y【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍//所以x?2解得x=2，y故b=(?2,?4,?1)又因?yàn)閎⊥c，所以b?c=0所以a=(2,4,1)，c=(3,?2,所以a+c=(5,2,3)，b+c所以(a|a|b設(shè)a+c與b+則cos?a故選：A.【變式8.2】（2324高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E,F分別為直線DP,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段EF的最小值為（

A．24 B．22 C．104【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量建立EF的函數(shù)關(guān)系求解即可.【解答過(guò)程】三棱錐A?BCD中，過(guò)C作Cz⊥平面BCD，由∠BCD=π2，知以C為原點(diǎn)，直線CD,CB,Cz分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由AB⊥平面BCD，得AB//Cz，則C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,1令DE=tDP=t(?1,1,12于是|EF當(dāng)且僅當(dāng)t=32,m=t2故選：B.一、單選題1．（2324高二下·江蘇南通·期末）在三棱錐O?ABC中，已知BE=23BC，G是線段AE的中點(diǎn)，則A．12OA+C．13OA+【解題思路】連接OE,利用空間向量的基本定理求解即可.【解答過(guò)程】連接OE，因?yàn)镚是線段AE的中點(diǎn)，所以O(shè)G因?yàn)锽E=2所以O(shè)G故選：D.2．（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【解題思路】將AP=?14OA+【解答過(guò)程】因?yàn)锳P=OP?OA，所以AP=?由于A，B，C，P四點(diǎn)共面，則34+1故選：C.3．（2324高二上·河北滄州·期末）已知a=2,?1,?1，b=k,?1,2，若a+b與A．?52 B．?2 C．2 【解題思路】根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【解答過(guò)程】a+b=k+2,?2,1，∴故選：A．4．（2324高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC，則cosOA,BCA．12 B．22 C．?【解題思路】先利用題給條件求得OA?BC的值，進(jìn)而求得【解答過(guò)程】如圖所示，∵OA=OA又OB=OC，∠AOB=∠AOC，則OA∴OA⊥BC，∴OA,故選：D.5．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x,y滿足OD=xOA+2yOB?A．52 B．92 C．2【解題思路】由四點(diǎn)共面可得x+2y=2，再由“1”的技巧及均值不等式求解.【解答過(guò)程】由A,B,C,D四點(diǎn)共面，可知x+2y?1=1，即x+2y=2，由x>0,y>0，2x+y≥125+22xy故選：B.6．（2324高二上·江西吉安·期末）在三棱錐M?ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC為正三角形，AB=2，MA=5，點(diǎn)F在線段MC上，且CF=λCM，當(dāng)BC?AFA．12 B．23 C．13【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解參數(shù)即可.【解答過(guò)程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

∵AB=2，MA=5∴A0,0,0，B3,1,0，M∴BC=?3已知F是棱MC上一點(diǎn)，CF=λCM（則AF=∵BC?AF=43故選：C.7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，A1D1中點(diǎn)，MA．1 B．52 C．2 D．【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y,z，從而求得?34【解答過(guò)程】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y,z則D0,0,0所以EF=?1因?yàn)镈P?EF+所以?34x?所以DP2又0≤x≤1,0≤y≤1，所以x2+y2+所以DP的最大值是3.故選：D.8．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知EF是棱長(zhǎng)為8的正方體的一條體對(duì)角線，空間一點(diǎn)M滿足ME?MF=?40，AB是正方體的一條棱，則AMA．162?4 B．162?2 C．【解題思路】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算可得|MO|=22，即可得M【解答過(guò)程】取EF的中點(diǎn)O,EF=8則ME?MF=(MO+所以|MO|=22所以M在以O(shè)為球心，22可知AM在AB上的投影數(shù)量最小值為AN=AH?r=4?22所以AM?AB的最小值為所以AM?AB的最小值為故選：B．二、多選題9．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若p=2x+3y，則p與B．若MP=2MA+3C．若OA+OB+D．若OP=12【解題思路】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點(diǎn)的三條向量共面，進(jìn)而可判斷四點(diǎn)共面，針對(duì)OP=12【解答過(guò)程】選項(xiàng)A，根據(jù)共面向量基本定理可知，p與x，y共面；所以選項(xiàng)A是正確的；選項(xiàng)B，根據(jù)共面向量基本定理可知，MP,MA,所以M，選項(xiàng)C，舉反例說(shuō)明，若OA，OB，OC是一個(gè)正方體同一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量，則它們的和向量是以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線向量，而OD是該對(duì)角線向量的相反向量，此時(shí)顯然四個(gè)點(diǎn)A，選項(xiàng)D，由OP=12則0=3OA?3則PC=故選：ABD．10．（2324高二下·江蘇常州·期中）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA→=m,n,0,OB→=A．2+34 C．2?34 【解題思路】首先根據(jù)OA為單位向量得到m2+n2=1，再利用OA與OC的夾角等于π4，得【解答過(guò)程】∵空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p與向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA?OC=m+n又OA為單位向量，∴m聯(lián)立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故選：AC.11．（2324高一下·山東淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三個(gè)非零向量，那么下列說(shuō)法正確的是（

）A．若a=b，則aB．若a+bC．若a=b=a+bD．在正方體ABCD?A1【解題思路】根據(jù)向量的定義結(jié)合向量模的含義可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷B；根據(jù)向量的夾角公式可判斷C；根據(jù)正方體的性質(zhì)可判斷D?！窘獯疬^(guò)程】對(duì)于A，若a=b，但a，對(duì)于B，若a+b=則a?對(duì)于C，a=b=a+故a?a?故cos?而?a,a?b?∈[0,π對(duì)于D，在正方體ABCD?A1B故四邊形AA1C故AC=故選：BD.三、填空題12．（2324高二下·上?！て谥校┮阎臻g向量a=x,1,?2與b=1,?1,2夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為【解題思路】根據(jù)條件，利用a?b<0【解答過(guò)程】因?yàn)榭臻g向量a=x,1,?2與所以cosa,b=a由x1=1?1=?22，得到x=?1所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為(?∞故答案為：(?∞13．（2324高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC//AD，AD=2BC，點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)、PC與平面ABE交于F點(diǎn)，設(shè)PF=xPA+yPB+zPE，則【解題思路】設(shè)PF=λPC，以PA,PB,PE為基底表示PF，由A,B,E,F共面，求出λ，可得【解答過(guò)程】PC=設(shè)PF=λ由A,B,E,F共面，有?λ2+λ+λ=1，解得λ=又PF=xPA+y則y+z?2x=2故答案為：2314．（2324高二下·河北唐山·期末）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CC【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CP=mCB【解答過(guò)程】以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D則C1設(shè)CP=m則C1D1P=則C1P?因?yàn)?≤m≤1，所以當(dāng)m=0時(shí)，C1故答案為：3.四、解答題15．（2324高二上·廣東江門(mén)·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C(1)BD(2)BD1與【解題思路】（1）表達(dá)出BD1=?a+c+（2）計(jì)算出AC=23，【解答過(guò)程】（1）設(shè)AB=a，AD=b，AA∴a?又∵BD∴BD∴BD1=2