2025屆吉林省吉林市蛟河市蛟河一中高二數(shù)學第一學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.52．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.3．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于54．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.5．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.6．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.47．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.8．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.9．若a，b，c為實數(shù)，且，則以下不等式成立的是（）A. B.C. D.10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形11．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.12．如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，若圓的過點的三條弦的長，，構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.14．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點P、Q分別在線段BD、CD上，沿直線PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線AP與平面ACQ所成角的正弦值為______15．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.16．等差數(shù)列前3項的和為30，前6項的和為100，則它的前9項的和為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知定圓，過的一條動直線與圓相交于、兩點，（1）當與定直線垂直時，求出與的交點的坐標，并證明過圓心；（2）當時，求直線的方程19．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由20．（12分）設橢圓的左、右焦點分別為，.點滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程.21．（12分）設或，（1）若時，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍22．（10分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，求出點A的坐標，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D2、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D3、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關系，即可判斷解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關系，屬于中檔題和易錯題4、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進行和兩項關系的比較，從而確定和的大小關系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個充分條件為，.故選：D.5、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導公式要記熟6、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q，∵其各項均為正數(shù)，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.7、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.8、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A9、C【解析】利用不等式的性質(zhì)直接推導和取值驗證相結(jié)合可解.【詳解】取可排除ABD；由不等式的性質(zhì)易得C正確.故選：C10、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.11、D【解析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.12、A【解析】如圖：如圖，取小圓上一點，連接并延長交大圓于點，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點是小圓轉(zhuǎn)動一定角度后的圓心，且這個角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動，圓心轉(zhuǎn)過角后的位置為點，小圓上的點，恰好滾動到大圓上的也就是此時的小圓與大圓的切點．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點）恰好等于，則，而點與點其實是同一個點在不同時刻的位置，則可知點與點是同一個點在不同時刻的位置．由于的任意性，可知點的軌跡是大圓水平的這條直徑．類似的可知點的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)題意，求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設點為點，因為，故點在圓內(nèi)，當直線過點，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當直線過點，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.14、##【解析】取的中點，的中點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點，的中點，如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，由，即，解得，所以，故，設為平面ACQ的一個法向量，因為，，由，即，所以，設直線AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：15、-1【解析】根據(jù)給定條件設出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：16、210【解析】依題意，、、成等差數(shù)列，從而可求得答案【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前3項和為30，前6項和為100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差數(shù)列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210.故答案：210【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練利用、、成等差數(shù)列是關鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求p為真時a的取值范圍，根據(jù)的性質(zhì)判斷與有交點求q為真時a的取值范圍，進而求p，q均為真時a的取值范圍.（2）根據(jù)復合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因為在上為增函數(shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設，易知：p，q兩命題一真一假當p真q假時，p為真，則或，q為假，則或，此時a的取值范圍為；當p假q真時，p為假，則，q為真，則，此時a的取值范圍為綜上，實數(shù)a的取值范圍為.18、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點的坐標，將圓心的坐標代入直線的方程可證得結(jié)論成立；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：當直線與定直線垂直時，可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，則，此時，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，圓心的坐標為，因為，故直線過圓心.【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，則.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19、（1）證明見解析（2）（3）存在點，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，（3）設，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為為正方形，所以又因為平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，所以，因為，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）因為，，所以，所以，設平面的一個法向量為，則,即令，則，；所以設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設，易知設，則，所以，所以，所以設平面的一個法向量為，則，因為，所以令，則，所以在線段上存在點，使得平面等價于存在，使得因為，由，所以，解得，所以線段上存在點，使得平面，且20、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點的坐標滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因為，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關鍵是找到關于a，b，c的等量關系，第二問的關鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標，利用距離公式建立等量關系，求出c是求出橢圓方程的關鍵.21、（1）充要條件；（2）.【解析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合充分性、必要性的定義進行求解判斷即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，解得或，顯然p是q的充要條件；【小問2詳解】，當時，該不等式的解集為全體實數(shù)集，顯然由，但不成立，因此p是q的充分不必要條件，不符合題意；當時，該不等式的解集為：，顯然當時，不一定成立，因此p不是q的必要不充分條件，當時，該不等式解集為：，要想p是q的必要不充分條件，只需，而，所以，因此a的取值范圍為：.22、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，假設，可用表示出點坐標；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】