17.2.3配方法解一元二次方程（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海市培佳雙語學校八年級期中）把方程2x2﹣3x+1＝0變形為（x+a）2＝b的形式，正確的變形是（）A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝162．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校⒁辉畏匠套冃螢榈男问?，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）一元二次方程在用配方法配成時，下面的說法正確的是（

）A．m是p的 B．m是p的一半的平方C．m是p的2倍 D．m是p的的相反數(shù)4．（2019·上?！ぐ四昙壵n時練習）將代數(shù)式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4 C．（x+2）2-5 D．（x+2）2+4二、填空題5．（2021·上海市羅星中學八年級期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的實數(shù)根是__________．6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┊擾________時，代數(shù)式的值等于．7．（2019·上?！?fù)旦二附中八年級階段練習）配方：________________．8．（2021·上海市羅南中學八年級階段練習）______9．（2019·上海市黃興學校八年級期中）配方：___=（x-_____10．（2018·上海浦東新·八年級期中）__________=(x-_________)2.三、解答題11．（2021·上海市奉賢區(qū)匯賢中學八年級期中）用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0．12．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋?3．（2022·上?！ぐ四昙夐_學考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．14．（2022·上海徐匯·八年級期末）用配方法解方程：．15．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋?6．（2021·上海市羅南中學八年級階段練習）用配方法解方程：．17．（2021·上海市建平中學西校八年級階段練習）我們知道：對于任何實數(shù)x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求證：（1）對于任何實數(shù)x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不論x為何實數(shù)，多項式3x2﹣5x﹣1的值總大于2x2﹣4x﹣7的值．18．（2019·上?！ぐ四昙壵n時練習）閱讀題：分解因式：.解：原式

.此方法是抓住二次項和一次項的特點，然后加一項，使這三項為完全平方式，我們稱這種方法為配方法.此題為用配方法分解因式.請體會配方法的特點，然后用配方法解決下列問題：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：.【能力提升】一、填空題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）方程的根是___________．2．（2021·上海市泗塘中學八年級階段練習）當x＝___二次根式有最小值，最小值為___．二、解答題3．（2020·上海市西南位育中學八年級期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝04．（2022·上海松江·八年級期末）用配方法解方程：．5．（2022·上海浦東新·八年級期末）解方程：6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋?．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋海?．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯门浞椒ń夥匠蹋海?．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校╅喿x材料：用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有當a=0時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0時，才能得到這個式子的最大值1．（1）當x=___時，代數(shù)式3（x+3）2+4有最小____（填寫大或小）值為____．（2）當x=_____時，代數(shù)式-2x2+4x+3有最大____（填寫大或?。┲禐開___.（3）矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？

17.2.3配方法解一元二次方程（解析版）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海市培佳雙語學校八年級期中）把方程2x2﹣3x+1＝0變形為（x+a）2＝b的形式，正確的變形是（）A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝16【答案】B【分析】先移項，再將二次項系數(shù)化為1，最后配上一次項系數(shù)一半的平方即可．【詳解】解：2x2﹣3x＝﹣1，x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，故選：B．【點睛】本題主要考查配方法解方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校⒁辉畏匠套冃螢榈男问?，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式直接進行求解即可．【詳解】解：由題意得：一元二次方程變形為一般形式為：；故選B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）一元二次方程在用配方法配成時，下面的說法正確的是（

）A．m是p的 B．m是p的一半的平方C．m是p的2倍 D．m是p的的相反數(shù)【答案】A【分析】利用配方法將原方程配方即可得出結(jié)論．【詳解】解：移項，得兩邊同時加上，得∴∴m=即m是p的故選A．【點睛】此題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．4．（2019·上海·八年級課時練習）將代數(shù)式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4 C．（x+2）2-5 D．（x+2）2+4【答案】C【分析】將代數(shù)式前兩項結(jié)合，加上一次項系數(shù)一半的平方即加上4，后面減去4保證與原式相等．【詳解】根據(jù)配方法，若二次項系數(shù)為1，則需要配一次項系數(shù)的一半的平方，若二次項系數(shù)不為1，則可先提取二次項系數(shù)，將其化為1后再計算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故選C．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用.二、填空題5．（2021·上海市羅星中學八年級期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的實數(shù)根是__________．【答案】x1＝x2＝3【分析】先把左邊直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接開平方即可．【詳解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，直接開平方，得x﹣3＝0，∴方程的解為x1＝x2＝3，故答案為：x1＝x2＝3．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┊擾________時，代數(shù)式的值等于．【答案】-1或-3【分析】根據(jù)題意列出方程，，求解即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意得：，，配方得：，即，開方得：，解得：，．故答案為：-1或-3．【點睛】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．7．（2019·上?！?fù)旦二附中八年級階段練習）配方：________________．【答案】

【分析】由于二次項的系數(shù)為1，所給式子組成完全平方式，所以常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．【詳解】所給代數(shù)式的二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，等號右邊正好是一個完全平方式，常數(shù)項為，．故答案為：；【點睛】本題考查了完全平方公式在配方法中的應(yīng)用：若二次項的系數(shù)為1，常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．8．（2021·上海市羅南中學八年級階段練習）______【答案】

【分析】根據(jù)完全平方公式：即可得出結(jié)論．【詳解】解：故答案為：；．【點睛】此題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．9．（2019·上海市黃興學校八年級期中）配方：___=（x-_____【答案】

【分析】根據(jù)題意，左邊應(yīng)該是一個完全平方式，則左邊應(yīng)該填一次項一半的平方，然后得到答案.【詳解】解：，∴；故答案為，.【點睛】本題考查配方法的應(yīng)用，能用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項的符號相同；另一項是兩底數(shù)積的2倍．10．（2018·上海浦東新·八年級期中）__________=(x-_________)2.【答案】

【分析】由于二次項的系數(shù)為1，所給式子組成完全平方式，所以常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．【詳解】∵所給代數(shù)式的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為5，等號右邊正好是一個完全平方式，∴常數(shù)項為（5÷2）2=，∴x2-5x+=（x-）2．【點睛】考查完全平方公式在配方法中的應(yīng)用：若二次項的系數(shù)為1，常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．三、解答題11．（2021·上海市奉賢區(qū)匯賢中學八年級期中）用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0．【答案】，．【分析】按照配方法的步驟和方法解方程即可．【詳解】解：x2+6x﹣3＝0，移項得，，兩邊加9得，，，開方得，，，．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法解方程．12．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】移項后配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.【詳解】解：，∴原方程的解為：，【點睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確配方，題目是一道比較常見的題目，難度不是很大．13．（2022·上海·八年級開學考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣【分析】根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．14．（2022·上海徐匯·八年級期末）用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，，，，，即．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．15．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋骸敬鸢浮縳1=1+，x2=1-【分析】方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解．【詳解】解：方程變形得：x2-2x=-配方得：x2-2x+1=即（x-1）2=，開方得：x-1=±，解得：x1=1+，x2=1-考點：解一元二次方程-配方法．16．（2021·上海市羅南中學八年級階段練習）用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法求解即可.【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．17．（2021·上海市建平中學西校八年級階段練習）我們知道：對于任何實數(shù)x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求證：（1）對于任何實數(shù)x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不論x為何實數(shù)，多項式3x2﹣5x﹣1的值總大于2x2﹣4x﹣7的值．【分析】（1）將代數(shù)式前兩項提取2，配方后根據(jù)完全平方式為非負數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1，即對于任何實數(shù)x，代數(shù)式2x2+4x+3的值總大于0，得證；（2）證明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可.【詳解】證明：(1)∵2x2+4x+3=2(x2+2x)+3=2(x2+2x+1)+1=2(x+1)2+1?1>0.2x2+4x+3>0(2)∵3x2?5x?1?(2x2?4x?7)=3x2?5x?1?2x2+4x+7=x2?x+6=(x?)2+>0，∴多項式3x2?5x?1的值總大于2x2?4x?7的值.【點睛】本題考查偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用.18．（2019·上?！ぐ四昙壵n時練習）閱讀題：分解因式：.解：原式

.此方法是抓住二次項和一次項的特點，然后加一項，使這三項為完全平方式，我們稱這種方法為配方法.此題為用配方法分解因式.請體會配方法的特點，然后用配方法解決下列問題：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：.【答案】.【分析】先配方，再根據(jù)平方差公式分解即可．【詳解】【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方的方法是解答本題的關(guān)鍵.此方法是抓住二次項和一次項的特點，然后加一項，使這三項為完全平方式，，再減去一次項系數(shù)一半的平方，使整個式子的值不變，這種變形的方法稱為“配方法”．【能力提升】一、填空題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）方程的根是___________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出配方得出，開方得出：，即可求解得出根．【詳解】解：∵．∴配方得出，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了運用配方法求解二次方程的根的問題，難度很小，很容易做出，本題屬于基礎(chǔ)題．2．（2021·上海市泗塘中學八年級階段練習）當x＝___二次根式有最小值，最小值為___．【答案】

-1

【分析】把配方得：，即可解決．【詳解】∵∴當x=-1時，有最小值，從而有最小值，且最小值為故答案為：-1，【點睛】本題考查了配方法及求最小值，關(guān)鍵是配方．二、解答題3．（2020·上海市西南位育中學八年級期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝0【答案】x1＝，x2＝【分析】結(jié)合題意，根據(jù)完全平方公式和一元二次方程的性質(zhì)，通過配方，得，從而完成求解．【詳解】3x2+5x﹣1＝0，3x2+5x＝1，x2+x＝∴∴x1＝，x2＝．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．4．（2022·上海松江·八年級期末）用配方法解方程：．【答案】x1＝+3，x2＝﹣3．【分析】根據(jù)配方法，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方即可得到，然后利用直接開平方法求解．【詳解】解：x2-2x＝4，x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9，∴x-＝±3，∴x1＝+3，x2＝﹣3．【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法與步驟是解題關(guān)鍵．5．（2022·上海浦東新·八年級期末）解方程：【答案】，【分析】整理成一般式后，利用配方法求解可得．【詳解】．，配方，得：，開平方，得：，或，解得，所以，原方程的根為：，【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】依據(jù)配方法的基本步驟解方程即可．【詳解】解：，系數(shù)化為1得：，配方得：，即：，兩邊同時開平方得：，即，．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程．配方法的關(guān)鍵步驟在于配完全平方公式，此步需熟練掌握完全平方公式及各部分之間的關(guān)系．7．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┯门浞椒ń夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥坷猛耆椒焦竭M行配方解一元二次方程即可得．【詳解】，，，，，，，即．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．8．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┯门浞椒ń夥匠蹋海敬鸢浮炕颉痉治觥扛鶕?jù)配方法的步驟先兩邊都除以2，再移項，再配方，最后開方即可得出答案．【詳解】原方程變形為：配方得

即或所以原方程得解為或【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，關(guān)鍵是能正確配方，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．9．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校╅喿x材料：用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為3a2≥0，所以3