福建省安溪恒興中學(xué)20232024學(xué)年高二年下學(xué)期6月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】A中，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；B中，由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式易知，故B正確；C中，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；D中，，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y304050m60根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為（）A.45 B.50C.55 D.70【答案】D【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)求出平均數(shù)，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，代入求解即可.【詳解】由表可知，，.因?yàn)榛貧w直線會(huì)經(jīng)過平均數(shù)樣本中心點(diǎn)，所以＝6.5×5＋17.5，解得m＝70.故選：D．3.若的展開式中的系數(shù)為10，則x的系數(shù)是（）A.60 B.70 C.80 D.90【答案】C【解析】【分析】求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2，求出r的值，從而可得關(guān)于a的方程，求出a的值，進(jìn)而可得x的系數(shù)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為，解得，令，可得，所以x的系數(shù)為．故選：C．4.從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，至少有一名男生，不同的安排方法有（）種．A.13 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算全部的選法，排除其中“沒有女生，即全部為男生”的選法，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，有種選法，其中沒有男生，即全部為女生的選法有種，則至少有一名男生的選法有．故選：B．5.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.120 B.210 C.720 D.5040【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，把每一項(xiàng)的的系數(shù)求出來，然后結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求和即可【詳解】由題意可得的系數(shù)為．故選：B．6.某質(zhì)檢員從某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取了一部分零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質(zhì)量指數(shù)服從正態(tài)分布，且落在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為81860，則可估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個(gè)數(shù)為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A.270 B.2275 C.2410 D.4550【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由原則可得，即可得到所抽取零件總數(shù)，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則所抽取的零件總數(shù)為，故估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個(gè)數(shù)為．故選：B7.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】先求與平行且與相切的切線切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當(dāng)時(shí),即切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0)，則點(diǎn)(1,0)到直線的距離就是線上的點(diǎn)到直線的最短距離，∴點(diǎn)(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為.故選：B.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可證明在上單調(diào)遞增，又可計(jì)算得，因此【詳解】由題意，構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增又又的解集為故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)B.在回歸直線方程中，變量與x正相關(guān)C.變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，表示它們的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)變量之間相關(guān)關(guān)系的有關(guān)概念，回歸直線的特征，回歸分析中相關(guān)系數(shù)和線性相關(guān)性的關(guān)系，殘差平方和和模型的擬合效果的關(guān)系即可判斷．【詳解】對(duì)于A，回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，但可以不經(jīng)過任何一個(gè)樣本點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在回歸直線方程中，，所以變量與x正相關(guān)，B正確；對(duì)于C，變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，越靠近，表示它們的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對(duì)于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯(cuò)誤．故選：BC．10.圓C：，點(diǎn)為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為3C.的最大值為9 D.無最大值【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，則，利用直線與圓有公共點(diǎn)可求出k的最值，求得P到原點(diǎn)的距離，可求的最大值．【詳解】圓C：的圓心為，半徑為，設(shè)，則，因P在圓上，所以，解得，故的取值范圍是，故A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)榈膸缀我饬x為P點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，又P到原點(diǎn)的距離的取值范圍為，所以的取值范置為，故的最大值為9，故B錯(cuò)誤，C正確．故選：AC．11.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為 B.單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極小值為 D.方程有兩個(gè)不同的解【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；對(duì)于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解；對(duì)于C，求導(dǎo)后求極值；對(duì)于D，函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得，所以，，所以在處的切線方程為，故A正確；對(duì)于B，由，得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知的最大值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，即有1個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)分析得的圖像，從而得解.第II卷（非選擇題92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)P的軌跡方程為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用x，y表示出，再根據(jù)點(diǎn)A在圓上，即可得到答案．【詳解】設(shè)，又點(diǎn)，則，所以，，又點(diǎn)A在圓上，則，即，所以線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為．故答案為：．13.在的展開式中，含的系數(shù)為______.【答案】360【解析】【分析】把的展開式看成是5個(gè)因式的乘積形式，按照分步相乘原理，求出含項(xiàng)的系數(shù)即可．【詳解】把的展開式看成是5個(gè)因式的乘積形式，展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)可以按如下步驟得到：第一步，從5個(gè)因式中任選2個(gè)因式，這2個(gè)因式取，有種取法；第二步，從剩余的3個(gè)因式中任選2個(gè)因式，都取，有種取法；第三步，把剩余的1個(gè)因式中取，有種取法；根據(jù)分步相乘原理，得；含項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：.14.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】變換得到，設(shè)得到，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.【詳解】，即，，設(shè)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，設(shè)，，故，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用同構(gòu)的思想，變換得到是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知y＝．（1）求該曲線在處的切線方程；（2）求該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【答案】（1）

（2）【解析】【分析】（1）由題意求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，即可得出答案；（2）由題意求得函數(shù)定義域，令，求出的解集，即可得出答案．【小問1詳解】由題意得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴曲線在處的切線方程為，即；【小問2詳解】由題意得函數(shù)定義域?yàn)?，，由得，∴函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為．16.某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50位男顧客和50位女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或者不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面部分列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客10女顧客15（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率估計(jì)為，女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率估計(jì)為，（2）沒有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應(yīng)的頻率，即可估計(jì)所求的概率，（2）根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，利用公式求出，再根據(jù)臨界值表分析判斷.【小問1詳解】由題意可知，50位男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意的有40人，所以男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率估計(jì)為，因?yàn)?0位女顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意的有35人，所以女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率估計(jì)為，【小問2詳解】由題意可得列聯(lián)表為滿意不滿意合計(jì)男顧客401050女顧客351550合計(jì)7525100所以，所以沒有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.17.某鄉(xiāng)政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，并在種植藥材的土地附近種草放牧發(fā)展畜牧業(yè).牛糞、羊糞等有機(jī)肥可以促進(jìn)藥材的生長，發(fā)展生態(tài)循環(huán)農(nóng)業(yè).如圖所示為某農(nóng)戶近7年種植藥材的平均收入y（單位：千元）與年份代碼x的折線圖.并計(jì)算得到，，，，，，，其中.（1）從相關(guān)系數(shù)的角度分析，與哪一個(gè)適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，，.【答案】（1）適宜，理由見解析（2），87.39千元【解析】【小問1詳解】因?yàn)椋?對(duì)于模型，相關(guān)系數(shù)，對(duì)于模型，相關(guān)系數(shù)因?yàn)?，所以適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程.小問2詳解】由（1）可知回歸方程類型為，由已知數(shù)據(jù)及公式可得，.所以y關(guān)于x的回歸方程為，又年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份20162022，所以2023年對(duì)應(yīng)年份代碼為8，代入可得千元，所以預(yù)測(cè)2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入為87.39千元.18.設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓上下不同的兩點(diǎn)，線段MN最長為4，橢圓的離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點(diǎn)，且，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得，由解得，寫出韋達(dá)定理并求得，由，得，解得，得，然后設(shè)直線的斜率為，利用點(diǎn)差法可得，從而可求出直線OP的斜率的取值范圍【小問1詳解】由題意可得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，由，得，由，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，所以，解得或，所以直線OP的斜率的取值范圍為19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【