冀教版八年級上第十七章特殊三角形17.1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質(zhì)01名師點金02認(rèn)知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

錄CONTENTS1.

“等邊對等角”是針對同一個三角形而言的，若在兩個三

角形中，這個結(jié)論不成立.2.

應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提必須是等腰三角形，在這個

前提下，已知“三線”中任意一條，便可直接得到另外兩

條線段.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)常常用來證明角

相等、線段相等和線段垂直.返回知識點1

等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)1.

如圖，在△

ABC

中，若

AB

＝

AC

，

AD

＝

BD

，∠

CAD

＝24°，則∠

C

＝

?°.(第1題)52

123456789101112返回2.

[2023·臺州]如圖，銳角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，點

D

，

E

分別在邊

AB

，

AC

上，連接

BE

，

CD

.

下列命題

中，假命題是(

A

)A.

若

CD

＝

BE

，則∠

DCB

＝∠

EBC

B.

若∠

DCB

＝∠

EBC

，則

CD

＝

BE

C.

若

BD

＝

CE

，則∠

DCB

＝∠

EBC

D.

若∠

DCB

＝∠

EBC

，則

BD

＝

CE

(第2題)123456789101112【點撥】∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

.

又∵

CB

＝

BC

，∠

DCB

＝∠

EBC

，∴△

DCB

≌△

EBC

(ASA)，∴

CD

＝

BE

，

BD

＝

CE

，故選項B，D是真命題，不

符合題意；∵

CB

＝

BC

，∠

ABC

＝∠

ACB

，

BD

＝

CE

，∴△

DCB

≌△

EBC

(SAS)，123456789101112∴∠

DCB

＝∠

EBC

，故選項C是真命題，不符合

題意；不能證明

CD

＝

BE

時，∠

DCB

＝∠

EBC

，故選項A

是假命題，符合題意.故選A.

【答案】A123456789101112返回3.

[新考法·旋轉(zhuǎn)法2023·無錫]如圖，在△

ABC

中，∠

BAC

＝55°，將△

ABC

逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜55°)，得到

△

ADE

，

DE

交

AC

于

F

.

當(dāng)α＝40°時，點

D

恰好落在

BC

上，此時∠

AFE

等于(

B

)A.80°B.85°C.90°D.95°(第3題)123456789101112【點撥】∵將△

ABC

逆時針旋轉(zhuǎn)40°，得到△

ADE

，∴∠

BAC

＝∠

DAE

，∠

CAE

＝40°，

AB

＝

AD

，

∠

C

＝∠

E

，∴∠

B

＝∠

ADB

＝70°，∴∠

E

＝∠

C

＝55°，

∴∠

AFE

＝180°－55°－40°＝85°.故選B.

【答案】B123456789101112返回知識點2

等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)4.

[2023·長春]如圖，用直尺和圓規(guī)作∠

MAN

的平分線，根

據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是(

B

)A.

AD

＝

AE

B.

AD

＝

DF

C.

DF

＝

EF

D.

AF

⊥

DE

(第4題)B【點撥】根據(jù)角平分線的作法可知

AD

＝

AE

，

DF

＝

EF

，根

據(jù)等腰三角形的三線合一可知

AF

⊥

DE

，無法得到

AD

＝

DF

，故選B.

123456789101112返回

6

(第5題)123456789101112∴

AF

＝

BF

，

FC

＝

CH

.

∴

AF

＋

FC

＝

BF

＋

FC

＝

BC

＝3.∴△

AFH

的周長為

AF

＋

FC

＋

CH

＋

AH

＝2

BC

＝6.【點撥】由題意知，

DE

垂直平分

AB

，

AF

＝

AH

，

AC

⊥

FH

，123456789101112返回6.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

是△

ABC

的角平分

線，過點

D

分別作

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分別是點

E

，

F

，則下列結(jié)論錯誤的是(

C

)A.

∠

ADC

＝90°B.

DE

＝

DF

C.

AD

＝

BC

D.

BD

＝

CD

(第6題)C123456789101112返回知識點3等邊三角形的性質(zhì)7.

[2023·金昌]如圖，

BD

是等邊三角形

ABC

的邊

AC

上的

高，以點

D

為圓心，

DB

長為半徑作弧，交

BC

的延長線

于點

E

，則∠

DEC

＝(

C

)A.20°B.25°C.30°D.35°(第7題)123456789101112

由題意知

BD

＝

ED

，∴∠

DEC

＝∠

CBD

＝30°.故

選C.

【點撥】∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

ABC

＝60°.∵

BD

是

AC

邊上的高，【答案】B123456789101112返回8.[新考法·轉(zhuǎn)移集中法2023·濱州]已知點

P

是等邊三角形

ABC

的邊

BC

上的一點，若∠

APC

＝104°，則在以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為

(

B

)A.14°B.16°C.24°D.26°123456789101112【點撥】如圖，過點

P

作

PD

∥

AB

交

AC

于點

D

.

∵△

ABC

為等邊三角形，∴∠

B

＝∠

C

＝∠

BAC

＝60°，

AC

＝

BC

.

∵

PD

∥

AB

，∴∠

CPD

＝∠

B

＝60°，∠

CDP

＝∠

BAC

＝60°，∴∠

ADP

＝120°，△

CDP

為等邊三角形，123456789101112∵∠

APC

＝104°，∠

CPD

＝60°，∴∠

APD

＝∠

APC

－∠

CPD

＝44°，∠

CAP

＝180°－∠

APC

－∠

C

＝16°，∴以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形的三個內(nèi)角分

別為16°，44°，120°.∴最小內(nèi)角的大小為16°.【答案】B∴

CP

＝

DP

＝

CD

，∴

AD

＝

BP

.

∴△

ADP

就是以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形.123456789101112返回易錯點求等腰三角形的角時易出現(xiàn)漏解9.[新考法·分類討論法2023·河北]在△

ABC

和△A'B'C'中，

∠

B

＝∠B'＝30°，

AB

＝A'B'＝6，

AC

＝A'C'＝4，已知

∠

C

＝

n

°，則∠C'＝(

C

)A.30°B.

n

°C.

n

°或180°－

n

°D.30°或150°C123456789101112∴∠C'＝∠

C

＝

n

°.當(dāng)

BC

＞B'C'時，如圖，

延長

B

'

C

'到

C

″，使

B

'

C

″＝

BC

，連接

A

'

C

″，易

得△

ABC

≌△

A

'

B

'

C

″，∴∠

C

″＝∠

C

＝

n

°，

A

'

C

″

＝

AC

.

【點撥】當(dāng)

BC

＝B'C'時，△

ABC

≌△A'B'C'，123456789101112又∵

AC

＝A'C'，∴A'C'＝A'C″，∴∠A'C'C″＝∠

C

″＝

n

°，∴∠A'C'B'＝180°－

n

°.當(dāng)

BC

＜B'C'時，同理可得∠C'＝180°－

n

°.∴∠C'＝

n

°或180°－

n

°.123456789101112返回

利用等腰三角形的邊角性質(zhì)證線段相等10.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BD

是△

ABC

的

角平分線.(1)作∠

ACB

的平分線，交

AB

于點

E

(尺規(guī)作圖，不寫作

法，保留作圖痕跡)；【解】如圖所示.123456789101112(2)求證：

AD

＝

AE

.

123456789101112返回

利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求角的度數(shù)11.

[2023·蘇州]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

為△

ABC

的角平分線，以點

A

為圓心，

AD

長為半徑畫弧，與

AB

，

AC

分別交于點

E

，

F

，連接

DE

，

DF

.

(1)求證：△

ADE

≌△

ADF

；123456789101112

123456789101112(2)若∠

BAC

＝80°，求∠

BDE

的度數(shù).

123456789101112返回

利用從特殊到一般的思想探求線段的關(guān)系12.

[新考法·猜想驗證法]回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考.(1)如圖①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

①

BD

，

CE

是△

ABC

的角平分線，求證：

BD

＝

CE

；123456789101112

123456789101112②點

D

，

E

分別是邊

AC

，

AB

的中點，