6標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024年10月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷A.B.C.1 A.24.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為()A.1:2B.1:1C.3:4D.2:3B.-C.D.6.已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.0C.3D.無窮7.將y=sinx的圖象變換為y=sin的圖象，下列變換正確的是()A.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將圖象向右平移個(gè)單位B.將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象向右平移個(gè)單位C.將圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禗.將圖象向右平移π個(gè)單位，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍f(x)=ax—2，則f(x)的最小值為()A.6B.4C.3D.29.從{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為a，從{4,5,6}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為b，則下列說法正確的是()A.事件“a+b為偶數(shù)”的概率為B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為C.設(shè)X=a+b，則X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=6D.設(shè)Y=ab，則在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12F分別為A1D1和BC的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()則經(jīng)過P，E，F(xiàn)三點(diǎn)的直棱柱的截面為四邊形·6B.直線B1C與A1C1所成角的余弦值為4 上動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.存在直線l1，使得以AB為直徑的圓與l2相切 2的最小值為15020·2 12.若的展開式中存在x2項(xiàng)，則由滿足條件的所有正整數(shù)m從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.13.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為F，且F是拋物線Γ:y2=4x的焦點(diǎn).過點(diǎn)F的直線l與拋物線Γ交于A，B兩點(diǎn)，滿足，若點(diǎn)A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為.14.已知f=|lna-lnx-2|+的最小值為___________.若b=c，cosA=，求△ABC的面積；（2）記BC邊的中點(diǎn)為D，AD=x，若A為鈍角，求x的取值范圍.16.（15分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA=AC=2，BC=1，AB=（1）若AD丄平面PAB，證明：AD//平面PBC；（2）若PA丄底面ABCD，AD丄CD，二面角A-CP-D的正弦值為求AD的長.2217.（15分）已知橢圓的下頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，離心率為，過F2的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn).若直線l垂直于BF1，則△BDE的周長為8.（1）求粗圓C的方程；（2）若直線l與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，試判斷直線DG是否過定點(diǎn)，并說明理由.18.（17分）已知函數(shù)f(x)=ax+sinx，x（1）若a=1，證明：f(x)≤0；（2）若f(x)≤0，求a的取值范圍；f(x)ln(x+1)，討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19.（17分）乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.（1）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場(chǎng)比賽，甲獲勝的概率為0.9.已知甲、乙兩人共進(jìn)行了m(m∈N*)場(chǎng)比賽，請(qǐng)根據(jù)小概率值α=0.010的K2獨(dú)立性檢驗(yàn)，來推斷賽制是否對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響.（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局.記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：P(A)=P(B).（3）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是p(p>0.5)，沒有平局.若采用“賽滿2n一1局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n).若采用“賽滿2n+1局，勝方至少取得n+1局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n+1)，試比較P(n)與P(n+1)的大小.P0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635符合題目要求的.12345678ACBBDACB9ABD所以ΔABC的面積為bcsinA=·············································5分（2）因?yàn)镈為線段BC的中點(diǎn)，所以，兩邊平方得：x2=由余弦定理可得：2bccosA=b2+c2?a2，代入上式得：x2=再由2a2+3=21，可得a2=6?x2，b2+c2因?yàn)锳為鈍角，所以a2>b2+c2，可得6?x2>3+解得0<x<.所以，x的取值范圍為·····················································13分解1）因?yàn)锳D丄平面PAB，AB平面PAB，所以AD丄AB， 所以在平面四邊形ABCD中，由AD丄AB,BC丄AB，可得ADBC，因?yàn)锳D丈平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC··················································································6分（2）【方法一】因?yàn)镻A丄底面ABCD，CD底面ABCD，所以PA丄CD，因?yàn)锳D丄CD,PAAD=A，所以CD丄平面PAD，以直線DA為x軸，直線DC為y軸，過點(diǎn)D且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：························································8分則D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,b,0),P(a,0,2)，zPCDCDyAyxB在坐標(biāo)平面xDz中，直線DP的法向量就是平面PDC的法向量，可得其中一個(gè)法向量為令x=b，則y=a，得n2=(b,a,0)·······································所以cos< 則a2【方法二】設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d1，點(diǎn)A到直線PC的距離為d2，二面角A?CP?D的平面角為θ,則由二面角的平面角定義知sinθ=.即AD.CD=PD.CD，得PD=AD.因?yàn)镻C2=PD2+CD2,CD2=AC2?AD2，F(xiàn)1yDF2xBF1yDF2xBOEF2是正三角形，如圖所示：若直線l垂直BF1，則直線l垂直平分線段BF1，可知ΔBDE與ΔF1DE全等，那么ΔF1DE的周長為8.OE（2）設(shè)l的方程為x=my+1（2）設(shè)l的方程為x=my+1，D(x1,y1),E(x2,y2)，可得直線DG的方程為y?y1=2GF1yDF2xOE可得直線DG的方程為+y1，可整理得）····································10分將其代入（*）式中，可得直線DG的方程為：可見直線DG過定點(diǎn)(4,0)，所以直線DG過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)·······················································15分可知f(x)在[0,π]單調(diào)遞減，可得f(x)≤f(0)，而f(0)=0，所以f(x)≤0········································································3分則f(x)≤f(0)，而f(0)=0，則f(x)≤0成立············································5分觀察知：g(0)=0，可見x=0是g(得F(x)在(0,π]單調(diào)遞增，可得F(x)>F(0)=0，即x>ln(x+1)，那么x+sinx>ln(x+1)，即g(x)>0，2時(shí)，g2(x)在(0,x2)單調(diào)遞減，在(x2,π]單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)··········17分解1）據(jù)題中條件，列出賽制和甲獲勝情況列聯(lián)表如下：mm2m2m性檢驗(yàn)，推斷賽制對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響，此推斷犯錯(cuò)誤的概率小于0.010.數(shù)有影響，此時(shí)賽制對(duì)甲獲勝的場(chǎng)數(shù)沒有影響······································（2）依題意P(A)=p3+p.Cp2(1?p)+p.Cp2(1?p)2=p3?p)+6p3(1?2p+p2)=6p5?15p4+10p3，?p)2+5p4(1?p)+p5?20p4+10p3+5p4?5p5+p5=6p5?15p4+10p3所以P(A)=P(B)·························（3）考慮賽滿2n+1局的情況，以賽完2n?1局為第一階段，第二階段為最后2局.設(shè)“賽滿2n+1局甲獲勝”為事件C，結(jié)合第一階段的結(jié)果，要使事件C發(fā)生，有兩種情況：第一階段甲獲勝，記為A1；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了n?1局，記為A2，若第一階段甲獲勝，即賽滿2n?1局甲至少勝n局，有兩類情況：甲至少勝n+1局和甲恰好勝n局．第一類情況，無論第二階段的2局結(jié)果如何，最終甲獲勝；第二類情況能甲不能獲勝，這種情況是第二階段的2所以P(A1C)=P(n)?Cn?