2024學年第一學期期中調研九年級數學學科（考試時間100分鐘，滿分150分）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列命題中，假命題是（）（A）兩個正方形一定相似； （B）兩個菱形一定相似；（C）兩個等腰直角三角形一定相似； （D）兩個等邊三角形一定相似．中，，，，那么的值是（）（A）； （B）； （C）； （D）．3．下列說法錯誤的是（）（A）如果與都是單位向量，那么；（B）如果，那么或；（C）如果（為非零向量），那么；（D）如果，（為非零向量），那么與平行．4．如圖，已知，直線，，分別交直線于點、、，交直線于點、、，那么下列比例式正確的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．5．許多大型商場購物中心為了引導人流前往目標樓層，會考慮使用“飛梯”（可以跨樓層抵達的超高超長的自動扶梯）．上海大悅城的“飛梯”從3層直達7層，“飛梯”的截面如圖1，的長為50米，與的夾角為，則高是（）（A）米； （B）米； （C）米； （D）米6．已知是的重心，記，，下列等式中，成立的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．已知線段，，如果線段是和的比例中項，那么______．8．已知，那么______．9．計算：______．10．在中，，如果，，那么______．11．如圖，在中，點在邊上，點在邊上，，，那么的值為______．12．如果是線段的黃金分割點，，那么較長線段的長是______cm．13．在中，，（是銳角），，那么的長為______．14．小明沿斜坡坡面向上前進了5米，垂直高度上升了1米，那么這個斜坡的坡比是______．15．進博會期間，從一架離地200米的無人機上，測得地面監(jiān)測點的俯角是，那么此時無人機與地面監(jiān)測點的距離是______米．16．“二鳥飲泉”問題中記載：“兩塔高分別為30步和20步．兩塔之間有噴泉，兩鳥從兩塔頂同時出發(fā)，以相同速度沿直線飛往噴泉中心，同時抵達．噴泉與兩塔在同一平面內，求兩塔之間的距離．”如圖，已知，，是上一點，，在處測得點的俯角為，，，那么______．17．平行于梯形兩底的直線與梯形的兩腰相交，當兩交點之間的線段長度是兩底的比例中項時，我們稱這條線段是梯形的“比例中線”．在梯形中，，，，點、分別在邊、上，且是梯形的“比例中線”，那么的值為______．18．如圖，在中，，，點為邊上的點，聯結，將沿翻折，點落在平面內點處，邊交邊于點，聯結，如果，那么的值為______．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計算：．20．（本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題4分，滿分10分）如圖，已知梯形中，，、分別是、的中點，與交于點，為上一點，．（1）求的值；（2）設，，如果，那么______，______．（用向量、表示）21．（本題共2小題，每小題5分，滿分10分）如圖，在中，，，的平分線交邊于點，點在邊上，且，與相交于點．（1）求的長；（2）求的值．22．（本題滿分10分）如圖，商場自動扶梯從一樓到三樓與水平面所成的角度分別是：30°和37°，每層樓自動扶梯爬坡的坡面長度相同，如果從一樓到二樓的層高為5米，求一樓到三樓的層高是多少米？（忽略樓層之間厚度，參考數據：，，）23．（本題共2小題，每小題6分，滿分12分）已知：如圖，在中，點在邊上，，，與交于點．（1）求證：；（2）聯結，如果，求證：．24．在平面直角坐標系中，把一條線段繞其一個端點順時針旋轉，并把這條線段伸長或縮短，稱這樣的運動叫做線段的“旋似”，經“旋似”運動后新線段和原線段的夾角為“旋似角”，新線段長和原線段長比值為“旋似比”：如圖，平面直角坐標系中有一點，把線段繞點做“旋似”運動，點的對應點是點，若“旋似角”為90°，（1）當“旋似比”為2時，求點的坐標；（2）過做軸，點為垂足，連接，若軸，求此時的“旋似比”；（3）當“旋似比”為時，設線段與軸交于點，點是軸上一點，且滿足，求點的坐標．25．（本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題5