極限思想在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐研究摘要極限思想，是指用極限概念、極限性質(zhì)、極限公式、極限準(zhǔn)則和極限運(yùn)算方法、極限分析方法，然后進(jìn)行認(rèn)識問題、判斷問題、證明問題、分析和研究問題的數(shù)學(xué)思想。在各科教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾霕O限思想可以更好地發(fā)展學(xué)生的辯證思維，從而幫助學(xué)生認(rèn)識相關(guān)的學(xué)科問題的本質(zhì)，對于學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)有深遠(yuǎn)的意義。在本文中，先對極限思想的背景、意義進(jìn)行了探究，在此基礎(chǔ)上給出極限思想的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀以及相關(guān)核心概念。主要內(nèi)容有：緒論部分，概述了極限思想在教學(xué)中應(yīng)用的背景以及研究的意義，并簡單總結(jié)概述了主要工作；之后，為了方便研究極限思想在教學(xué)中的意義和應(yīng)用，先分析教學(xué)中應(yīng)滲透極限思想的現(xiàn)狀，再列舉了教學(xué)中常涉及的問題并對這些問題進(jìn)行解答，給出滲透極限思想的教育價(jià)值分析，最后結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)給出具體的滲透極限思想的教學(xué)案例。關(guān)鍵詞：極限思想，數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)模式，函數(shù)，應(yīng)用目錄1 緒論 11.1 研究背景 11.2 研究的問題 21.3 研究意義 21.4 研究的思路與方法 32 文獻(xiàn)綜述 32.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 32.2 核心概念的界定 32.3 極限思想 53 滲透極限思想 53.1 將極限思想融入到教育教學(xué)中 63.2 在例題講解中滲透極限思想 63.2.1 借助極限思想，求解橢圓切線方程 63.2.2 借助極限思想，探究定值 73.3 滲透極限思想的教育價(jià)值分析 84 案例分析：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限思想 94.1 《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》教學(xué)案例 94.1.1 《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》教學(xué)設(shè)計(jì) 94.1.2 《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》案例分析 144.2 《無窮等比數(shù)列與極限思想》教學(xué)案例 144.2.1 《無窮等比數(shù)列與極限思想》教學(xué)設(shè)計(jì) 144.2.2 《無窮等比數(shù)列與極限思想》案例分析 16緒論研究背景極限思想可以稱作是是數(shù)學(xué)中很重要的數(shù)學(xué)思想，我國現(xiàn)在不斷加大對教育教學(xué)的改革力度，伴隨著這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，我們更應(yīng)該注重從中學(xué)教育開始抓起，要做到將數(shù)學(xué)的思想給學(xué)生們留下深刻的印象，讓學(xué)生們學(xué)會運(yùn)用極限思想的思維方式以及內(nèi)在規(guī)律，從而可以去幫助學(xué)生們理解問題以及解決問題，在這個過程中，同樣也可以激發(fā)出學(xué)生的濃厚的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們提高綜合能力，使整體的教學(xué)質(zhì)量可以得到有效的提升。數(shù)學(xué)思想是探索數(shù)學(xué)知識必備的基礎(chǔ)，也是深研數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想，是關(guān)于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，所以在最近幾年引來了廣泛的關(guān)注。由米山國藏寫的《數(shù)學(xué)的精神思想和方法》中表明：“極限思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中非?；钴S的思想，使得數(shù)學(xué)成為了真正意義上的數(shù)學(xué)，在應(yīng)用和純理論的方面上，逐步發(fā)展為精確而講究的科學(xué)，于數(shù)學(xué)而言，極限思想的重要性是不言而喻的，如果刪除極限思想的內(nèi)容，那么數(shù)學(xué)學(xué)科也就沒剩下什么內(nèi)容了?！北砻髟诮虒W(xué)中要重視滲透思想方法，才能幫助學(xué)生學(xué)會如何學(xué)習(xí)，才能把數(shù)學(xué)知識更好地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的思維能力REF_Ref31746\r\h[1]。在最近幾年，隨著課程教學(xué)的改革，教師們逐漸改善了傳統(tǒng)的教學(xué)理念，不僅重視知識的達(dá)標(biāo)和技能的掌握，同時也關(guān)注思想形成、滲透的過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)作了具體的表述：“學(xué)生應(yīng)學(xué)會數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與技能，掌握相關(guān)的方法與思想，并體會在以后學(xué)習(xí)生活中的作用”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將原有的培養(yǎng)目標(biāo)從“雙基”擴(kuò)充為“四基”，要求學(xué)生除了掌握基礎(chǔ)知識與技能，還要將其運(yùn)用到基本活動之中，從而獲得活動經(jīng)驗(yàn)與基本思想?；舅枷氲恼莆湛梢哉J(rèn)為是探究知識的第一步，也是形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可缺少的一步。關(guān)于“數(shù)學(xué)思想”，許多學(xué)者將其解釋為“將具體的知識遺忘之后留在腦海中的東西”。米山國藏曾說：“在我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，關(guān)于學(xué)生在初、高中階段學(xué)習(xí)的知識，在離校的一兩年內(nèi)就忘掉了，但銘記在腦海之中的數(shù)學(xué)方法、研究方法，卻能時時刻刻的幫助他們”。表明在教學(xué)中，更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想與方法的傳授，才能使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的技巧，主動汲取知識、構(gòu)建新知，更好地將知識運(yùn)用于實(shí)踐當(dāng)中。極限是數(shù)學(xué)分析、微積分等課程中基礎(chǔ)且重要的概念，他在數(shù)量方面描述了變量變化的過程，在各科中都扮演著很重要的角色。在舊版教材中，并未給出精確的“定義”，主要是用“無限地趨近”、“逼近”等詞進(jìn)行描述，在高中教材中，極限思想對許多內(nèi)容發(fā)揮著重要的作用，與此同時，極限思想也被應(yīng)用于高中的解題教學(xué)中，可以有效的化簡一些復(fù)雜的題目。研究的問題數(shù)學(xué)極限思想對各階段的學(xué)生而言是有一定的理解難度的，但是它也具有極大的啟蒙意義，它同時也是學(xué)生第一次接觸到曲邊圖形之后產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想，是串聯(lián)小學(xué)、初中、高中和大學(xué)的紐帶。在逐漸滲透極限思想的過程中，有助于學(xué)生們發(fā)展邏輯推理、抽象思維等能力，也有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。該極限思想在教學(xué)中多方面的應(yīng)用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)極限思想在各科教學(xué)中的重要作用，學(xué)生能否真正體會到蘊(yùn)含在知識點(diǎn)中的數(shù)學(xué)極限思想，會對他們的各科的學(xué)習(xí)具有重要影響。REF_Ref31854\r\h[2]根據(jù)以上所描述的背景以及教材中所涉及的與極限相關(guān)的知識點(diǎn)，結(jié)合教育教學(xué)，本文主要研究：第一，極限思想怎么蘊(yùn)含在教材中？第二，在教學(xué)過程中如何有效滲透？研究意義極限思想，就是從有限中去感知無限，從量變的過程中去感知質(zhì)變，從相似的過程中去感知準(zhǔn)確的重要的數(shù)學(xué)思想，能夠做到在事物的變化的過程中，清楚的反應(yīng)出量變與質(zhì)變之間相互轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系。極限的概念是十分抽象的，學(xué)生們能通過相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，逐步感知什么是“有限、無限、逐漸逼近”，讓學(xué)生們學(xué)習(xí)并掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想的方法，有助于幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在日常的學(xué)習(xí)中，注意向?qū)W生們滲透數(shù)學(xué)的思想，這對學(xué)生們的數(shù)學(xué)思想的整體水平、思維的優(yōu)化等一系列品質(zhì)的提高也具有重要的意義，同時也能提升運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識來解決實(shí)際生活中的問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的價(jià)值觀念，感受數(shù)學(xué)的魅力，從而幫助學(xué)生打牢基礎(chǔ)，對各科的學(xué)習(xí)也會有很大的幫助。在各科教學(xué)中，要著重知識的傳授，更要注重發(fā)掘數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的多種思想方法，這種教學(xué)的方式能夠幫助教師提高自身的教學(xué)水平，從而能夠不斷地提高課堂質(zhì)量。數(shù)學(xué)對每個人來講，都是非常重要的，數(shù)學(xué)伴隨著我們生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，而且數(shù)學(xué)學(xué)科是其它學(xué)科的基礎(chǔ)，科學(xué)中每一次偉大的進(jìn)步都離不開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的極限思想分布在許許多多的知識點(diǎn)中，它可以分布在數(shù)學(xué)的概念中，比如函數(shù)可導(dǎo)、函數(shù)收斂等概念上，也可以分布在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，比如求解加速度、瞬時速度、切線斜率等。在相關(guān)的數(shù)學(xué)知識中，蘊(yùn)含極限思想的方式、表達(dá)形式、思維方式都是不同的，這種分散和多樣的特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生更多方面更深層次的去學(xué)習(xí)極限思想。極限思想不是簡單的分散，而是更加綜合的體現(xiàn)在概念、理論和應(yīng)用之中，在教學(xué)中，教師不僅要負(fù)責(zé)發(fā)掘只是當(dāng)中的極限思想，更要多總結(jié)與歸納極限思想，將分散的極限思想更加系統(tǒng)地展現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生更見深層次的理解與掌握極限思想，并能運(yùn)用極限思想去解決實(shí)際問題。研究的思路與方法本文采用了文獻(xiàn)研究和案例分析的方法，兩者相結(jié)合，在與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的教學(xué)理論和策略的基礎(chǔ)之上，與實(shí)踐、創(chuàng)新教育理念相結(jié)合，深研極限思想在教育教學(xué)中的滲透過程和滲透情況。（1）文獻(xiàn)研究的方法：閱讀大量文獻(xiàn)，搜尋與極限思想相關(guān)的概念、定理，只有理解透徹極限思想的相關(guān)概念，才能更好的去分析在中學(xué)教學(xué)中滲透極限思想的意義與價(jià)值。（2）案例分析的方法：積極查找與極限思想相關(guān)的教學(xué)案例，研究教學(xué)現(xiàn)狀，剖析現(xiàn)代教學(xué)過程中可能存在的教學(xué)問題，并做出相應(yīng)的解決措施，從而可以借助更高效地融入極限思想來提高教學(xué)效率。文獻(xiàn)綜述國內(nèi)外研究現(xiàn)狀郭文秀、謝慧杰等人主要研究關(guān)于極限思想如何發(fā)展的過程。我國關(guān)于極限的思想最早的論述是莊子的《天下篇》中的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！盵4]而對于極限思想最早的應(yīng)用有祖沖之和劉徽的割圓術(shù)，其早期應(yīng)用有窮竭法。在17世紀(jì)，在古人研究的成果基礎(chǔ)上，萊布尼茨和牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)，極限初步的概念由此而生。該理論在無窮小量的分析法基礎(chǔ)之上形成，但存在許多不足與缺點(diǎn)，“第二數(shù)學(xué)危機(jī)”由此引發(fā)。之后在19世紀(jì)，柯西的《分析教程》該本書包含了極限思想完整的論述：“當(dāng)變量所取的值趨于定值，最終可以達(dá)到變量的值與定值的差無限小時，該定值就是其極限值，當(dāng)變量的絕對值可以無窮地減小并收斂到0時，稱該變量為無窮小變量?！边@就說明了無窮小變量是極限趨于0的變量REF_Ref31952\r\h[3]。到了19世紀(jì)，柯西和波爾查諾等一些數(shù)學(xué)家借助極限的概念創(chuàng)建了嚴(yán)密的有關(guān)數(shù)學(xué)分析的體系，經(jīng)歷澄清函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和連續(xù)這些概念，解決了在微積分學(xué)中的許多爭議，使數(shù)學(xué)分析達(dá)到完美。核心概念的界定數(shù)學(xué)極限的概念，不僅是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的極其重要的概念，還是學(xué)生們從高中數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)學(xué)生們了解并學(xué)會引用極限的思想方法之后，學(xué)生們在結(jié)局問題方面的能力就會有質(zhì)的提升。在學(xué)習(xí)的過程中，不只是數(shù)學(xué)問題當(dāng)中會包含極限的內(nèi)容和思想，各科學(xué)科中也都會滲透這種思維。這正是數(shù)學(xué)學(xué)科方面工具性的多元表現(xiàn)，在教學(xué)中多使用該工具，更能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的樂趣，在極限思想的教育過程中，也可以鍛煉學(xué)生的解決問題的能力。在教育教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的方法和思維，可以借助“靜止對運(yùn)動、一般對特殊、精確對相似、無窮對有限”等對立統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，幫助學(xué)生樹立理性的觀點(diǎn)。方法是比較具體的，而思想就是相對抽象的，所以極限與方法也包含了對立與統(tǒng)一，方法具有目的性與客觀性的特征，思想則具有可塑性的特征，所以思想是方法的抽象和歸納，因此思想與方法也可以概括為一個整體。通過認(rèn)識極限的概念，體會相關(guān)的背景，學(xué)生可以學(xué)到一系列的數(shù)學(xué)方法?？梢杂糜邢奕パ芯繜o限、用數(shù)學(xué)極限方法來研究數(shù)列，這是研究數(shù)學(xué)函數(shù)的一種重要的方法，所以函數(shù)連續(xù)、數(shù)學(xué)極限、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值與最值等與極限有關(guān)的一系列方法應(yīng)時而生。當(dāng)數(shù)學(xué)極限的方法被填入學(xué)生的認(rèn)知時，學(xué)生的行為就會發(fā)生質(zhì)的改變。學(xué)生會自覺地“通過極限法從有限認(rèn)識無限，尋求無限與有限以及變量與常量的對立統(tǒng)一的關(guān)系”這種認(rèn)識和方法會滲透到部分學(xué)科教學(xué)的重要知識點(diǎn)中。數(shù)列極限：設(shè)數(shù)列，若存在常數(shù)，當(dāng)時，，我們就稱數(shù)列存在極限，表示成。數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：如果，，那么；；；函數(shù)極限：自變量，當(dāng)取值為正（負(fù)），且無限地增大（無限地減小），如果某個函數(shù)，無窮地收斂于一個常數(shù)，就稱當(dāng)趨向于正無窮大（負(fù)無窮大），函數(shù)的極限值是，記作。自變量，趨近常數(shù)（不等于），若函數(shù)無窮地收斂于某個常數(shù)，就稱當(dāng)趨近于時，函數(shù)的極限值就是，記作。函數(shù)的極限也可以用來定義導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)也可以被看作為函數(shù)的極限的特殊類型REF_Ref32141\r\h[4]。與數(shù)學(xué)極限有關(guān)的這些概念以及嚴(yán)格的定義，應(yīng)讓學(xué)生牢牢掌握，極限思想是建立在對這些概念、定義深刻理解的基礎(chǔ)之上，是通過無限逼近的方式，從有限中去認(rèn)識無限。極限思想極限思想，被人們稱作社會實(shí)踐中的一種產(chǎn)物，而這里面的源泉可以追溯到古貸。用數(shù)學(xué)的極限思想來解決問題，其步驟可以總結(jié)成：對于未知量，第一步，先構(gòu)造與它相關(guān)的變量，再去驗(yàn)證該變量經(jīng)過無盡數(shù)個步驟之后的結(jié)果，就是我們所要求解的未知量；最后一步借助極限計(jì)算的方法來求解結(jié)果。在各科的學(xué)習(xí)過程中，極限思想可以給學(xué)生們提供一條意想不到的解題思路，會讓原本復(fù)雜的題目以相對簡易的方式求得正確答案。數(shù)學(xué)極限思想對各階段的學(xué)生而言是有一定的理解難度的，但是它也具有極大的啟蒙意義，它同時也是學(xué)生第一次接觸到曲邊圖形之后產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想，是串聯(lián)小學(xué)、初中、高中和大學(xué)的紐帶。在逐漸滲透極限思想的過程中，有助于學(xué)生們發(fā)展邏輯推理、抽象思維等能力，也有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。該極限思想在教學(xué)中多方面的應(yīng)用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)極限思想在各科教學(xué)中的重要作用，學(xué)生能否真正體會到蘊(yùn)含在知識點(diǎn)中的數(shù)學(xué)極限思想，會對他們的各科的學(xué)習(xí)具有重要影響。滲透極限思想滲透極限思想是通過借助極限的概念來分析與解決具體問題的一種過程，在數(shù)學(xué)分析的工作上奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在教育教學(xué)的過程中，極限思想可以鍛煉學(xué)生學(xué)會用無限的思維去解決有限的問題，可以更好地幫助學(xué)生探索無限的運(yùn)動規(guī)律。極限思想對學(xué)生而言，可以認(rèn)為是一種必備的思維能力，可以更好地促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識。所以，在教育教學(xué)的工作當(dāng)中，教師應(yīng)注意對極限思想的滲透工作。在日常的學(xué)習(xí)中，如果只是單純的向?qū)W生傳授解題方法，不僅枯燥無味，而且學(xué)生也無法做到運(yùn)用自如，不管是對數(shù)學(xué)問題的解答，還是解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，皆是如此，這些格式化的方法，缺乏靈魂與生命，使學(xué)生難以掌握。數(shù)學(xué)是具有靈活的應(yīng)用性的科目，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更深層次的目的是在于，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際生活當(dāng)中的問題，在這個學(xué)習(xí)過程中，教師要主動向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)背后的思想，幫助同學(xué)們總結(jié)出數(shù)學(xué)有關(guān)的方法，這些思想和方法，可以運(yùn)用于生活實(shí)踐當(dāng)中，提高學(xué)生獨(dú)自解決問題的能力，培養(yǎng)知識素養(yǎng)，也使這些沒有靈魂的方法充滿了生命力。將極限思想融入到教育教學(xué)中在如今高中的數(shù)學(xué)教材里并未詳細(xì)提到過極限思想，但許多知識中會涉及極限思想，在這種情況下，教師就需要認(rèn)真鉆研教材，并總結(jié)出教材中所蘊(yùn)含的思想方法，在日常的教育教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生探索并學(xué)習(xí)這些方法，為了增加學(xué)習(xí)趣味，教師可以向?qū)W生講述極限思想是如何產(chǎn)生與發(fā)展的，使學(xué)生在腦海中留下更加深刻的印象，同時更順利地應(yīng)用于實(shí)際生活中。為了培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹立良好的認(rèn)知，為以后的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)，老師就要思考并解決如何才能順利的開展數(shù)學(xué)的教育教學(xué)工作，因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)生涯的重要環(huán)節(jié)。在日常的教學(xué)中，教師要做到將極限思想融入到教育教學(xué)中去，從而去培養(yǎng)學(xué)生能夠主動運(yùn)用有關(guān)極限思想的知識來解決問題的習(xí)慣。而對于計(jì)算出來的結(jié)果，老師可以引導(dǎo)學(xué)生借助代數(shù)方法來準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)果，從而可以幫助學(xué)生更加深層次的認(rèn)識與學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)據(jù)。在例題講解中滲透極限思想在解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，極限方法是很重要的一種方法，學(xué)生通過靈活地運(yùn)用此方法，可以輕易地解決很多問題，當(dāng)我們嘗試去確定一個變量時，一般情況下，我們先找到它的相似值，此時的相似值，是越來越精確的相似值，然后通過判該相似值的傾向，最終得到變量的準(zhǔn)確值，這就是極限思想的廣泛應(yīng)用。極限所包含的思想方法，是在不斷地學(xué)習(xí)中所積累的，是從相似到準(zhǔn)確，也是從量的變化到質(zhì)的變化，更是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中我們不斷需要掌握的知識，唯有細(xì)心的思考和探究，才能掌握其精髓，最終幫助我們提高能力。下面來介紹幾種需要借助極限思想來求解的典型例題：借助極限思想，求解橢圓切線方程給一個橢圓：，借助極限思想，求解過點(diǎn)的切線方程。解法(i)通過點(diǎn)橢圓，求解切線方程構(gòu)造一個橢圓，以為中心，用方程表示即:再結(jié)合這個式子，讓兩個式子相減，可以得到即因?yàn)?，所以有，是在點(diǎn)的切線，也是點(diǎn)橢圓、橢圓的公切線REF_Ref32239\r\h[5]。解法(ii)借助點(diǎn)差法、中點(diǎn)的弦直線方程設(shè)為橢圓的一條弦，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，為的中點(diǎn)，的坐標(biāo)為，則由，兩個式子相減之后可以得出，即即因?yàn)榭梢缘贸鏊蟮姆匠虨椋杭椿喛傻茫航柚鷺O限的思想，當(dāng)兩點(diǎn)、不斷地接近時，中點(diǎn)就能無限地接近給定的橢圓圖形，，此時中點(diǎn)弦的方程表達(dá)式為：。借助極限思想，探究定值給定某拋物線的方程表達(dá)式：，證明：在軸的正方向上一定存在某點(diǎn)，使拋物線上的任意一條弦（過點(diǎn)），均使是定值。分析：要想證明是一個定值，第一步就要作一條弦（過點(diǎn)、垂直軸）。假設(shè)，可以得出；第二步考查另一個情形：軸正半軸，過點(diǎn)，左邊的端點(diǎn)為原點(diǎn)，右邊的端點(diǎn)是無窮點(diǎn)（假想出來的點(diǎn)）?？梢钥闯觯虼耍?。又因?yàn)?，可以得出，我們因此可以假設(shè)為定點(diǎn)，任意畫出一條弦（過點(diǎn)），都會有（是定值）。證明：設(shè)某直線的參數(shù)方程是（過點(diǎn)），將其參數(shù)方程代入原拋物線的方程中，可以得到：。設(shè)、為方程的兩個根，即。、的數(shù)值可以用、兩點(diǎn)的幾何意義來表示，可以得出：。所以，點(diǎn)就是我們所要求的點(diǎn)REF_Ref32363\r\h[6]。滲透極限思想的教育價(jià)值分析對于高中數(shù)學(xué)來講，極限思想具有重要作用，能夠幫助學(xué)生去突破數(shù)學(xué)表面的枷鎖，從而用無窮的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心知識，掌握相關(guān)定義以及定理的內(nèi)容，解決相關(guān)問題。在高考的大綱中，該部分也會有對應(yīng)的要求，即使不是高考核心的考點(diǎn)，但是我們?nèi)绻軌蚶卫握莆諛O限思想，能夠高效地處理許多復(fù)雜的問題，而且對于高等數(shù)學(xué)來說，極限思想是一個很重要的內(nèi)容，因此提前熟悉并掌握其技巧，也能幫助學(xué)生更好地去學(xué)習(xí)高數(shù)內(nèi)容REF_Ref32478\r\h[7]。在高中數(shù)學(xué)中不僅有極限思想，還有更多有關(guān)數(shù)學(xué)的思想方法，比如：轉(zhuǎn)化思想、類比思想等。這些有關(guān)數(shù)學(xué)的思想方法能夠提升學(xué)生解決問題的整體綜合能力，從而可以把學(xué)生培養(yǎng)為優(yōu)秀的人才。借助極限的思想，將問題置于極限的狀態(tài)，既能活躍思維，又能提高學(xué)生能力。所以，教師們要強(qiáng)化學(xué)生用極限的思想來解決問題的意識，并在這個過程中，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的樂趣。案例分析：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限思想《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》教學(xué)案例在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中涉及了許多關(guān)于極限思想的知識點(diǎn)，這些知識點(diǎn)分布在高中課本的各個章節(jié)中。在教學(xué)過程中，涉及極限思想的內(nèi)容往往容易被教師和學(xué)生忽略，如果教師能在該節(jié)課的教學(xué)過程中，將這些涉及極限思想的部分進(jìn)行歸納梳理，那么會使學(xué)生在學(xué)習(xí)中對極限思想有更深層次的理解和認(rèn)識。同時，學(xué)生在充分理解和掌握其中蘊(yùn)含的規(guī)律和特征后，將能夠在習(xí)題和學(xué)習(xí)中對極限思想的應(yīng)用更加熟練?；跇O限思想的原則、方法和規(guī)劃在高中數(shù)學(xué)的滲透，我們從滲透極限思想的視角對案例《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》進(jìn)行分析?！秾ｎ}學(xué)習(xí)：走近極限思想》教學(xué)設(shè)計(jì)知識課題：走近極限思想學(xué)情分析與常見問題:根據(jù)對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的掌握，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在直觀上對極限思想有一定的了解，由于缺乏對這部分知識內(nèi)容系統(tǒng)的歸納與總結(jié)，使得學(xué)生對極限思想的理解存在一定的偏差和誤解。主要體現(xiàn)在：第一、對于部分知識點(diǎn)，大部分學(xué)生沒有意識到其中所包含的極限思想；第二、對極限思想的含義無法用確切的語言去描述；第三、由于缺少對極限思想涉及問題的解題技巧，導(dǎo)致學(xué)生在解題時缺乏應(yīng)用極限思想的意識。教學(xué)目標(biāo)：知識技巧：體會數(shù)學(xué)中所涉及的“無窮”、“無限”、“趨近”或“逼近”等相關(guān)概念及其性質(zhì)、技巧中所包含的極限思想，學(xué)生能夠列舉出課本中包含極限思想的知識點(diǎn)并了解和掌握其中的內(nèi)涵。理解且能概括出極限思想的含義。過程方法：探究極限思想衍生出的解題方法，結(jié)合相關(guān)的習(xí)題、例題，掌握和運(yùn)用解題的基本步驟，正確利用極限思想去處理實(shí)際問題。基本情感思想：通過介紹極限思想在數(shù)學(xué)史中的發(fā)展過程，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)極限思想的發(fā)展史，感受其發(fā)展過程的曲折與坎坷，使學(xué)生樹立在學(xué)習(xí)中不怕挫折，敢于探索的精神態(tài)度。帶領(lǐng)學(xué)生理解感受極限思想里蘊(yùn)含的辯證思想，使學(xué)生建立正確的世界觀和價(jià)值觀。教學(xué)重點(diǎn)：理解極限思想，擁有運(yùn)用極限思想解決實(shí)際問題的思想和能力。教學(xué)難點(diǎn)：熟練掌握運(yùn)用極限思想解決實(shí)際問題的方法。教學(xué)準(zhǔn)備：教師：PPT、板書。學(xué)生：提前查閱相關(guān)資料、翻閱課本上有關(guān)極限思想的內(nèi)容。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動學(xué)生互動環(huán)節(jié)目標(biāo)1、新課引入1、師：同學(xué)們，相信大家已經(jīng)在課前翻閱了與極限思想有關(guān)的資料，也對極限思想有了一定的了解，那么下面我們來一起觀看一段有關(guān)極限思想發(fā)展史的短視頻，大家在觀看視頻的過程中要多多思考，以便深入了解極限思想。（在播放過程中老師要多多講解，幫助學(xué)生更好地理解）2、師：觀看完視頻，相信大家對極限思想有了進(jìn)一步的理解和認(rèn)識，接下來，大家以小組為單位進(jìn)行討論，并在結(jié)束時派一名代表進(jìn)行發(fā)言。（在學(xué)生討論過程中，老師可以適當(dāng)給予學(xué)生指導(dǎo)）3、師：討論結(jié)束，下面請各小組派出代表進(jìn)行總結(jié)發(fā)言。生1：我們小組認(rèn)為極限思想就是一個變換趨勢無限逼近于一個值。生2：我們小組認(rèn)為極限思想類似于函數(shù)圖像里的漸進(jìn)線，無限地靠近但不會相交REF_Ref32585\r\h[8]。師：好，看來大家對極限思想有了一定的了解。在我們的學(xué)習(xí)過程中其實(shí)有很多極限思想的應(yīng)用，例如二分法求函數(shù)近似值，空間幾何中棱柱、棱臺、棱錐間的相互轉(zhuǎn)換，指數(shù)函數(shù)的圖像無限趨近于軸、求曲邊梯形面積等很多實(shí)例中都體現(xiàn)了極限思想?；貞浿R，觀看視頻，思考與討論，總結(jié)與發(fā)言幫助學(xué)生深入了解極限思想2、探索新知師：下面我們來看2個具體問題。第一題：若的最小值為3，則實(shí)數(shù)的值為（）.5或8.-1或5.-1或4.-4或8解析：這題我們有兩種解法，首先方法一：由于本題函數(shù)解析式中含有兩個絕對值符號，所以我們很容易就想到一種解法，即通過確定實(shí)數(shù)的取值范圍來把解析式中的絕對值消去，再進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，，解得或（舍去）；(2)當(dāng)時，即則當(dāng)時，，解得（舍去）或；(3)當(dāng)時，即，此時，不滿足題意。所以或，故選再看方法二：我們可以用極限思想中去特殊值的方法進(jìn)行求解，分別取和，可以得到，以及，而且他們的最小值都為，于是可以排除所以答案選.通過對比我們可以發(fā)現(xiàn)在這道選擇題中，第一種常規(guī)步驟會非常麻煩，所以我們可以選擇直接將選項(xiàng)中的值帶入到題目中去進(jìn)行驗(yàn)證，這樣會方便很多。下面我們來看第二題，已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）解析：由于本題涉及函數(shù)中的零點(diǎn)相關(guān)知識，因此我們可以對函數(shù)的解析式中的參數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答。(1)當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)有兩個零點(diǎn)且為一正一負(fù)；(2)當(dāng)時，對求導(dǎo)可得，根據(jù)當(dāng)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為正時函數(shù)單調(diào)遞減，而導(dǎo)數(shù)為負(fù)時函數(shù)單調(diào)遞減這一性質(zhì)可得：在和這兩個區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞增，而在這一區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減，此時顯然存在負(fù)零點(diǎn)；(3)當(dāng)時，對求導(dǎo)可得，此時，在和時函數(shù)單調(diào)遞減，而時函數(shù)單調(diào)遞減，要使得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正，則需滿足，即，解得，則（舍去）或。故選。當(dāng)然這道題我們還可以借助極限思想進(jìn)行解答，需要借助圖像來進(jìn)行思考：由，可以得到，并且，我們作出的圖像，如REF_Ref70608588\h圖41所示，轉(zhuǎn)動直線，顯然，當(dāng)時不可能成立，那么，當(dāng)時，當(dāng)直線與左邊的曲線相切時，假設(shè)切點(diǎn)是，其中，則切線的方程為，又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，則有，解得（舍去），此時切線斜率為-2，根據(jù)圖像可以知道，符合題意REF_Ref32719\r\h[9]，故選.圖STYLEREF1\s4SEQ圖\*ARABIC\s11思考動手，反思回顧。總結(jié)極限思想在平時練習(xí)時的作用。3、全課小結(jié)好了，本節(jié)課的內(nèi)容到此結(jié)束，在本節(jié)課中，我們首先介紹了極限思想的發(fā)展史，相信大家已經(jīng)對極限思想有了一個更加清楚的認(rèn)識。然后我們結(jié)合了課本上有關(guān)極限思想的相關(guān)知識點(diǎn)，給大家講解了兩道習(xí)題，使大家對極限思想的應(yīng)用能更加得心應(yīng)手。那么關(guān)于極限思想的介紹就到此結(jié)束了，課下大家要不斷地去思考，讓自己能更加深刻的認(rèn)識極限思想，并在以后的解題中能充分的運(yùn)用。課下思考與總結(jié)鞏固對極限思想的認(rèn)識和運(yùn)用《專題學(xué)習(xí)：走近極限思想》案例分析在教學(xué)原則方面，該案例堅(jiān)持以學(xué)生為主體，堅(jiān)持參與原則、直觀原則和適度原則。充分引導(dǎo)學(xué)生參與知識的形成過程，教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生觀看極限思想發(fā)展史，讓學(xué)生充分了解和感受到科學(xué)家研究的曲折與不易，再讓學(xué)生分組討論，經(jīng)過了觀察、思考、質(zhì)疑后，讓學(xué)生成為課堂的主人。在講解例題的過程中，由老師帶領(lǐng)學(xué)生去理解、發(fā)現(xiàn)和探索極限思想在習(xí)題中的應(yīng)用，更能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的奧妙，也會使學(xué)生在今后的解題過程中充分掌握運(yùn)用極限思想。當(dāng)然，極限思想對高中生的幫助是很大的，對教師授課也是如虎添翼。對于極限思想在高中階段的教學(xué)，僅僅靠一節(jié)專題學(xué)習(xí)課是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，它更需要學(xué)生和老師在日常的學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中反復(fù)不斷的練習(xí)和滲透，以此達(dá)到更好的教學(xué)效果?！稛o窮等比數(shù)列與極限思想》教學(xué)案例在解答高中數(shù)學(xué)的選擇題時，學(xué)生們必須掌握運(yùn)用極限思想解題的技巧，在其本質(zhì)上來講，可以看作特殊值方法的一種延伸，借助極限思想解決問題，不僅可以幫助學(xué)生認(rèn)清問題的深層本質(zhì)，還能使問題化繁為簡。極限的本質(zhì)是在微積分科目中抽離出的概念，它描述的是在數(shù)量變化的過程中的狀態(tài)、趨勢，在無窮的等比數(shù)列方面，因此在等比數(shù)列的教學(xué)過程中，教師可以用來表示關(guān)于等比數(shù)列中的變化情況。對于無窮的等比數(shù)列方面的許多數(shù)學(xué)問題，教室可以借助極限分析的方法，更有效地解決這些問題。《無窮等比數(shù)列與極限思想》教學(xué)設(shè)計(jì)知識課題：無窮等比數(shù)列與極限思想學(xué)情分析與常見問題:高中生對有關(guān)極限思想的認(rèn)識水平有了很大的提升，但是對于極限思想在日常習(xí)題中的運(yùn)用還缺少經(jīng)驗(yàn)。主要體現(xiàn)在：第一、對于等比數(shù)列，大部分學(xué)生無法將極限思想與等比數(shù)列相聯(lián)系；第二、對等比數(shù)列問題的解決不熟練；教學(xué)目標(biāo)：1、知識技巧：體會無窮等比數(shù)列中所涉及的“無窮”、“無限”、“趨近”或“逼近”等相關(guān)概念及其性質(zhì)、技巧中所包含的極限思想。并學(xué)會利用極限思想解答相關(guān)題目。2、過程方法：探究極限思想衍生出的解題方法，結(jié)合相關(guān)的習(xí)題、例題，掌握和運(yùn)用解題的基本步驟，正確利用極限思想去處理實(shí)際問題。3、基本思想：極限思想、解題技巧、無窮思想。教學(xué)重點(diǎn)：理解極限思想，并用其解決相關(guān)無窮數(shù)列問題。教學(xué)難點(diǎn)：熟練掌握運(yùn)用極限思想解決數(shù)列問題的方法。教學(xué)準(zhǔn)備：教師：PPT、板書、習(xí)題。學(xué)生：提前預(yù)習(xí)習(xí)題內(nèi)容。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動學(xué)生互動環(huán)節(jié)目標(biāo)1、復(fù)習(xí)引入師：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容。我們一起來回顧一下等比數(shù)列前項(xiàng)和的求和公式，請同學(xué)們和我一起回憶。首先，等比數(shù)列的前項(xiàng)和求和公式是對無窮等比數(shù)列當(dāng)時，那么，叫做這個無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記作，即與老師一起回顧復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容。溫習(xí)等比數(shù)列公式，以達(dá)到熟練掌握的目的2、探索新知師：好了，剛才我們復(fù)習(xí)了等比數(shù)列的公式，那么接下來我們對等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行更深入的探索。通過我們剛才復(fù)習(xí)的公式，可以把無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)式REF_Ref36\r\h[10]。比如:，.這就是極限思想在等比數(shù)列上運(yùn)用的一個方面。下面我們看一道例題：已知有一數(shù)列，設(shè)，而且數(shù)列是等比數(shù)列，解出關(guān)于數(shù)的值。分析：我們需要先設(shè)出公比的表達(dá)式為，然后求解出該表達(dá)式。下一步對表達(dá)式的兩端取其極限值，需要分步討論:①；②，整理之后可得出結(jié)果：或者。對于分類討論之后的過程，只需計(jì)算兩三步即可得出結(jié)果，既簡潔又易理解。如果解決該題時沒有借助極限的思想，其過程就會非常冗長復(fù)雜。思考反思，動手練習(xí)帶領(lǐng)學(xué)生了解極限與數(shù)列的相關(guān)性3、全課小結(jié)師：好了，這節(jié)課就上到這里，從這節(jié)課我中們可以看到，極限思想不僅僅是幫助簡化計(jì)算過程，還可以使同學(xué)們看出一些題的真正意圖，明白題目考的重點(diǎn)是什么。大家課下要反思總結(jié)一下這節(jié)課的內(nèi)容，來復(fù)習(xí)鞏固一下極限與數(shù)列的相關(guān)性?？偨Y(jié)與回顧強(qiáng)化鞏固數(shù)列與極限思想的聯(lián)系《無窮等比數(shù)列與極限思想》案例分析通過本節(jié)課可以看出數(shù)學(xué)的思想對于解題時的重要性不言而喻，唯有掌握類似極限思想的一系列的數(shù)學(xué)思想，才能幫助學(xué)生更簡單更精確地解題，了解什么是真正意義上的數(shù)學(xué)核心，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。對于高中數(shù)