1．已知序列。（1）求序列的傅里葉變換；（2）對序列按D=3整數(shù)倍抽取得序列，試求的傅里葉變換解：（1）由序列傅氏變換公式及等比序列求和公式得：（2）對序列進(jìn)行整數(shù)倍抽取后得到的序列為：其傅里葉變換為：2．設(shè)序列的頻譜如圖P9.2所示（1）若按I=3整數(shù)倍內(nèi)插（不濾波）后得到序列,試求的頻譜。（2）若將先按D整數(shù)倍抽取得到序列，再按I整數(shù)倍插值得到序列，試推導(dǎo)與的關(guān)系。解：（1）的頻譜如下圖所示：（2）先將先按D整數(shù)倍抽取得到序列，則：再對按I整數(shù)倍插值得到序列，則：相對應(yīng)的頻譜關(guān)系為：3．已知用有理數(shù)I/D做采樣頻率轉(zhuǎn)換的兩個系統(tǒng)如圖P9.3所示。（1）寫出，，，的表達(dá)式。（2）若I=D，是否有=？請說明理由。（3）若ID，則在什么條件下有=？說明理由解：（1）設(shè)輸入信號的頻譜為，z變換為,對于系統(tǒng)一,經(jīng)過抽取后頻譜為：z變換為:再經(jīng)過插值器，頻譜為：z變換為:對于系統(tǒng)二，經(jīng)過插值器：z變換為:再經(jīng)過抽取，頻譜為：z變換為:（2）若I=D，則：所以二者不相等，這是因為系統(tǒng)一中插值器產(chǎn)生的鏡像頻譜是經(jīng)抽取器擴(kuò)展后的頻譜；而系統(tǒng)二中插值器產(chǎn)生的是原輸入信號的頻譜的鏡像。（3）若ID，則滿足下式時，二者相等：因此：4．設(shè)計一個按因子I=5頻率采樣的插值器，要求平滑濾波器的通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB，過渡帶寬不大于。設(shè)計FIR濾波器的系數(shù),并求出多相濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個多相濾波器系數(shù)。解：根據(jù)題意得：濾波器阻帶截止頻率為，通帶截止頻率為，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為30dB。調(diào)用remzord函數(shù)求得長度M=47，為了滿足5的整數(shù)倍，取M=50，求得如下：多相濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個多相濾波器系數(shù)如下：5．對進(jìn)行沖擊串采樣，得到若，，試確定采樣時保證不發(fā)生混疊的最大采樣間隔N。解：首先對求頻譜：得到結(jié)果是將以為周期延拓。為了使延拓后的頻譜不發(fā)生混疊，要求其中是最高頻譜分量，則有因此6．已知序列，。（1）求序列的頻譜（2）按D=2整數(shù)倍對序列抽取得到，試求的頻譜函數(shù)（3）證明的頻譜函數(shù)是的頻譜函數(shù)解：（1）由序列傅氏變換公式及等比序列求和公式得：注意只有當(dāng)時序列是收斂的。（2）由（1）得：頻譜函數(shù)為：（3）從（2）中計算過程容易證明的頻譜函數(shù)是的頻譜函數(shù)。7．按整數(shù)倍I內(nèi)插原理圖如圖P9.7（a）所示，圖中，，，輸入序列的頻譜如圖P9.7（b）所示。確定內(nèi)插因子I，并畫出圖P9.7（a）中理想濾波器的頻率響應(yīng)特性曲線及序列和的頻率特性曲線。解:內(nèi)插因子，的頻率響應(yīng)特性曲線及序列和的頻率特性曲線如下圖所示：8．已知線性相位FIR抽取濾波器的階數(shù)為14，試畫出3倍抽取濾波器系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)FIR濾波器的系數(shù)為,則3倍抽取濾波器系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：9．用MATLAB編程計算習(xí)題9.6。解：MATLAB程序如下：%參數(shù)設(shè)置a=0.5;%假設(shè)a=0.5N=1024;%頻譜計算的點數(shù)%計算x(n)的頻譜omega=linspace(0,2*pi,N);X_omega=(1-a*exp(-1j*omega))./(1+a^2-2*a*cos(omega));%計算=的頻譜X_d_omega=(1-a*exp(-1j*2*omega))./(1+a^2-2*a*cos(2*omega));%繪制頻譜figure;subplot(2,1,1);plot(omega/pi*50,abs(X_omega));%頻譜幅度，乘以50是為了縮放x軸以便觀察title('頻譜|X(\omega)|');xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);plot(omega/pi*