佳木斯市第一中學(xué)校2024-

2025學(xué)年高二上學(xué)期（10月份）月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.直線的一個(gè)方向向量為芯=（1,-3）,且經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,則直線的方程為（）

A.3x-y+2=0B.3x+y-2=0C.3x+y+2=0D.3x-y-2=0

22

2.已知方程工+工=i表示橢圓，則/的取值范圍是（）

4-tt-1

A.l</<4或*</<4C./>4或/<1D./>4

22

3.下列說法正確的是（）

A.E?=k不能表示過點(diǎn)”（石,必）且斜率為左的直線方程

B.在x軸、y軸上的截距分別為a,，的直線方程為二+上=1

ab

C.直線y=Ax+b與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為b

D.設(shè)2（-2,2）,5（1,1）,若直線/:辦+了+1=0與線段23有交點(diǎn)，貝Ija的取值范圍是

（-co,-2）

4.橢圓三+/=1伍〉1）的離心率為七，則0=（）

a2

A.空■B.V2C.V3

D.2

3

5.已知直線/的斜率左則該直線的傾斜角a的取值范圍為（）

AT-,—1B.k-luf—C,F-,—

_34JL3JL4）164_L6jL4

6.經(jīng)過兩條直線2x—y+l=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，且與直線2x+3y=0平行的直線

的方程為（）

A.2x+3y-5=0B.2X+3J+5=0C.2x+3y+1=0D.2x-3y-l=0

7.已知0為直線/:x+2y+l=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足存=（1,-3），記尸的軌跡為E,則（

）

A.E是一個(gè)半徑為柄的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為指D.E是兩條平行直線

2

8.已知橢圓c：,+/=l的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)為4B,點(diǎn)、M2,AG是48的四等

分點(diǎn)，分別過這三點(diǎn)作斜率為左（左。0）的一組平行線，交橢圓C于片，鳥，…，Pb,則

直線修，…，4P6,這6條直線的斜率乘積為（）

A.--B.--C.8D.64

864

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知圓。:丁+產(chǎn)―6x+4y_3=0，則下列說法正確的是（）

A.圓C的半徑為16

B.圓C截x軸所得的弦長為4G

C.圓C與圓￡：（工一6）2+5-2）2=1相外切

D.若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4y+加=0的距離為1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

（19,24）U（-26,-21）

10.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的

平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為

直線或圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標(biāo)系中2（-2,0）,8（2,0）,滿足

|R4|=2|0石的點(diǎn)尸的軌跡為C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的軌跡是以為圓心，外=|為半徑的圓

B.軌跡C上的點(diǎn)到直線3x-4y+5=0的最小距離為;

C.若點(diǎn)（x,y）在軌跡C上，則％+后的最小值是-2

D.圓必+（4=4與軌跡。有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是—還<a<^-

,33

22

11.已知橢圓0：5+三=1，耳，耳分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)48分別為它的左右頂

點(diǎn)，已知定點(diǎn)。（4,2）,點(diǎn)尸是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）

A.存在點(diǎn)P,使得/原隼=120。B.直線尸/與直線口斜率乘積為定值

Cj^|+晨^有最小值g口.|尸@+|尸片|的范圍為[2&7,12]

三、填空題

12.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)尸(1,0),圓。：/+/+2%—6y+6=0,若直線/與圓C相切，則直

線/的方程為.

13.已知圓C：(x-iy+(y_2y=i，若從點(diǎn)/(3,5)發(fā)出的光線經(jīng)過直線4：

x+j-l=0,反射后恰好平分圓C的圓周，反射光線所在直線的方程是.

22

14.已知產(chǎn)是橢圓0:二+齊=l(a〉b〉0)上一點(diǎn)，小鳥是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，

兩?班=0，點(diǎn)。在/月尸耳的平分線上，。為原點(diǎn)，OQHPF],且[0。=26.則。的離

心率為.

四、解答題

15.平面直角坐標(biāo)系中，圓〃的方程為(x—2)?+/=1，圓N的方程為(x+2)2+/=49

,動圓尸與圓N內(nèi)切，與圓〃外切.

⑴求動圓尸的圓心的軌跡方程；

⑵當(dāng)NMPN=60。時(shí)，求1PM忖叫的大小.

16.已知圓C的圓心在x+.y=0上，點(diǎn)2(2,0)在圓C上，且圓C與直線x——v—4=0相切.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)Z和點(diǎn)(3,2)的直線/交圓C于4E兩點(diǎn)，求弦m目的長.

17.已知直線4：y=2x-1,直線4與直線4垂直，且直線人,2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐

標(biāo)相等.

(1)求直線4的方程；

⑵若直線/被直線4，42所截得的線段恰好被點(diǎn)尸(2,-2)平分，求直線/的方程.

18.已知圓C:x2—mx+y2+2(2-/M)J+=0,meR.

(1)證明：圓C過定點(diǎn)；

(2)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，點(diǎn)尸為直線/：菱+上=1上的動點(diǎn)，過尸作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為Z

,B,求四邊形尸ZCB面積最小值，并寫出此時(shí)直線Z3的方程.

19.已知橢圓0：《+片=1伍〉10)的長軸長為20，離心率為也.

a2b22

⑴求橢圓C的方程；

22

⑵若橢圓1+4=1伍〉6〉0)上點(diǎn)(%,%)處的切線方程是誓+岑=1，

abab

①過直線/：x=2上一點(diǎn)朋引。的兩條切線，切點(diǎn)分別是尸、Q，求證：直線尸。恒過定

點(diǎn)N；

②是否存在實(shí)數(shù)4，使得|/訓(xùn)+|°叫=川尸啊|紗|,若存在，求出4的值，若不存在,

說明理由.

參考答案

1.答案：B

解析：方法一?.?直線的一個(gè)方向向量為芯=(1,-3),.?.左=-3，

直線的方程為y=-3x+2,即3x+y-2=0.

方法二由題意知直線的一個(gè)法向量為方=(3,1),

直線的方程可設(shè)為3x+j+C=0,將點(diǎn)(0,2)代入得C=-2，

故所求直線的方程為3x+y-2=0.

故選：B

2.答案：B

,f4-r>0

解析：因?yàn)榉匠躺稀?i表示橢圓，所以,解得1*或*<4，

4-tt-1A22

故選：B.

3.答案：A

解析：對于選項(xiàng)A：由三^=左可知XHXJ所以不過點(diǎn)加(匹,乂)，故選項(xiàng)A正確，

對于選項(xiàng)B：當(dāng)q=b=0時(shí)，在x軸、了軸上的截距分別為0的直線不可用二+上=1表示

ab

,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對于選項(xiàng)C：直線了=丘+6與y軸的交點(diǎn)為(0/),到原點(diǎn)的距離為例，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,

對于選項(xiàng)D：直線/方程可化為y=-1,恒過定點(diǎn)尸(0,-1),畫出圖形，如圖所示，

若直線/:ax+y+l=O與線段4g有交點(diǎn)，貝1J—a22，或-aW-g，

即aW-2或。之鄉(xiāng)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

2

故選：A.

4.答案：A

2

解析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二+/=1伍〉1)可知〃=1,所以02=/_1.又離心率

a

C1二匚［、1/-11A77ZB24八八

e=—二一，所以—；—二一，斛得a二一，所以a=-----.故選A.

a2a1433

5.答案：B

解析：直線傾斜角為。，貝?。??！辏?,兀)，

由一IV左V百可得一14tana<G，

所以0,—U—,TI\

L3」［4)

故選：B.

6.答案：B

解析：聯(lián)立［2x7+1=°,解得F=-1

即交點(diǎn)為(-1,-1),

x+y+2=0［y=-1

因?yàn)橹本€2x+3y=0的斜率為-g,

所以，所求直線的方程為y+l=-g(x+l)，即2x+3y+5=0.

故選：B.

7.答案：C

解析:設(shè)尸("),由毋=(1,-3)，則。(x-1)+3),

由。在直線/:%+2y+l=0上，故工一1+2(歹+3)+1=0,

化簡得1+2歹+6=0,即P的軌跡為￡為直線且與直線/平行，

￡上的點(diǎn)到/的距離d=16Tl=亞,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

A/12+22

故選：C.

8.答案：A

解析：如圖,

左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為N(-a,O),8(a,0),設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為尸(天,先),

2

且尸不與/、8重合，則左.左=」——2V=

a■廠Dr22

%+ax0-axG-a

又尸(x0,%)在橢圓上,故與+4=1，所以一縛=一0片一吟,

abaa

貝ukAp-kBP=2yo2=~~i，

x0-aa

kk

所以演q=AP6，BP6=kAp、，:.kAp、-kAp6

同理可得k-k=k-k=-2

zAiPZj/A1PZ4/AIPZg/iIZP2。

二直線”…仍這6條直線的斜率乘積m

故選：A.

9.答案：BC

解析：由圓C:x2+y2_6x+4y-3=0，可得圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+2『=16,

所以圓C的半徑為4,故A錯(cuò)誤；

令了=0,得》2_6》_3=0，設(shè)圓。與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為可，々，

則X],是必一6》_3=0的兩個(gè)根，所以西+/=6,XjX2=-3>

所以W—q=+毛)2—4%也=4c,故B正確；

兩圓圓心距|C￡|=J(6—3)2+(2+2)2=5=4+1，故C正確；

由圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4.y+機(jī)=0的距禺為1,

|3x3+4x(-2)+7”

則3<<5，解得14(加<24或一26(根<—16,

'-A/32+42''-

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(14,24)U(-26,-16),故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.答案：ACD

解析：設(shè)尸(xj),由戶旬=2|08|=(x+2)2+「=4［(x—2)2+/,

整理得、號1+/=墨顯然點(diǎn)尸的軌跡是以C律為圓心，r=|為半徑的圓,

故A正確；

圓心到直線3x-4y+5=0的距離3x§-0+58,

3>r=—

3

所以軌跡C上的點(diǎn)到直線3》-4了+5=0的最小距離為4-「=3-g=［，故B錯(cuò)誤;

號,0)至U直線/=x+Gy的距離

=x+yfiy>易知圓心C

26］，故C正確;

-----------LG4不

易知圓/+3一02=4的半徑為2,則其與軌跡C相交或相外切時(shí)符合題意,

,解之得—逑v迤，故D正確.

故選：ACD

11.答案：BCD

22

解析：對于A中，由橢圓c.上+匕=1，可得口=5，6=3，c=4＞

259

且tan4co=：=g＜G，可得/片。。＜60。，所以2公尸鳥＜120。，所以A錯(cuò)誤；

對于B中,設(shè)尸(x/),則|^+弓_=1，且2(—5,0),5(5,0),可得X?—25=—等",

yyy2y29

kpAkpB-2--

^\'x+5x-5-X-25-25225為定值，所以B正確?

F

對于C中，由橢圓的定義，可得|尸制+|尸月|=10,

則」一+m-U」一+至)”+河?！?26+n+至闿〕

1

1Ml叫io1附I?明■為2”ioc附II^I)

、

PFA25336_18

>—26+2

10I*KIJ10

當(dāng)且僅當(dāng)露甯時(shí)，即附|=5附|=方時(shí)等號成立,所以C正確.

對于D中，由點(diǎn)。在橢圓外,設(shè)直線。片，。耳與橢圓相交于耳，P],

如圖所示，則(|P2|+附％=|*+\PXQ\=\QF\=a4+0+22=2后,

因?yàn)閨Q閡=2,且|尸@+|尸周=2a+|尸0卜|尸閭=10+|尸0卜|尸閶,

可得間卜匹歸綏|，即|尸。卜|叫＜2，

所以(|尸。|+|尸片|)厘=10+㈤。|—上闖=10+|。段=12,

所以|00|+|產(chǎn)片歸[2萬,12],所以D正確.

故選：BCD.

12.答案:%=1或5%+12歹-5=0

解析：將圓C：/+/+2x_6y+6=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+Q—3『=4,

所以圓心坐標(biāo)為C（-l,3）,半徑y(tǒng)=2，

0^Jl2+02+2xl-6x0+6>0>所以點(diǎn)尸（1,0）在圓。外，

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，即直線為x=l，

圓心C（-l,3）到直線x=l的距離為2,符合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=左（》-1）,即Ax-y-k=0,

所以圓心C（—1,3）到直線fcc—y—左=0的距離=

整理：12k+5=0，解得上=-』，

12

所以直線為一』x—y+9=0，即5x+12y—5=0,

1212

綜上所述：直線/的方程為％=1或5x+12y-5=0.

13.答案：4x-5y+6=0

解析：如圖所示，由圓c：（x_i『+（y_2）2=l，可得圓心為

設(shè)M（3,5）關(guān)于直線/2：x+y-l=0的對稱點(diǎn)為N（x/）,

2^=1

則滿足x—3解得％=—44=—2,即N(—4,—2)，

貯+9-1=0

I22

因?yàn)榉瓷浜笄『闷椒謭A。的圓周，所以反射光線經(jīng)過N,C兩點(diǎn),

又由“C=；；；；=（'所以反射光線的方程為y-2=g（x-1），即4x-5y+6=0.

14.答案：叵

6

解析：如圖，設(shè)戶用=加，忸勾=〃，延長OQ交Pg于幺，

由題意知。0〃/當(dāng)，。為月片的中點(diǎn)，故Z為尸鳥中點(diǎn)，

又兩?至=0，即尸大，尸巴，則/大尸鳥=NQ4P=],

又點(diǎn)。在/月尸鳥的平分線上，則NQR4=e，故是等腰直角三角形,

因此|/。|=|尸/|=；儼瑪|=；〃，

則|CM|=g|P用=g加=|OQ|+HQ|=26+g〃,

可得，m—n=4b，

又盧片|+|尸耳|=2Q,則加+〃=2a,

m=a+2b

因此可得＜

n=a-2b

又在Rt△尸片片中，戶用2+「用2=1片用2,貝1]/+〃2=402,

將＜,代入加2+及2=公2得(4+26)2+(Q-2〃)2=公2,

n=a-2b

即/+4/=2。2，由從=M一。2所以5/=6c2，

所以e2=《=3,e=①

a266

故答案為：叵.

6

15.答案:⑴二+片=1；

1612

⑵16

解析：(1)圓"的圓心為/(2,0),半徑為么=1,

圓N的圓心為N（-2,0）,半徑為4=7.

設(shè)動圓尸的圓心為P（x,y）,半徑為八

則依題意得|NP|=7-r,|〃P|=1+「，

所以即|+畫=8〉4=|跖V|,

所以，點(diǎn)尸的軌跡為橢圓，焦點(diǎn)在x軸上，其中2a=8，2c=4，^Z,2=42-22=12-

所以，動圓尸的圓心的軌跡方程為片+其=1.

1612

故橢圓方程為土+匕=1.

1612

(2)記］稗［=",\MP\=m,ZMPN=60°>

由（1）矢口，加+〃=8,

由余弦定理可得tn+n2-2加〃cos60。=\MNf=16,

整理得（加+〃）~—2加〃一根〃=16,即機(jī)〃=16,

所以1PMH°N卜加"=16.

NO

16.答案:(1)(X-1)2+(J+1)2=2；

Q+b=0

解析：⑴設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（》-4+5一92=/,由題意得<（2—4+62=/,解

|（2-Z?-4|

~^~=r

a-\

得<b=-l,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（％-+（y+i）2=2；

r=V2

（2）直線/過點(diǎn)4（2,0）和點(diǎn)（3,2）,直線的斜率為勺=2,

直線/為歹=2（工一2）,即2x-y-4=0.

設(shè)圓心到直線的距離為d=?4二4=「叵,

45455

22

???弓"1+/=/,\AE\=2yJr-d=2^2-1=>

二弦/￡的長為aL

5

17.答案：⑴x+2y-3=0;

（2）x_3y_8=0

解析：⑴由題意設(shè)直線4，42的交點(diǎn)坐標(biāo)為3。），則a=2a-1，得a=l，

所以直線4，42的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1』），

由題意設(shè)直線4為x+2y+〃z=0,則1+2+加=0，得加=一3，

所以直線,2的方程為x+2y—3=0；

（2）設(shè)直線/交直線6，4分別于點(diǎn)次石,必）,B^x2,y2）,

因?yàn)槭?,-2）為45的中點(diǎn)，所以西+》2=4，+72=-4>

因?yàn)閥=2玉—I’j2=-1x2+|>

1q

所以2%]-1-5%2--4,即4xr-x2=-9,

由<,斛得再=一1,%2=5，

再+々=4

所以％=—3,%=—1，所以4—L—3)，5(5,—1),

-1-(-3)_1

所以勺=

5-(-1)=3

所以直線/的方程為y+3=；(x+l)，即x-3y-8=0.

18.答案：(1)證明見解析；

(2)面積最小值為5百，2x+4y+3=0

解析：(1)依題意，將圓C的方程x?-++2(2-加)y-1=0化為

x2+j2+4j-l+(l-x-2j)m=0,

令l-x-2y=0,BPx=1-2v>貝I(l-2y)2+/+4y-l=0T旦成立，

解得x=l,y=0,即圓C過定點(diǎn)(1,0);

(2)當(dāng)加=0時(shí),圓C:x?+(y+2)2=5，

直線/一+上=1,

63

設(shè)尸(取)，依題意四邊形R4C8的面積S=2Sec=2xg|R4|x6,

當(dāng)|/訓(xùn)取得最小值時(shí)，四邊形PACB的面積最小，

又以=J|PC「-5，即當(dāng)|尸最小時(shí)，四邊形PNC8的面積最小，

圓心C(0,-2)到直線//+上=1的距離即為歸C|的最小值,

63

RnIIIo—4—6|

即pc.=j—一

1lnunV5

5min=715x75=5A/3^即四邊形尸NC8面積最小值為5G，

此時(shí)直線尸C與直線/垂直，

所以直線尸。的方程為了=2x-2,與直線/聯(lián)立，解得尸(2,2),

設(shè)以PC為直徑的圓。上任意一點(diǎn)。(xj)：DP-DC=x(x-2)+(v+2)(v-2)=0>

故圓。的方程為x(x-2)+(y+2)(y-2)=0,

即J+y?-2x-4=