高三年級暑期檢測

數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={#2一16<0},3={耳尤2—4%+3>0卜則（

A.（-4,4）B.（1,3）C.（T,1）U（3,4）D.(-1,2)U(3,4)

2

ar_1r<n

2.已知函數(shù)〃x）='~,若〃%）=8,則%的值為（）

[4x,x>0

A.±73B.土君或2C.一百或2D.6或-2

11^.II

3.函數(shù)“工卜不一^在1式―兀,0）。（0,兀]的圖象大致為（）

(―a—5)x—2,尤22

4.已知函數(shù)〃x）=<2c/cc，若對任意與，入2片%2)，都有

212eR(v%1l2J

x+2(a-l)x-3a,x<2項一尤2

成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-4,-1]B.H，-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

5.已知函數(shù)y=/（x）的定義域為[—1,4],則y=」及：：1）的定義域為（)

A.[-5,5]B.4C.(1,5]D.

6.命題“mve[l,2],f+inx—a<0”為假命題，則。的取值范圍為（)

A.-℃,1)B.(-oo,0)C.(-oo,ln2+2)D.(^?,ln2+4)

7.己知函數(shù)/（九）的定義城為R,且滿足/（—x）=/（x）,/（x）+/（4—x）=0,且當無e[0,2]時,

/(X)=X2-4,則“101)=()

A.-3B.-4C.3D.4

2x.-x

8.已知函數(shù)〃x)=]+l——--,若對任意xe[l,2],有/(爐)〈41+g)成立，則實數(shù)m的取

值范圍是（）

,「53]「3、

A.（—00,0]B.[—2,0]C.——D.—,+°o

LL2J[_/）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯的得0分.

9.下面命題正確的是（）

A.“avl”是“&<1”的充要條件

B.“a>1”是“工<1”的充分不必要條件

a

C.“a#0"是"a。w0”的必要不充分條件

D."x22且y22”是“V+/24”的必要不充分條件

10.下列命題中正確的是（）

A.:的最小值是2

6+4

B.當x>l時，X+—一的最小值是3

X—1

C.當0<xv10時，的最大值是5

21

D.若正數(shù)%y滿足一+—=3,則2%+y的最小值為3

11.己知函數(shù)/（x）的定義域為R,其圖象關于（1,2）中心對稱，若=2—x,則下列正

確的是（）

/（4-5x）+/（5x-2）/、/、

A.————Z=1B./（2）+/（4）=4

C.y=/（x+l）—2為奇函數(shù)D.y=/（2+x）+2x為偶函數(shù)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)=+$]]是偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

13.集合A={H（x+l）（x—4）?0},3={耳@+3）（》+2）卜—1）=0卜若4門320,則實數(shù)a的取值

范圍為.

14.記籃/={123,???,加},加￡可\4表示左個元素的有限集，S（￡）表示非空數(shù)集E中所有元素的和,

若集合&#={s（4）|4vN：},則叫廣;若S（/J2817,則根的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，計77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

設集合A={刈％—5|<2}.B={x\L<x<2m+l].

（1）若4口3=0,求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若“xeA”是的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

16.（本小題滿分15分）

隨著AI技術的不斷發(fā)展，人工智能科技在越來越多的領域發(fā)揮著重要的作用.某校在寒假里給學生推薦了

一套智能輔導系統(tǒng)，學生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè).開學時進行了入學測試，隨機抽取

了100名學生統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：

使用智能輔導系統(tǒng)未使用智能輔導系統(tǒng)合計

入學測試成績優(yōu)秀202040

入學測試成績不優(yōu)秀402060

合計6040100

（1）判斷是否有95%的把握認為入學測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導系統(tǒng)相關；

（2）若把這100名學生按照入學測試成績是否優(yōu)秀進行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機

抽取2人，記抽取的2人中入學測試成績優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.

n(ad-bcf

附：z2其中幾=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

尸(/*）

0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

17.（本小題滿分15分）

_2X+h

定義域為R的函數(shù)/'（X）=FT?是奇函數(shù).

（1）求實數(shù)a*的值;

（2）若存在2,0）,使得〃/+34）+/[—/]<o成立，求實數(shù)上的取值范圍.

18.（本小題滿分17分）

在四棱錐P—A3CD中，24,平面A3CD,底面A3CD為正方形，PA=為線段PB的中點，F(xiàn)

為線段上的動點，BF=2BC（O<2<1）.

(1)證明：AE±PC；

(2)求實數(shù)X的值，使得平面AEF與平面PDC所成角的余弦值最大.

19.(本題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=(Inv)2-a(x—l)2,aeR.

(1)當a=l時，求的單調區(qū)間;

(2)若x=l是"尤)的極小值點，求。的取值范圍.

高三年級暑期檢測

數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答

案】B

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯的得0分.

9.【答案】BC10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

【詳解】A選項，“尤）的定義域為R,其圖象關于（1,2）中心對稱，故"4—5x）+/（5x—2）=4,故

人正確;

4

B選項，由題意得/（4—x）+/（x—2）=4,又」（x）一；（4-x）=2—X，故?。?/：-2）―4=2一》,

令工=4得/（4）+[（2）—4=2—4,即/（4）+/（2）=—8+4=T,B錯誤；

C選項，由題意得/（1_力+/（X+1）=4,即/（1—九）—2=—[〃x+l）_2],

令g（x）=/（x+l）-2,則g（-x）=—g（x）,所以y=/（x+l）-2為奇函數(shù)，C正確；

D選項，因為/（X）―/（4_X）=2_X,所以/（犬+2）―/（2_工）=2_X_2=_X,

44

即/（%+2）—/（2—x）=Tx,故/（%+2）+2'=/（2—％）—2工，

令/Z（X）=/（2+X）+2JV,則/z（x）=/z（—x）,故y=/（2+x）+2x為偶函數(shù)，D正確.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】—,

2

13.【答案】（YO,—2]U[L”）

14.【答案】{6,7,8,9}21

【詳解】當相=4,左=3時，乂={1,2,3,4},A表示3個元素的有限集，

由AtQN；可知：4={1,2,3}或A={1,2,4}或A={1,3,4}或A={2,3,4},故M43={6,7,8,9}；

由題，/九2={3,4,5,…,2加—1},由S（〃恒2）=）-T—2m3+2-T）]&*,

即（2m—3）（加+1）2817,解得機21+-[,>I

（舍去）,

由加wN*,故機的最小值為21,

四、解答題：本大題共5小題，計77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

【詳解】（1）A={x||x-5|<2}={x|-2<x-5<2}={%|3<%<7},

當i?=0時，122m+l,m<0；

m>0

當時，由AcB=0得：<,即0<加41；

2m+1<3

綜上，m<1；

3>1

（2）由題得，AU3,所以<，且等號不同時成立，解得口之3,所以實數(shù)機的取值范圍為［3,+口）.

7<2m+1

100x（20x20-20x40）2_25

16.【詳解】（1）:/<3<3841

40x60x40x609

???沒有95%的把握認為入學測試成績優(yōu)秀與使用智能輔導系統(tǒng)相關;

（2）5x40'=2,：.5人中2人成績優(yōu)秀，3人成績不優(yōu)秀,

100

X的取值可能為0、1、2,

C|1

?皿=。）*4小川=詈I。-%c1=io

分布列為:

X012

331

P

10510

3314

.-.E（X）=0x—+lx-+2x—=-

V7105105

—1+/?

17.解：⑴???”尤）是奇函數(shù)，.?1（0）=0,即51=0,解得b=1，

-2+1一2T+1

又由=知:—--——，解得。=2.

4+〃1+〃

此時，〃x)=]蕓)，〃—x)=WW=Er^|r=言之=—"X)，即/(%)是奇函數(shù)―

故〃=2*=1.

xx

【或】()是奇函數(shù)，.XT-2+b-i+b-2

?."X?.〃)+〃)=M^+U!------i-----------1-----------------------

x+1x

乙ICr乙ICt2+a2+a-2

(-2A+b)(2+a-2x)+(-l+b-2X)(2-2X+a)=0,即(2b—+2("—2)2+2b—a=0恒成

立.

2b—a=0f^=2[a=-2

*<*<nVv

ab—2=。'b-\b=—l

當2時，/(x)=-^—^的定義域為{x|XHO},舍去,

b——12—2

故a=2,b=1.

—2%+11i

（2）由⑴知〃犬卜聲二:一不+歹丁，則〃龍）在R上為減函數(shù),

乙I乙乙乙IJ.

又“X）是奇函數(shù)，由〃/+3左）+/『—左2]<0得：〃/+3左）<——42]=/[左2—；

t+3k>k"—,即fH—>k~—3k在fw（—2,0）上有解，

1.'te（—2,0）,?H■—=一---]<一2JT—=—2當且僅當—t=—,即。=一1時等號成立,

,y=/+；在2,0）上的最大值為—2,

:.-2>k2-3k,即（左一1）（左一2）<0,二1〈左<2.

18.【詳解】

（1）略；

（2）如圖分別以A3,A￡）,"所在的直線為羽y,z軸，

ZJ

%

不妨設2^=AB=AD=1,則3(1,0,0),C(1,1,O),0(0,1,0),尸(0,0,1),A(0,0,0)

~BF=2BC(0<2<1),設E(x,y,z),BF=(x-1,y,z),BC=(0,1,0),

則(x_1,y,z)=X(0,1,0),解得F(1,2,0),

設平面AEF的法向量為I=(x，%,zJ,通=[g,0，?|,/=(l,40),

則荏.)=0,/.)=0,

11c

所以22，取為=-1,則X]=2,Z]=-/l,BPnx=(2,-1,—A),

X]+Ay]=0

設平面PCD的法向量為0=(。，瓦c),皮=(1,0,0),PD=(O,l,-l),

DC,n,=a=0—.,、

則一一一，取%=(0,1,1)，

PD=b-c=0

設平面AEF與平面PDC所成銳二面角的平面角為a,

貝！Jcos?=cos4

15

令t=2AH—e

225224

me近11

所以cosa=《--+1一□~p

212T+--------

I28/2

191191193

因為一f+-------->2J-/----------=1,當且僅當一f=—,即/=—時取等號,

28/228/22St2

31

所以當/時，即2=一時,

22

rs1rs

19.【詳解】(1)當a=l時，/(%)=—^-2(X-1)=-(1IU-X2+X),

XX

設g(x)=Inx-x2+x,則g，(%)=--2x+1=僅'+1)('0,

XX

所以當X￡(O,1)時，g'(x)>O,g(x)單調遞增，

當工￡(1,+oo)時,g<x)<0,g(x)單調遞減，

當％=1時，g(x)取得極大值g(l)=0,所以g(x)<g(l)=0,

所以1(X)<0"(X)在(0,+8)上單調遞減；

(2)尸⑺二^-2tz(x-l)=—(^Inx-at2,

[7,/、1c—2ciX+CLX+1

^/z(x)=lnx-or2+ax貝(Jh(x)=---lax+a-------------

XX

(i)當a<0時，二次函數(shù)尸(x)=—2依2+依+1開口向上，對稱軸為x=；,A=a2+8a,

當—8<a<0時，A=a2+&i<0,尸(x)20,/z(x)單調遞增，