第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的應(yīng)用基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1仰角、俯角1.(2022湖北黃石中考)某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng).已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù))

2.(2022遼寧鞍山中考)北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸.為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為8m的勵(lì)志條幅(即GF=8m).小亮同學(xué)想知道條幅的底端F到地面的距離，他的測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓條幅方向前行12m到達(dá)點(diǎn)D處(樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線(xiàn)上)，在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m(即四邊形ABDC為矩形)，請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知識(shí)點(diǎn)2方向角3.(2023河北邢臺(tái)襄都期中)如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)B處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測(cè)到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為()A.20海里 B.103海里 C.202海里 D.30海里4.(2022湖南懷化中考)某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀(jì)念園.如圖，紀(jì)念園中心點(diǎn)A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上.C村在B村的正東方向且兩村相距2.4km.有關(guān)部門(mén)計(jì)劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來(lái)連接兩村.問(wèn)該公路是否穿過(guò)紀(jì)念園?試通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2≈1.41)知識(shí)點(diǎn)3坡度、坡角5.(2022貴州畢節(jié)中考)如圖，某地修建的一座建筑物的截面圖的高BC=5m，坡面AB的坡度為1∶3，則AB的長(zhǎng)度為()A.10m B.103m C.5m D.56.(2022湖南郴州中考)某水庫(kù)大壩的橫截面如圖所示，壩高CD=20m，背水坡BC的坡度為i1=1∶1.為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2=1∶3，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73.結(jié)果精確到0.1m)能力提升全練7.(2022湖北十堰中考)如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)AB，當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與水平線(xiàn)成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹(shù)影BC長(zhǎng)為m，則大樹(shù)AB的高為()A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα) C.m(cosα-tanα) D.m8.(2022貴州黔東南州中考)如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)AB，距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓CD，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂D處，測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45°，點(diǎn)A的俯角為30°.小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，則不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害.其中正確的是.(填寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：3≈1.7，2≈1.4)

9.(2022寧夏中考)2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，某一時(shí)刻觀測(cè)點(diǎn)D測(cè)得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°，降落傘底面圓A點(diǎn)處的仰角∠ADE=46°12'.已知半徑OA長(zhǎng)14米，拉繩AB長(zhǎng)50米，返回艙高度BC為2米，這時(shí)返回艙底部離地面的高度CE約為米(精確到1米).(參考數(shù)據(jù)：sin46°12'≈0.72，cos46°12'≈0.69，tan46°12'≈1.04)

10.(2022湖南邵陽(yáng)中考)如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問(wèn)這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?并說(shuō)明理由.(提示：2≈1.414，3≈1.732)素養(yǎng)探究全練11.(2022四川自貢中考)某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下：(1)探究原理制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線(xiàn)一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線(xiàn)ON與鉛垂線(xiàn)OG相互重合(如圖1)，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線(xiàn)(如圖2)，此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON.請(qǐng)說(shuō)明這兩個(gè)角相等的理由.(2)實(shí)地測(cè)量如圖3，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為測(cè)樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹(shù)頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹(shù)高PH.(3≈1.73，結(jié)果精確到0.1米)(3)拓展探究公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH(如圖4)，同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F(E、F、H在同一直線(xiàn)上)，分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m米，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米.求PH的長(zhǎng)(用α、β、m表示). 圖3 圖4

第二十六章解直角三角形26.4解直角三角形的應(yīng)用答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.答案12.7解析設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，如圖，則CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，設(shè)DE=xm，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=3，則AE=AB+BE=20+33在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+33x=3經(jīng)檢驗(yàn)，x=103是原方程的解，且符合題意，∴CD=CE-DE≈12.7(m).2.解析設(shè)直線(xiàn)AC與GE相交于點(diǎn)H，如圖，由題意得AB=CD=HE=1.65m，AC=BD=12m，∠AHG=90°，設(shè)CH=xm，則AH=AC+CH=(12+x)m，在Rt△CHF中，∠FCH=45°，∴FH=CH=xm，∵GF=8m，∴GH=GF+FH=(8+x)m，在Rt△AHG中，∠GAH=37°，∴tan37°=GHAH=x+812+x≈0.經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是分式方程的根，且符合題意，∴FE=FH+HE=5.65≈5.7(m)，∴條幅底端F到地面的距離FE約為5.7m.3.C如圖，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°.又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°.在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACBC=40×12BC=4.解析如圖，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D點(diǎn)，由題意知∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°，∴BD=3AD，CD=AD，∵BC=2.4km=2400m，∴3AD+AD=2400，解得AD=1200(3-1)≈876.∵876>800，∴該公路不穿過(guò)紀(jì)念園.5.A∵坡面AB的坡度為BCAC∴AC=53m，∴AB=AC26.解析在Rt△BCD中，∵BC的坡度為i1=1∶1，∴CDBD=1，∴CD=BD=20m在Rt△ACD中，∵AC的坡度為i2=1∶3，∴CDAD=13，∴AD∴AB=AD-BD=203-20≈14.6(m)，∴背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m.能力提升全練7.A如圖，過(guò)點(diǎn)C作水平地面的平行線(xiàn)，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，則∠BCD=α，∠ACD=45°，在Rt△BCD中，BC=m，∠BCD=α，則BD=BC·sin∠BCD=msinα，CD=BC·cos∠BCD=mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，則AD=CD=mcosα，∴AB=AD-BD=mcosα-msinα=m(cosα-sinα).8.答案①③④解析如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則AE=DC，DE=AC=12米，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=2AE，AE=DE·tan30°=12×33=4∴AD=83米，CD=AE=43≈6.8米，故②不正確.在Rt△BED中，BE=DE·tan45°=12(米)，∴AB=BE+AE=12+43≈18.8(米)，故①正確.∵AD=83≈13.6(米)，∴AB>AD，∴若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓CD方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響，故③正確.∵AB-8=18.8-8=10.8(米)，10.8米<12米，∴若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，則不會(huì)對(duì)教學(xué)樓CD造成危害，故④正確.故正確的是①③④.9.答案1614解析在Rt△AOB中，OB=AB2∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE=50+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=x米，則AF=(50+x)米，DF=(x-14)米，∵∠ADE=46°12'，∴tan46°12'=AFDF=50+x解得x≈1614，經(jīng)檢驗(yàn)，x≈1614為原分式方程的解，∴返回艙底部離地面的高度CE約為1614米.10.解析安全，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，由題意可得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，AB=30×1=30(km)，∴BD=CD，設(shè)CD=BD=xkm，則AD=(x+30)km，在Rt△ACD中，tan30°=CDAD∴xx+30=33，解得x=15經(jīng)檢驗(yàn)，x=153+15是原分式方程的解.因?yàn)?0.98>40，所以這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.素養(yǎng)探究全練11.解析(1)證明：∵∠COG=90°，∠AON=90°，∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON，∴∠POC=∠GON.