專題09倍長中線模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

【專莖說明】

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用"倍長中線法"

添加輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，

從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，

使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線

最重要的一點(diǎn)，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。

【方法技巧】

類型一：直接倍長中線

△ABC中AD是BC邊中線

A

方式1：延長AD到E,使DE=AD,連接BE

類型二：間接倍長中線

作CF_LAD于F,作BEJ_AD的延長線于E連接BE

延長MD到N,使DN=MD,連接CN

【輯刎隆新】

【典例1】如圖，在△ABC中，AB=a,AC=b,a,6均大于0,中線A￡)=c,求c的取值

范圍.

【典例2】已知：在△ABC中，是BC邊上的中線，E是上一點(diǎn)，5.BE=AC,延長

BE交AC于F,求證：AF=EF.

【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)從F分別在A3、AC上，MDELDF,

求證：BE+CF>EF.

BC

D

【變式1】如圖，在△ABC中，AC=3,AB=5,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，MAD±AC,貝2ABC

的周長為

【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，。是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE交

AC于點(diǎn)RS.AF^BD,若BD=3,AC=5,則CD的長為

【變式3】如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn),

DBLOE交AC于點(diǎn)R連接ER若BE=2,CF=M，則所的長為

【變式4】如圖，在矩形ABC。中，AB=S,BC=9,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在BC上,

且2歹=2尸C,AF與DE,分別交于點(diǎn)G,H,求GH的長.

【變式5】如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，點(diǎn)E,尸分別為8C,AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)尸為

A3的中點(diǎn)，連接DRDE.

(1)如圖①，若。尸平分求證：AD+BE=DE；

(2)如圖②，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，當(dāng)ED平分NBDC時，求EC的長.

【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對角線垂足為G,過點(diǎn)G作AD的垂線，垂足為E,

延長EG交8C于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸為8C的中點(diǎn).

下而是部分證明過程：

'：AC±BD,EFLAD,

：.ZEGD+ZFGC=9Q°,ZEGD+ZEDG=90°,

：.ZEDG^ZFGC.

/ADB=ZACB,

任務(wù)?：請將上述過程補(bǔ)充完整；

任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DC,把邊BC繞點(diǎn)

C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EC.連接。E,取A8的中點(diǎn)M,連接MC并延長交。E于點(diǎn)N.

(1)求證：MN1.DE；

(2)若AC=4,AB=6M，ZCAB=30°,求。E的長.

A

圖①

專題09倍長中線模型綜合應(yīng)用(知識解讀)

【專敷說颯】

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用"倍長中線法”

添加輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，

從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，

使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線

最重要的一點(diǎn)，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。

【方法技巧】

類型一：直接倍長中線

△ABC中AD是BC邊中線

方式1:延長AD到E,使DE=AD,連接BE

類型二：間接倍長中線

作CF_LAD于F,作BE_LAD的延長線于E連接BE

延長MD到N,使DN=MD,連接CN

【典鈉畬新】

【典例1】如圖，在△ABC中，AB=a,AC=b,a,6均大于0,中線AO=c,求c的取值

范圍.

【解答】解：延長A￡）到E,使AD=￡>E,連接BE,

'：AD=DE,ZADC=ZBDE,BD=DC,

；./\ADC沿/\EDB(SAS),

:.BE=AC=b,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即a-b<2AD<a+b,

A2Zk<c<2ib.

22

【典例2】已知：在△ABC中，A￡>是BC邊上的中線，E是上一點(diǎn)，1.BE=AC,延長

BE交AC于尸，求證：AF=EF.

【解答】證明：如圖，延長到點(diǎn)G,使得AO=￡>G,連接BG.

是BC邊上的中線（已知），

:.DC=DB,

在△ADC和△GOB中，

'AD=DG

?ZADC=ZGDB(對頂角相等)

LDC=DB

AADC^AGDB(SAS),

：.ZCAD=ZG,BG=AC

又,：BE=AC,

:?BE=BG,

：.ZBED=ZG,

?：/BED=NAEF,

：.ZAEF=ZCAD,

即：NAEF=NFAE,

：.AF=EF.

G

【典例3】如圖，△ABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E、/分另lj在A3、AC上，>DELDF,

求證：BE+CF>EF.

【解答】證明：如圖，延長磯）使得連接刊0,CM.

?:BD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,

:,&BDE”叢CDM(SAS),

:?BE=CM,

,:DE=DM,DF_LEM,

:.FE=FM,

???CM+CF>FM,

：.BE+CF>EF.

【變式1】如圖，在△ABC中，AC=3,A3=5,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，_aADLAC,貝1J2XABC

的周長為.

【解答】解：延長AO到￡,使4。=?！?連接8E,

:?BD=CD,

ZADC=ZBDE,

：.AADC^/\EDB(SAS),

：.AC=BE=3,NDAC=NE,

VADXAC,

：.ZDAC=90°,

???NE=90°,

???AE=VAB2-BE2=VB2-32=4,

：.AD^DE^2,

:，BD=VBE2+DE2=V32+22=^13，

：.BC=2BD=2y/l3,

：.^ABC的周長為AB+AC+BC=5+3+2^13=8+2^13.

故答案為：8+2^13.

【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，。是BC延長線上一點(diǎn)，連接。E交

AC于點(diǎn)P,S.AF^BD,若3。=3,AC=5,則CD的長為.

【解答】解：延長OE至H,使EH=DE,連接AH,

'：AF^BD,BD=3,AC=5,

ACF=AC-AF=5-3=2,

在△BED和△AE”中，

rBE=AE

,ZBED=ZAEH>

DE=HE

:.ABED絲/XAEH(SAS),

：.AH=BD,ZD=ZH,

'：AF=BD,

J.AH^AF,

：.NAFH=NH,

：.ZCFD=ZD,

:.CD=CF=2,

故答案為：2.

【變式3】如圖，在Rt^ABC中，N84C=90°,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，E是A2邊上一點(diǎn),

。尸，OE交AC于點(diǎn)F,連接ER若BE=2,CF=43,則EP的長為.

【解答】解：如圖，延長尸。到G使連接GE,BG,

在△8DG和尸中，

'BD=CD

<NBDG=/CDF，

DG=FD

:.ABDG咨/\CDF(SAS),

:.BG=CF=M，NGBD=NC,

J.BG//CA,

：.ZEBG=ZA=90°,

'：BE=2,

￡G=VBE2+BG2=V4+3—V7，

\'DF±DE,DF=DG,

:.EF=EG=?

故答案為：V7.

【變式4】如圖，在矩形ABC。中，48=8,BC=9,點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上,

且2歹=2尸C,AF與DE,分別交于點(diǎn)G,H,求GH的長.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作于交ED于O,

AD

E

B

貝！JFM=AB=8,

*：BF=2FC,BC=9,

：.BF=AM=6,FC=MD=3,

???4/=VFM2+AM2=VS2+62=13

,/OM//AE,

.OM=DM_1,

AE'AD

:點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

：.OM=A,

3

：.OF=FM-OM=S-冬=空，

33

'：AE//FO,

：.△AGEs&GO,

.AG二AE=4

??而而國一亨

V

?人心=315

京研一

.159

??GH=10-4--二—

44

【變式5】如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，點(diǎn)E,尸分別為8C,AB上的點(diǎn)，且點(diǎn)尸為

A8的中點(diǎn)，連接。尸，DE.

(1)如圖①，若。尸平分/AOE,求證：AD+BE=DE；

(2)如圖②，若四邊形ABC。是邊長為4的正方形，當(dāng)平分/FDC時，求EC的長.

AD

【解答】（1）證明：延長DRCB交于G,如圖:

??,四邊形ABCD為平行四邊形，

J.AD//CB,

：.NAOG=NG,

/平分NADE,

工NADG=NEDG,

:?/G=/EDG,

:?DE=GE=GB+BE,

???尸是A3中點(diǎn)，

：.AF=BF,

在△AO尸和aBGb中，

'NADF二NG

<NAFD=NBFG，

AF=BF

:?AADFmABGF(AAS),

：.AD=GB,

：.DE=AD+BE；

(2)解：延長A3,DE交于H,如圖:

AD

勿

??,四邊形ABC。是邊長為4的正方形，點(diǎn)方為A3的中點(diǎn)，

:?DF=?AD2+AF2=N42+22=2，A5//CD,

:?NCDE=NH,

TEO平分Nf7)C,

:?/CDE=NFDE,

：.ZFDE=/H,

:?FH=DF=2辰,

：.BH=FH-BF=2爬-2,

VZC=90°=/HBE,NDEC=NHEB,

:?叢DCEs叢HBE,

?CD_CE日ri4=CE

BHBE275-24-CE

解得CE=2遙-2.

：.EC的長為2遙-2.

【變式6】閱讀下面材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

如圖①，圓內(nèi)接四邊形的對角線AC,80,垂足為G,過點(diǎn)G作的垂線，垂足為E,

延長EG交8C于點(diǎn)凡則點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn).

下而是部分證明過程：

\'AC±BD,EFLAD,

:.NEGD+/FGC=90°,NEGD+/EDG=90°,

：.NEDG=ZFGC.

,：ZADB=ZACB,

任務(wù)一：請將上述過程補(bǔ)充完整；

任務(wù)二：如圖②，在△ABC中，把邊AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DC,把邊BC繞點(diǎn)

。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EC.連接。E,取A8的中點(diǎn)連接并延長交OE于點(diǎn)N.