山東省煙臺市招遠市2024?2025學年高二上學期第一次月考（期中模擬）數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線傾斜角的大小為（

）A． B． C． D．2．已知，點在軸上，且，則點的縱坐標為（

）A． B． C．或2 D．或13．已知空間向量,若共面，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．34．在四面體中，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．5．已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．6．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．7．在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知正四面體的棱長為3，空間中一點滿足，其中，且.則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．直線過定點(2,3)B．若兩直線與平行，則實數(shù)的值為1C．若，則直線不經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．點，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是10．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則（

）A．當時，B．直線與所成的角不可能是C．若，則二面角平面角的正弦值為D．當時，點到平面的距離為11．設(shè)是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為的三條數(shù)軸，向量分別與軸?軸?軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在斜坐標系（為坐標原點）下的坐標.記作，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則向量D．若，則三棱錐的外接球體積三、填空題（本大題共3小題）12．已知點，若點在線段上，則的取值范圍為.13．已知空間三點A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)，則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積是.14．已知矩形中，，沿對角線將折起，使得，則二面角的大小為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過定點P.(1)求過點且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線方程；(2)若直線過點且交軸正半軸于點，交軸負半軸于點，記的面積為（為坐標原點），求的最小值，并求此時直線的方程.16．如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.(1)證明：平面平面；(2)若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.17．在直三棱柱中，與交于點是的重心，點在線段（不包括兩個端點）上.(1)若為的中點，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求.18．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，點為的中點.(1)已知點為線段的中點，求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使四棱錐唯一確定，求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）二面角的余弦值.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.19．如圖，在四棱錐中，，為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【分析】求出直線的斜率，進而求出傾斜角.【詳解】，直線斜率為，設(shè)直線傾斜角為，，則，解得.故傾斜角為.故選A.2．【答案】C【分析】設(shè)，利用向量垂直關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)，因為，所以，解得或2.故選C.3．【答案】D【分析】利用三個向量共面，即可列出方程求出實數(shù)的值.【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)對,使得,即，所以解得故選D.【思路導引】結(jié)合題目條件可得，存在實數(shù)對,使得,由此可得關(guān)于x，y，z的方程組，進而求出x，y，z的值，即可得到答案.4．【答案】B【分析】作出輔助線，根據(jù)重心性質(zhì)得到，再根據(jù)為的中點，求出.【詳解】取的中點，連接，因為為的重心，所以，又，則，因為，所以為的中點，故.故選B.5．【答案】B【分析】直接利用空間向量的基底概念判斷選項即可.【詳解】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選B.6．【答案】B【分析】在上任取點，作，設(shè)，，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，過作，垂足為，可知此時到直線距離最短，設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當時，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選B.7．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用線面角向量求解公式得到答案.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則，設(shè)平面的法向量為，則令得，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選D.【思路導引】建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，從而得到各點坐標，求出平面的法向量，利用線面角向量求解公式即可得到答案.8．【答案】C【分析】根據(jù)共面定理的推論判斷點的位置，然后求正四面體的高即可得解.【詳解】因為，，所以四點共面，所以的最小值即為正四面體的高，記的中點為，作底面于點，由正四面體的性質(zhì)可知，為正三角形的重心，所以，所以，即的最小值為.故選C.【思路導引】根據(jù)題目條件可得四點共面，則正四面體的高是的最小值，再根據(jù)正三角形的重心以及勾股定理即可得到答案.9．【答案】AC【分析】A選項，將直線變形為點斜式，求出所過定點；B選項，根據(jù)兩直線平行，得到方程，求出實數(shù)的值，檢驗后得到答案；C選項，直線變形為斜截式，得到斜率與軸截距，得到C正確；D選項，求出過定點，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】A選項，，故直線恒過定點(2,3)，A正確；B選項，兩直線與平行，則，解得或，當時，兩直線與滿足要求，當時，兩直線與滿足要求，綜上，或，B錯誤；C選項，若，則直線變形為，直線斜率，與軸截距為，直線經(jīng)過一，三，四象限，不經(jīng)過第二象限，C正確；D選項，直線，直線經(jīng)過定點，畫出坐標系，如下：

其中，，則要想直線與線段相交，則直線斜率或，解得或，D錯誤.故選AC.10．【答案】ABD【分析】A選項，建立空間直角坐標系，求出，，利用兩點間距離公式求出答案；B選項，設(shè)，，根據(jù)得到方程，求出，不滿足，故直線與所成的角不可能是；C選項，求出平面法向量，得到兩法向量的夾角余弦值，進而求出二面角夾角正弦值；D選項，求出平面的法向量，從而利用點到平面的距離公式求出答案.【詳解】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，正方體棱長為2，，故，，，A正確；B選項，，設(shè)，，則，令，解得，不滿足，故直線與所成的角不可能是，B正確；C選項，，故，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則解得，令，則，故，，設(shè)二面角平面角的大小為，則，C錯誤；D選項，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，點到平面的距離為，D正確.故選ABD.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)定義將向量用向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積運算和性質(zhì)求解可判斷AB；根據(jù)共線定理可判斷C；補形成正方體求解可判斷D.【詳解】由題知，，對A，若，則，所以，所以，A正確；對B，若，則，所以，B錯誤；對C，若，則，則，所以，C正確；對D，因為，所以，所以，所以三棱錐為棱長為1的正四面體，補形成正方體，如圖，因為，所以正方體的棱長為，正方體的體對角線為，所以外接球的半徑為，體積，D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義，作圖分析可知.【詳解】表示過點和點的直線斜率，如圖，因為，結(jié)合圖形可知或，所以的取值范圍為.故答案為：.【思路導引】根據(jù)的幾何意義作出圖形，結(jié)合圖形可得或，即可得到答案.13．【答案】【分析】求出向量的坐標，進而可得模長及向量的夾角，由此可計算以AB，AC為邊的平行四邊形的面積．【詳解】∵A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)，∴=(-2,-1,3)，=(1,-3,2)，=，=，∴cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，∴S=×sin60°=.故答案為：.【思路導引】根據(jù)各點坐標，計算出向量模長及向量的夾角，再根據(jù)平行四邊形面積公式即可計算出答案.14．【答案】/60°【分析】作出輔助線，得到異面直線的夾角或其補角即為二面角的大小，求出各邊長，假如二面角為直角，求出，因為，故二面角的大小為銳角，，兩邊平方求出，設(shè)二面角的大小為，則，求出二面角大小.【詳解】過點分別作⊥，⊥，垂足分別為，則異面直線的夾角或其補角即為二面角的大小，因為矩形中，，由勾股定理得，所以，，故，假如二面角為直角，則，因為，故二面角的大小為銳角，，兩邊平方得，又，所以，設(shè)二面角的大小為，則，故.故答案為：/60°.15．【答案】(1)或或；(2)24，.【分析】（1）求出直線過原點和直線不過原點兩種情況討論求解即可；（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，求出直線交軸的正半軸的點，交軸的負半軸的點，求出面積，進而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）直線，即，令即即，若直線過原點，且過點，所以直線的方程為，即.若直線不過原點，可設(shè)直線方程為，因為點在直線上，所以，若，則，所以直線的方程為，若，則，所以直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或.（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，令，則；令，則，則，當且僅當時，即時取等號，故的最小值為24，此時，所以直線.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在平面內(nèi)，過作垂直于交于點，由為等腰梯形，且，則又，所以，連接，由，可知且，所以在三角形中，，從而，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可以看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【方法總結(jié)】向量法求二面角的求法：首先求出兩個平面的法向量，再代入公式cosα＝±(其中分別是兩個平面的法向量，α是二面角的平面角)求解(注意通過觀察二面角的大小選擇“±”)．17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作出輔助線，證明出，，從而得到平面平面，證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，寫出各點坐標，求出平面的法向量，利用線面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）連接并延長，交于點，則為的中點，連接，因為為直三棱柱，所以平面平面，又分別為的中點，所以，故四邊形為平行四邊形，故，又因為平面平面，平面平面，所以，因為平面平面，所以平面，同理可得平面，因為平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）以為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)則，所以，因為為的中點，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，由得，取，則，因為直線與平面所成的角正弦值為，所以，整理得，，解得或（不合題意舍），所以.18．【答案】(1)證明見解析；(2)（?。┻x擇見解析，；（ⅱ）.【分析】（1）利用平行四邊形的證明得線線平行關(guān)系，再由線面平行判定定理可得；（2）由條件①②，由線面垂直得，由勾股定理可得，再由可得，即，由此可建立空間直角坐標系，利用法向量方法求線面距（即點面距）與二面角的大小即可；由條件①③，利用線面垂直與面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，求解相關(guān)長度并由此建系，其余同選擇條件①②；選擇條件②③，則四棱錐不能確定.【詳解】（1）取的中點，連接，，因為點為的中點，所以，，因為四邊形是平行四邊形，所以，，因為點為線段的中點，所以，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，

因為平面，平面，所以平面.（2）選擇條件①②：連接，因為平面，直線平面，則，即，因為，，所以，因為，四邊形是平行四邊形，所以，且，又，所以，所以，即所以，如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以，（?。┮驗椋矫?，平面，所以平面，則直線到平面的距離為.（ⅱ）因為是平面的一個法向量，，又由圖可知二面角是銳角，所以二面角的余弦值為；選擇條件①③：連接，因為平面，平面，平面，則，，即，因為，，所以，又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以，由四邊形是平行四邊形，則四邊形是矩形，因為，所以，

以下同選擇條件①②.若選擇條件②③，四棱錐不能唯一確定.舉例如下：由上述選擇①②與①③的求解可知，如上圖所示的兩兩垂直的四棱錐滿足題意；下面構(gòu)造一個不同的四棱錐：如圖，四棱錐中，平面平面，則向量空間中不共面的三個向量，，且，，則由三面角余弦定理知，，由四邊形為平行四邊形可知，，故，則，故也滿足條件.綜上所述，如圖所示的四棱錐也滿足題意，即滿足題意的四棱錐不能唯一確定.19．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過計算得出,取線段的三等分點（靠近點）證明平面平面即得；（2）依題建系，設(shè)點坐標，求兩平面的法向量，計算它們夾角的余弦值的表達