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文檔簡(jiǎn)介
2.1數(shù)列無(wú)窮小與極限
數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡(jiǎn)記為例如,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無(wú)限集,沒(méi)有最大正整數(shù).
即對(duì)任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得
依次取
在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
數(shù)列的變化過(guò)程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過(guò)程:n的主動(dòng)變化過(guò)程是自變量n的主動(dòng)變化過(guò)程和因變量的被動(dòng)變化過(guò)程.即n從1開(kāi)始,不斷增大(每次加1,無(wú)限重復(fù)).我們將n的這種變化過(guò)程稱(chēng)為n趨于無(wú)窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢(shì).對(duì)于數(shù)列我們主要研究當(dāng)時(shí)的是一個(gè)確定的正數(shù),對(duì)任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無(wú)限多個(gè),
我們從中任意選定一個(gè),記之為N,即等價(jià)于都存在正整數(shù)N,于是當(dāng)時(shí),有即數(shù)列從某一項(xiàng)(第N+1項(xiàng))開(kāi)始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱(chēng)為無(wú)窮小,對(duì)任意給定的,使得
每一項(xiàng)與常數(shù)0的距離都小于
也說(shuō)它的極限是
定義2.1(數(shù)列極限的定義)
如果使得當(dāng)時(shí),不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱(chēng)數(shù)列是無(wú)窮小.
則稱(chēng)當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是0,
如果存在某個(gè)常數(shù)A,使得
則稱(chēng)當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是A,
或稱(chēng)數(shù)列收斂于A.
記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得
則稱(chēng)數(shù)列沒(méi)有極限,
或稱(chēng)數(shù)列發(fā)散.
定理2.1(無(wú)窮小比較定理)
證正整數(shù)
n,
由定義,如果存在正數(shù)C,設(shè)則故對(duì)任意的使得對(duì)于所有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有練習(xí)證明證注意到及無(wú)窮小比較定理,
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