2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)之江實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列長度的三條線段，能組成三角形的是(

)A.3，4，8 B.

5，6，10 C.

5，5，11 D.5，6，113.下列選項(xiàng)中a的值，可以作為命題“，則”是假命題的反例是(

)A. B. C. D.4.下列各組圖形中，表示AD是中BC邊的高的圖形為(

)A. B. C. D.5.下列不等式說法中，不正確的是(

)A.若，，則 B.若，則

C.若，則 D.若，則6.如果的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C所對的邊分別為a，b，那么下列條件中能判斷是直角三角形的是(

)A.：：：4：5 B.，

C.，， D.，，7.如果不等式的解集是，那么m必須滿足(

)A. B. C. D.8.如圖，已知，則下列條件中，能夠判定≌的有(

)

①；

②；

③；

④A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)9.如圖，，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E恰好落在CD上.若，，則下列關(guān)系正確的是(

)A.

B.

C.

D.10.如圖，在中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，于點(diǎn)G，若，，則的面積是(

)A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.在中，銳角，則另一個(gè)銳角______.12.若等腰的兩條邊長為6cm和2cm，則等腰三角形周長為______13.中，三邊分別是a，b，c，斜邊，則的值為__________.14.如圖，，點(diǎn)A、C、E共線.若，，，則______.15.若不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是______.16.如圖，已知等邊三角形DEF，延長DF至點(diǎn)A，延長FE至點(diǎn)C，延長ED至點(diǎn)B，且，連結(jié)AB，AC，BC，則______；若，，請寫出a，b，c的關(guān)系______.

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題6分

解下列不等式組

求不等式的解；

解不等式組18.本小題6分

如圖，已知，，

用直尺和圓規(guī)，作出線段AB的垂直平分線不寫作法，保留作圖痕跡

如果線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，已知，求的度數(shù).19.本小題6分

如圖，，

求證：≌

線段EB與EC相等嗎？請說明理由．20.本小題8分

如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N都在格點(diǎn)上.

作關(guān)于直線MN對稱的圖形；

若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1，求的面積；

在直線MN上找一點(diǎn)P，則的最小值為______.21.本小題8分

等腰三角形ABC中，，于點(diǎn)D，

求的度數(shù)；

如圖2，EF垂直平分AB，交AC于點(diǎn)F，連接DF，求證：22.本小題10分

我校即將進(jìn)行學(xué)生秋季實(shí)踐活動(dòng)，計(jì)劃租用A，B兩種型號(hào)的大巴車，已知租用3輛A型大巴車和2輛臺(tái)B型大巴車，共需費(fèi)用2100元；4輛臺(tái)A型大巴車比5輛B型大巴車的費(fèi)用多500元.

求A型大巴車和B型大巴車每輛車各需多少元；

若我校計(jì)劃租用A，B兩種型號(hào)大巴車共30輛，且A型大巴車的輛數(shù)不少于B型大巴車的一半，兩種型號(hào)大巴車的租用總費(fèi)用不超過11500元，我校共有哪幾種租車方案？

在的條件下，直接寫出采用哪一種租用方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？23.本小題10分

如圖，在長方形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：

______用t的代數(shù)式表示

當(dāng)t為何值時(shí)，≌？

當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得與全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．

24.本小題12分

定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形．

如圖1，在智慧三角形ABC中，，AD為該三角形的智慧線，，，則BD長為______，的度數(shù)為______.

如圖2，為等腰直角三角形，，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形點(diǎn)A，F(xiàn)，E按順時(shí)針排列，，AE交BC于點(diǎn)D，連結(jié)EC，當(dāng)時(shí)，求證：ED是的智慧線．

如圖3，中，，若是智慧三角形，且AC為智慧線，求的面積．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不合題意；

B、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不合題意；

C、是軸對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；

D、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不合題意．

故選：

結(jié)合軸對稱圖形的概念求解即可．

本題考查了軸對稱圖形的概念，.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2.【答案】B

【解析】解：

A選項(xiàng)，，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形

B選項(xiàng)，，，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故能組成三角形

C選項(xiàng)，，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形

D選項(xiàng)，，兩邊之和不大于第三邊，故不能組成三角形

故選：

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求

此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，要掌握并熟記三角形的三邊關(guān)系：在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．3.【答案】C

【解析】解：用來證明命題“若，則”是假命題的反例可以是：，

，但是，

正確；

故選：

根據(jù)要證明一個(gè)命題結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個(gè)命題是假命題．

此題主要考查了利用舉例法證明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要說明數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤，只需舉出一個(gè)反例即可，這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．4.【答案】D

【解析】解：的高AD是過頂點(diǎn)A與BC垂直的線段，只有D選項(xiàng)符合．

故選：

根據(jù)高的定義：”過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線“解答．

本題考查了三角形的高線，屬于基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B

【解析】解：A、，，

，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、，

，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；

C、，

，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、，

，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和等于是解此題的關(guān)鍵．

根據(jù)直角三角形得出，再根據(jù)：：：4：5，求出最大角即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)C、選項(xiàng)

【解答】

解：：：：4：5，，

最大角，

不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.，，

，

不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.，，，

，

是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.，，，

，

不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意，

故選7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榈慕饧?，不等?hào)的方向改變了，

所以，解得

故選：

根據(jù)兩邊同時(shí)除以，不等號(hào)的方向改變，可得，解得

本題考查了不等式的性質(zhì)．注意：不等式兩邊同除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變．同理，當(dāng)不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)數(shù)后不等號(hào)的方向改變，也可以知道不等式兩邊同時(shí)除以的是一個(gè)負(fù)數(shù)．8.【答案】D

【解析】解：A、，，，

根據(jù)AAS能推出≌，故本選項(xiàng)符合題意；

B、，，，

根據(jù)HL能推出≌，故本選項(xiàng)符合題意；

D、，，，

根據(jù)HL能推出≌，故本選項(xiàng)符合題意；

C、，，，

根據(jù)AAS能推出≌，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：

根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．

本題考查了全等三角形判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，9.【答案】D

【解析】解：點(diǎn)B、E關(guān)于AC對稱，

，，，

，

，

，

是的外角，

，

在中，，即，

，

，即，

，

故選：

運(yùn)用軸對稱、等腰三角形、三角形的內(nèi)角和與外角和等性質(zhì)找相關(guān)角的關(guān)系即可求解．

本題考查了軸對稱、等腰三角形、三角形的內(nèi)角和與外角和，根據(jù)圖形分析角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：連接DE，

是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，

，

，

于點(diǎn)G，

，

，，

，

，

，

過E作于F，

的面積，

的面積，

的面積，

的面積，

的面積，

故選：

連接DE，首先證明，推出，，求出都是面積即可解決問題．

本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．11.【答案】

【解析】解：中，，

故答案為：

根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．12.【答案】14

【解析】解：當(dāng)2cm的邊為腰時(shí)，由于，不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)2cm的邊為底時(shí)，該等腰三角形的周長為

故答案為：

根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，當(dāng)2cm的邊為腰和底時(shí)，分別計(jì)算其周長即可．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】18

【解析】【分析】

先由勾股定理求得，然后求得的值．

本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的內(nèi)容．

【解答】

解：為直角三角形，斜邊，

，

故答案為：14.【答案】5

【解析】解：過B作于M，過D作于N，

，

，，

，，

，，

，

，

，

，

，，

≌，

，

，

故答案為：

過B作于M，過D作于N，由等腰三角形的性質(zhì)求出，，由余角的性質(zhì)推出，判定≌，得到，由勾股定理求出，得到

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是判定≌，得到15.【答案】

【解析】解：，

解不等式①得：；

解不等式②得：，

原不等式組的解集為

又不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，

故答案為：

解不等式組，可得出原不等式組的解集為，結(jié)合原不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，即可得出a的取值范圍．

本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，通過解不等式組及不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：在等邊三角形DEF中，有，，

，

，

，

≌≌，

，

為等邊三角形，

，

，，

，即：，

故答案為：，

根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理及三角形的三邊關(guān)系求解．

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：去括號(hào)得：，

移項(xiàng)合并得：，

系數(shù)化為1得：，

不等式的解集為；

，

由①得：，

由②得：，

不等式組的解集為

【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式和不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．18.【答案】解：如圖，直線MN即為所求；

垂直平分線段AB，

，

，

，

，

【解析】利用尺規(guī)根據(jù)要求作出圖形即可；

利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可．

本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．19.【答案】證明：在與中，

，

≌；

解：理由如下：

≌，

，

【解析】根據(jù)SSS定理證明結(jié)論；

由中全等三角形得，再由等角對等邊定理得結(jié)論．

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．20.【答案】

【解析】解：如圖，即為所求．

的面積為

連接，交直線MN于點(diǎn)P，連接CP，

此時(shí)，為最小值．

由勾股定理得，，

的最小值為

故答案為：

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．

利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．

連接，交直線MN于點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，最小值為的長，利用勾股定理計(jì)算即可．

本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題、勾股定理，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．21.【答案】解：，

，

，

，

，

設(shè)，則，

，

解得：，

；

證明：連接BF，

垂直平分AB，

，

，

，

，

，

，，

，

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

連接BF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：設(shè)每輛A型大巴車需x元，每輛B型大巴車需y元，

根據(jù)題意得：，

解得：

答：每輛A型大巴車需500元，每輛B型大巴車需300元；

設(shè)租用m輛A型大巴車，則租用輛B型大巴車，

根據(jù)題意得：，

解得：，

又為正整數(shù)，

可以為10，11，12，

該校共有3種租車方案，

方案1：租用10輛A型大巴車，20輛B型大巴車；

方案2：租用11輛A型大巴車，19輛B型大巴車；

方案3：租用12輛A型大巴車，8輛B型大巴車；

采用租車方案1所需費(fèi)用為元；

采用租車方案2所需費(fèi)用為元；

采用租車方案3所需費(fèi)用為元

，

采用租車方案1可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是11000元．

【解析】設(shè)每輛A型大巴車需x元，每輛B型大巴車需y元，根據(jù)“租用3輛A型大巴車和2輛臺(tái)B型大巴車，共需費(fèi)用2100元；4輛臺(tái)A型大巴車比5輛B型大巴車的費(fèi)用多500元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

設(shè)租用m輛A型大巴車，則租用輛B型大巴車，根據(jù)“A型大巴車的輛數(shù)不少于B型大巴車的一半，兩種型號(hào)大巴車的租用總費(fèi)用不超過11500元”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各租車方案；

利用總租金=每輛A型大巴車的租金租用A型大巴車的數(shù)量+每輛B型大巴車的租金租用B型大巴車的數(shù)量，可求出采用各租車方案所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；根據(jù)各數(shù)量之間的