第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第五十中學(xué)分校高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線(xiàn)3x?4y+1=0不經(jīng)過(guò)(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.直線(xiàn)y=?3x+1A.?30° B.30° C.1203.已知點(diǎn)B是點(diǎn)A2,?3,4在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A.2,?3,0 B.2,0,4 C.0,?3,4 D.2,3,44.若直線(xiàn)3x+y?1=0與直線(xiàn)23A.1 B.54 C.3 D.5.如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.點(diǎn)M在OC上，且OM=12MCA.?1B.?12a?D.16.圓C1:x2+yA.相交 B.相離 C.內(nèi)切 D.外切7.已知空間中四點(diǎn)A?1,1,0，B2,2,1，C1,1,1，D0,2,3，則點(diǎn)D到平面ABCA.6 B.63 C.8.已知點(diǎn)A(1,3),B(?2,?1)，若直線(xiàn)1:y=k(x?2)+1與線(xiàn)段AB相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.12,+∞ B.?2,12

C.9.已知向量a=2,?1,3，b=?4,2,t的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)tA.?∞,?6B.?∞,103C.103,+∞10.正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為棱AD，AC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BN和FM夾角的余弦值為(

)

A.56 B.116 C.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線(xiàn)x+y?2=0與x?y=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為

．12.已知向量m=2,?1,6,n=1,λ,3，且m⊥13.已知方程x2+y2?2x+2y+F=0表示半徑為2的圓，則實(shí)數(shù)14.設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，15.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是?ABC內(nèi)(①若AE=λAC,λ∈0,1，則②若AE=12AB+AC，則直線(xiàn)③若D1E=tDE，則t的最大值為④若平面α與正方體各個(gè)面都相交，且B1D⊥α，則截面多邊形的周長(zhǎng)一定為6三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)已知a=(1,?3,??2),?(1)求a+(2)若(a+kb)⊥(17.(本小題12分)已知ABCD?A1B1C1D1是正方體，點(diǎn)(1)求證：BD(2)求二面角E?FC?B的余弦值．18.(本小題12分)已知?ABC頂點(diǎn)A1,2、B?3,?1、(1)求邊BC的垂直平分線(xiàn)l1(2)若直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)A，且l2的縱截距是橫截距的2倍，求直線(xiàn)l19.(本小題12分)已知圓C的圓心在直線(xiàn)x?2y=0上，且與y軸相切于點(diǎn)0,1．(1)求圓C的方程；(2)若圓C直線(xiàn)l:x?y+m=0交于A，B兩點(diǎn)，_____，求m的值．從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：條件①：∠ACB=120條件②：AB=220.(本小題12分)如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，DE⊥AB于E.將ΔAED沿DE翻折到ΔA′ED(Ⅰ)求證：平面A′ED⊥平面BCDE；(Ⅱ)求直線(xiàn)A′E與平面A′BC所成角的正弦值；(Ⅲ)設(shè)F為線(xiàn)段A′D上一點(diǎn)，若EF//平面A′BC，求DFFA′的值．21.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x2+(1)若直線(xiàn)l平行于AB，與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程；(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+P(3)對(duì)于線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)Q，若在以點(diǎn)B為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,?N，使得點(diǎn)M是線(xiàn)段QN的中點(diǎn)，求圓B的半徑r的取值范圍．

參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.D

7.A

8.B

9.D

10.D

11.1,1

12.20

13.?2

14.?8

15.①②④．

16.(1)由題a+b=(0,4,0)(2)因?yàn)?a+k又a+kb=則(1?k)?2+(3+k)?2+(?2+2k)?(?4)=0?16?8k=0?k=2．

17.(1)證明：依題意以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，

則B(2,2,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，

所以E(2,1,2)，F(xiàn)(1,2,2)，

所以BD1=(?2,?2,2),EF=(?1,1,0)，

BD1?EF=(?2)×(?1)+(?2)×1+0=0，

所以BD1⊥EF，所以BD1⊥EF．

(2)解：因?yàn)镈C⊥平面BCF，所以平面BCF的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，

設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

因?yàn)镋F=(?1,1,0)，F(xiàn)C=(?1,0,?2)，18.解：(1)由于kBC=?3+13+3=?13，所以l1的斜率為k=3，BC中點(diǎn)(2)當(dāng)橫、縱截距均為0時(shí)，l2的斜率為2，所以l2的方程為當(dāng)橫、縱截距均不為0時(shí)，設(shè)l2的方程為xa+yb=1，因?yàn)榭v截距是橫截距的2倍，所以b=2a，又l2因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A，所以1a+2b=1，解得

19.(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為Ca,b，半徑為r由圓C的圓心在直線(xiàn)x?2y=0上，知：a=2b．又∵圓C與y軸相切于點(diǎn)0,1，∴b=1，a=2，則r=a?0∴圓C的圓心坐標(biāo)為2,1，則圓C的方程為x?22(2)如果選擇條件①：∠ACB=120°，而∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d=1，則d=2?1+m1+1=1，解得如果選擇條件②：AB=23∴圓心C到直線(xiàn)l的距離d=1，則d=2?1+m1+1=1，解得

20.(Ⅰ)在菱形ABCD中，因?yàn)镈E⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥EB．所以A′E⊥DE.因?yàn)锳′E⊥BE，DE∩BE=E，DE?平面BCDE，BE?平面BCDE，所以A′E⊥平面BCDE.因?yàn)锳′E?平面A′ED，所以平面A′ED⊥平面BCDE．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A′E⊥DE，A′E⊥BE，DE⊥BE，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E?xyz，則E0,0,0，B2,0,0，D0,23所以AE=0,0,?2，BA′=設(shè)平面A′BC的法向量n=x,y,z得?2x+2z=02x+23y=0所以x=zx=?3所以n=32所以cos<所以直線(xiàn)A′E與平面A′BC所成角的正弦值為21(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，DA′=0,?2設(shè)DF=mDA′=因?yàn)镋F//平面A′BC，所以EF?n=0所以m=12，即DF=

21.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+y2因?yàn)閘平行于AB，又kAB=2?01?(?1)=1則圓心C到直線(xiàn)l之距d=m+22所以直線(xiàn)l的方程為y=x?2+22或(2)假設(shè)圓上存在點(diǎn)P，設(shè)P(x,?y)，則(x?2)又PA2+P因?yàn)??2<則圓(x?2)2+y2=4與圓(3)設(shè)點(diǎn)Q(t,?0),?1≤t≤2,?N(x,