PAGE1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.駕馭空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．2．駕馭空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示．1.會利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡潔的運(yùn)算問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．駕馭空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并會推斷兩個向量是否共線或垂直．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．駕馭空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式，并能運(yùn)用這些公式解決簡潔幾何體中的問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.怎樣用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算？2．怎樣通過坐標(biāo)反映向量的平行與垂直？怎樣用坐標(biāo)求向量的模和夾角？1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝＝；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，則肯定有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立嗎？提示：不肯定，只有當(dāng)b1，b2，b3均不為0時，eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立．3．空間兩點(diǎn)間的距離在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；P1P2＝||＝．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝(－2，4，－2).()(2)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，則|a|＝|b|.()(3)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，則a⊥b.()(4)在空間直角坐標(biāo)系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，－3).()(5)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y(tǒng)1＝z1＝1，則a為單位向量．()提示：(1)√.b＝a＋b－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).(2)√.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(12＋22＋02)＝eq\r(5)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(（－2）2＋02＋12)＝eq\r(5)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)).(3)√.由a·b＝0，得a⊥b.(4)×.由A(1，2，3)，B(4，5，6)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－1，5－2，6－3)＝(3，3，3).(5)×.若x1＝y(tǒng)1＝z1＝1，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，所以a不是單位向量．2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(A．(16，0，4)B．(8，－16，4)C．(8，16，4)D．(8，0，4)【解析】選D.4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，03．已知a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，若a⊥b，則x等于()A．－26B．－10C．2D．10【解析】選A.由于a＝(2，－3，1)，b＝(4，－6，x)，且有a⊥b，所以a·b＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x＝0，解得x＝－26.4．(教材二次開發(fā)：例題改編)已知A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，－2，6)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2，－6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角是________．【解析】cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1×1＋（－2）×2＋6×（－6）,\r(（－1）2＋（－2）2＋62)×\r(12＋22＋（－6）2))＝eq\f(－41,41)＝－1，所以〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π.答案：π關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))，則2a－3b＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，3，－7))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－5))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，7，－11))2.若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，－1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2))，則a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))的值為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6，－5)) B．5C．7 D．363．若向量a，b的坐標(biāo)滿意a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，2))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3，－2))，則a·b等于()A．5B．－5C．7D．－1【解析】1.選C.因為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))，所以2a－3b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2，－4))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－5)).2．選B.b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，5))，a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋c))＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.3．選B.因為a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1，2))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－3，－2))，兩式相加得2a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－4，0))，解得a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，1，2))，所以a·b＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×1＋0×2＝－5.空間向量坐標(biāo)運(yùn)算方法一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，在確定了向量的坐標(biāo)后，運(yùn)用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計算就可以了，但要嫻熟應(yīng)用下列有關(guān)乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)因為2a所以(2a)·(－b＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.類型二用向量運(yùn)算解決平行與垂直(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).(1)若a∥b，分別求λ與m的值；(2)若|a|＝eq\r(5)，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.【思路導(dǎo)引】(1)依據(jù)向量平行，設(shè)(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程組，即可得出λ與m的值；(2)由向量垂直以及模長公式得出λ＝－1，即可求出向量a.【解析】(1)因為a∥b，所以設(shè)(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k（2m－1），,2λ＝2k))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3，))所以λ＝eq\f(1,5)，m＝3.(2)因為|a|＝eq\r(5)且a⊥c，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋1))－2λ×1－λ×2λ＝0，))化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，))解得λ＝－1.因此a＝(0，1，－2).向量平行與垂直問題的兩種題型(1)平行與垂直的推斷；(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用．解題時要留意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．1．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，2))，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k＝()A．eq\f(7,5)B．1C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,5)【解析】選A.因為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，2))，所以ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k，2))，2a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－2))，又因為ka＋b與2a－b相互垂直，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝0，所以3k－3＋2k－4＝0，解得k＝eq\f(7,5).2．設(shè)x，y∈R，向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，1，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，y，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－4，2))，且a⊥c，b∥c，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝()A．2eq\r(2)B．eq\r(10)C．3D．4【解析】選C.因為b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2，1))，因為a⊥b，所以a·b＝x＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＋1＝0，所以x＝1，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1))，所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1，2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＋22)＝3.類型三用向量運(yùn)算求夾角和距離(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求夾角【典例】已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－1))，則下列向量中與a成60°角的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，1))【思路導(dǎo)引】用夾角公式計算夾角余弦值，進(jìn)一步求角．【解析】選B.對于A選項中的向量a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))，cos〈a，a1〉＝eq\f(a·a1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1)))＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，則〈a，a1〉＝120°；對于B選項中的向量a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，0))，cos〈a，a2〉＝eq\f(a·a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，則〈a，a2〉＝60°；對于C選項中的向量a3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，1))，cos〈a，a3〉＝eq\f(a·a3,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a3)))＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，則〈a，a3〉＝120°；對于D選項中的向量a4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，1))，此時a4＝－a，兩向量的夾角為180°.角度2求距離【典例】ABC-A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，則AA1A．eq\r(2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)【思路導(dǎo)引】由題意畫出圖形，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝a，再由＝0列式求解a值，則答案可求．【解析】選B.如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AA1＝a，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，a))，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，a))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，a)).由AB1⊥BC1得＝－eq\f(1,2)＋a2＝0，即a＝eq\f(\r(2),2).所以AA1＝eq\f(\r(2),2).利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角與距離的一般步驟(1)建系：依據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)；(3)論證、計算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算；(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為夾角與距離問題．1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O(0，0，0)，E(2eq\r(2)，0，0)，F(xiàn)(0，2eq\r(2)，0)，B為EF的中點(diǎn)，C為空間一點(diǎn)且滿意|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝3，若cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,6)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝()A．9B．7C．5D．3【解析】選D.設(shè)C(x，y，z)，B(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，y－eq\r(2)，z)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，由cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→)))))＝eq\f(（－2\r(2)，2\r(2)，0）·（x－\r(2)，y－\r(2)，z）,4×3)＝eq\f(1,6)，整理可得x－y＝－eq\f(\r(2),2)①，由|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝3得eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（x－\r(2)）2＋（y－\r(2)）2)，化簡得x＋y＝eq\r(2)②，由①②聯(lián)立得x＝eq\f(\r(2),4)，y＝eq\f(3\r(2),4)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝(x，y，z)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2\r(2)，0))＝2eq\r(2)y＝3.2．已知△ABC的三個頂點(diǎn)為A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，則BC邊上的中線長為________．【解析】設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(－1，－2，2)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋4＋4)＝3.答案：33．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4).(1)計算2a－3b和eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－3b)).(2)求〈a，b〉．【解析】(1)因為向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)，所以2a－3b＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a－3b))＝eq\r(12＋（－5）2＋82)＝3eq\r(10).(2)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(9,3×3\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,4).備選類型向量法解決存在性問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°.設(shè)AB＝AP，在線段AD上是否存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由．【思路導(dǎo)引】依據(jù)圖形特征建立坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等建立方程組，考察方程組的解的狀況．【解析】因為PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又AB⊥AD，所以AP，AB，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.假設(shè)在線段AD上存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等．連接GB，GC，GP，設(shè)AB＝AP＝t，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，則B(t，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t，0).因為∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0).所以eq\o(GC,\s\up6(→))＝(1，3－t－m，0)，eq\o(GD,\s\up6(→))＝(0，4－t－m，0)，eq\o(GP,\s\up6(→))＝(0，－m，t).由|eq\o(GC,\s\up6(→))|＝|eq\o(GD,\s\up6(→))|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|eq\o(GD,\s\up6(→))|＝|eq\o(GP,\s\up6(→))|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化簡得m2－3m＋4＝0.③由于方程③沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等．立體幾何存在性問題的解法存在性問題通常都是假設(shè)存在，即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用題目條件建立方程或不等式，有解說明存在，無解說明不存在，即要把立體幾何的存在性轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB和BC的中點(diǎn)，在棱B1B上是否存在一點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，設(shè)M(1，1，m).連接AC，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0).而E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).又因為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－1))，＝(1，1，m－1)，而D1M⊥平面EFB1，所以D1且D1M⊥B1E，即·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋（m－1）×0＝0，,0－\f(1,2)＋1－m＝0，))解得m＝eq\f(1,2)，即M為B1B的中點(diǎn)．課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，滿意條件(c－a)·2b＝－2，則x的值為()A．2 B．－2 C．0 【解析】選A.因為c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c－a)·2b＝2－