學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng),若b=acosC，c=asinB，試判斷△ABC的形狀.思路分析：本題已知條件中既涉及邊又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理將邊角互化，從而將問(wèn)題解決.解：由b=acosC，得b=a·，即2b2=a2+b2—c2?！郻2+c2=a2?！郃=90°.∴c=asinB=a·=b.故△ABC為等腰直角三角形.綠色通道:判斷三角形的形狀，常常有兩種方式，一是從邊的角度加以判斷，從而可以考慮將已知條件轉(zhuǎn)化為邊間的關(guān)系；二是從角的角度去判斷，從而可以考慮將已知條件轉(zhuǎn)化為角間的關(guān)系。變式訓(xùn)練（經(jīng)典回放）在△ABC中,若acosA=bcosB,求證:△ABC是等腰三角形或直角三角形。思路分析：判斷三角形形狀通常從三角形內(nèi)角的關(guān)系確定，也可以從三角形三邊關(guān)系確定，本題可考慮把邊化為角，尋找三角形的角之間的關(guān)系，然后予以判定.在正弦定理的推廣中,a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC是邊化角的主要工具.證明:由正弦定理,得。又acosA=bcosB，即,即sinAcosA=sinBcosB?！鄐in2A=sin2B.∴2A=2B或2A=π—2B?！郃=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.例2（2006天津高考，理17)如圖1—1-1,在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=。圖1-1—1(1）求AB的值;(2)求sin（2A+C）的值。思路分析:已知兩邊及其夾角，求第三邊，要用余弦定理；求三角函數(shù)的值,需求sinA及sinC的值，就要用正弦定理.解：（1)由余弦定理，有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=4+1—2×2×1×=2，所以AB=。（2）由cosC=且0＜C＜π，得sinC=.由正弦定理,得sinA=.所以cosA=.由倍角公式sin2A=2sinA·cosA=，且cos2A=1—2sin2A=，故sin(2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=。綠色通道:正弦、余弦定理是解決三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要工具，這類題目往往結(jié)合基本的三角變換，同時(shí)注意三角形中的一些重要性質(zhì)(內(nèi)角和，大邊對(duì)大角,射影定理等).變式訓(xùn)練（2005天津高考，理17)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2+c2—bc=a2和。求∠A和tanB的值.思路分析：b2+c2—bc=a2的結(jié)構(gòu)與余弦定理相類似,用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題.解：cosA=,所以∠A=60°.由∠C=180°-∠A—∠B=120°—∠B，得。所以tanB=。例3如圖1—1—2，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)∠MGA=α（≤α≤)。圖1—1-2(1）試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為α的函數(shù).(2）求y=的最大值與最小值。思路分析：(1）求表示三角形面積的函數(shù)，需解決邊長(zhǎng)問(wèn)題,在△AGM及△AGN中，關(guān)鍵是用正弦定理求MG、GN的長(zhǎng)度.（2)將(1)所給的函數(shù)化簡(jiǎn)變形，盡量化成最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)表達(dá)式特點(diǎn)求最值.解：(1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正△ABC的中心,所以GA=×，∠MAG=。由正弦定理，得GM=。則S1=GM·GA·sinα=.同理，可得S2=。(2）y=[sin2（α+）+sin2（α—)］=72(3+cot2α).因?yàn)椤堞痢?，所以?dāng)α=或α=時(shí)，y取得最大值ymax=240.當(dāng)α=時(shí)，y取得最小值ymin=216.綠色通道:在知識(shí)的交匯點(diǎn)處出題是高考的一個(gè)特點(diǎn)。解三角形問(wèn)題要注重正余弦定理、三角形的性質(zhì)、三角變換、函數(shù)思想的綜合應(yīng)用。黑色陷阱：（1)錯(cuò)誤之一是不能正確列出面積表達(dá)式.要養(yǎng)成結(jié)合圖形及基礎(chǔ)知識(shí)，分析已知條件和所求結(jié)論之間的聯(lián)系的習(xí)慣。（2）另一錯(cuò)誤是三角公式不能靈活應(yīng)用，三角變換不熟練，化簡(jiǎn)與變形存在問(wèn)題，要熟記基本公式及常見(jiàn)的三角函數(shù)恒等變形。變式訓(xùn)練在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若b2=ac，求y=的取值范圍.思路分析：將所給的解析式化簡(jiǎn)，實(shí)現(xiàn)角函數(shù)名稱、運(yùn)算的統(tǒng)一,化簡(jiǎn)為y=sinB+cosB，同時(shí)要注意函數(shù)的要素-—定義域,由b2=ac,結(jié)合不等式、正余弦定理求出角B的范圍.解:cosB=,∴0＜B＜。又y==sinB+cosB=sin（B+）.由0＜B＜，得＜B+≤?！啵約in（B+)≤1.∴1＜y≤2.例4已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6,CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.思路分析：連結(jié)AC，將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有公共邊的三角形，在三角形中,利用正弦、余弦定理解決.解：如圖1—1-3，連結(jié)AC，∵B+D=180°，∴sinB=sinD。圖1-1-3S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BCsinB+AD·DCsinD=14sinB。由余弦定理，得AB2+BC2—2AB·BCcosB=AD2+DC2—2AD·DCcosD,即40-24cosB=32-32cosD。又cosB=-cosD,∴56cosB=8，cosB=.∵0°＜B＜180°，∴sinB=1-cos2B=.∴S四邊形ABCD=14sinB=.黑色陷阱：本題誤區(qū)之一是不能有效地把四邊形的面積進(jìn)行分解,以至于找不到解決問(wèn)題的思路。誤區(qū)之二，在過(guò)程的書寫上不能將條件寫全，過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練（2005湖北高考，文18)在△ABC中，已知tanB=,cosC=,AC=，求△ABC的面積.思路分析：考慮到三角形面積公式的形式，如何求出兩邊和它們夾角的正弦值是關(guān)鍵.解法一：設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b，由tanB=,得B=60°,∴sinB=,cosB=.又sinC=，應(yīng)用正弦定理得c=.∴sinA=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC=.故所求面積S△ABC=bcsinA=.解法二:同解法一可得c=8，又由余弦定理,得b2=a2+c2—2accosB，即54=a2+64—2a×8×，∴a2—8a+10=0。解得a1=，a2=.∵B=60°，0°＜C＜90°，∴30°＜A＜120°。由,得a=·sin30°=＞3,而a2=＜3,舍去,故a=.故所求面積S△ABC=acsinB=.問(wèn)題探究問(wèn)題1在涉及三角形的解的個(gè)數(shù)題目中，如何來(lái)對(duì)三角形的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行確定?導(dǎo)思：在三角形中解的個(gè)數(shù)取決于邊角關(guān)系，確定解可以通過(guò)研究邊角關(guān)系進(jìn)行.邊角關(guān)系的最直接體現(xiàn)就在正余弦定理中。下面通過(guò)正余弦定理研究解的個(gè)數(shù).探究：一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如:已知a、b和A)，用正弦定理求B的各種情況：(1）若A為銳角時(shí)，如圖1—1—4所示：已知邊a、b和∠A，圖1-1—4（2）若A為直角或鈍角，則問(wèn)題2對(duì)于正弦定理，在直角、銳角三角形中都已證明是成立的，那么在鈍角三角形中是否仍然成立呢？導(dǎo)思：對(duì)于此問(wèn)題的證明，除了課本上用三角函數(shù)的方法之外，還可以采用向量的方法證明。選擇過(guò)點(diǎn)A且與的單位向量，找出它與三角形三邊所在向量的夾角，由于++=0,∴i（++）=0.利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可以推導(dǎo)公式成立.探究:如圖1-1-5，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),過(guò)A點(diǎn)作