多元函數(shù)微分學多元復合函數(shù)的求導法則一、多元復合函數(shù)的微分法二、一階全微分形式的不變性三、小結一、多元復合函數(shù)的微分法1．復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)時的情形點可導；定理1（1）函數(shù)都在（2）函數(shù)在對應的點處有連續(xù)的偏導數(shù)．在點可導，且有則復合函數(shù)鏈式法則樹形圖

全導數(shù)區(qū)分導數(shù)的符號分段相乘；分叉（路徑）相加；

在與定理1相類似的條件下點可導，則函數(shù)對于t是可導的，且有都在例如，設函數(shù)

鏈式法則可以推廣到復合函數(shù)的變量多于兩個的情形．例1

設函數(shù)其中，求解由于由鏈式法則，得2．復合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形定理2(1)函數(shù)在點存在偏導數(shù)；在的對應點(2)函數(shù)處存在連續(xù)的偏導數(shù)則復合函數(shù)在點對的偏導數(shù)都存在，且有鏈式法則例2

設函數(shù)，其中，求解

由鏈式法則,得例3

設函數(shù)，求解

令，這時，根據(jù)鏈式法則，有例4

設函數(shù)，f具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求則解

令顯然f是一個抽象復合函數(shù)，由鏈式法則，有需要注意的是，樹形結構與f相同.仍為抽象復合函數(shù)，例4

設函數(shù)，f具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求解

于是根據(jù)鏈式法則，有為了書寫方便，引入下面得到記號：中的下標1表示對第一個中間變量u求偏導，中的下標2表示對第二個中間變量v求偏導，表示先對第一個中間變量u,再對第二個中間變量v求偏導，從而例3的結果可以寫為3．復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形定理3(1)函數(shù)在點存在偏導數(shù)，在x可導；在的對應點(2)函數(shù)處存在連續(xù)的偏導數(shù)則復合函數(shù)在點對的偏導數(shù)都存在，且有

對中間變量有三個或三個以上，而其中有的是多元函數(shù)，有的是一元函數(shù)時，也有類似的結論.設函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，具有偏導數(shù)，則復合函數(shù)可看作情形2中由鏈式法則可得復合函數(shù)在點對的偏導數(shù)為想一想，這里的有什么區(qū)別？例5

設函數(shù)而，求解

由鏈式法則例6

設其中求解

由鏈式法則例7

求函數(shù)的偏導數(shù)解

令，則由鏈式法則，有二、一階全微分形式的不變性多元函數(shù)也有類似的性質(zhì).設函數(shù)z=f(u,v)可微，當是自變量時，有全微分當是的中間變量時，即且都具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點(x,y)的全微分為對復合函數(shù)利用鏈式法則，有所以由此可見，無論u和v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分形式是一樣的.例8

利用微分形式不變性求且的全微分.解

由一階全微分形式的不變性，有又u和v是關于x和y的函數(shù)，且代入合并含有dx和dy的項，有三、小結1、多元復合函數(shù)的微分法（鏈式法則）主