1.2

極坐標(biāo)系1.理解極坐標(biāo)系的概念.2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置,體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別.3.掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.121.平面上點的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系的建立:在平面上取一個定點O,稱為極點;由O點出發(fā)的一條射線Ox,稱為極軸;一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向),合稱為一個極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)系內(nèi)點的極坐標(biāo)的規(guī)定:平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫.ρ稱為點M的極徑,θ稱為點M的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)稱為點M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ).12名師點撥(1)極點的極坐標(biāo).極點的極徑ρ=0,極角θ可以是任何實數(shù).所以極點的極坐標(biāo)為(0,θ)(θ∈R),也就是說極點有無數(shù)個極坐標(biāo).(2)點的極坐標(biāo)的多樣性.平面上給定一點,可以寫出這個點的無數(shù)多個極坐標(biāo).根據(jù)點的極坐標(biāo)(ρ,θ)的定義,對于給定的點的無數(shù)個極坐標(biāo),可分為兩類:一類為(ρ,θ+2kπ)(k∈Z);另一類為(-ρ,θ+2kπ+π)(k∈Z).12【做一做1-1】

若ρ1+ρ2=0(ρ1≠0,ρ2≠0),θ1+θ2=π,則點M1(ρ1,θ1)與點M2(ρ2,θ2)的位置關(guān)系是(

)A.關(guān)于極軸所在的直線對稱B.關(guān)于極點對稱C.關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱D.兩點重合答案:A12【做一做1-2】

下列關(guān)于極坐標(biāo)系的敘述:①極軸是一條射線;②極點的極坐標(biāo)是(0,0);③點(0,0)表示極點;⑤動點M(5,θ)(θ∈R)的軌跡是以極點為圓心,以5為半徑的圓.其中敘述正確的序號是

.

12解析:設(shè)極點為O,極軸就是射線Ox,①正確;極點O的極徑ρ=0,極角θ是任意實數(shù),極點的極坐標(biāo)應(yīng)為(0,θ),②錯誤;給定極坐標(biāo)(0,0),可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點,即極點,③正確;點M與點N的極角分別是

,④錯誤;由于動點M(5,θ)(θ∈R)的極徑ρ=5,極角是任意角,故點M的軌跡是以極點O為圓心,以5為半徑的圓,⑤正確.答案:①③⑤122.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件:①極坐標(biāo)系中的極點與直角坐標(biāo)系中的原點重合;②極軸與x軸的正半軸重合;③兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位.(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式:設(shè)M為平面上的一點,它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(ρ,θ),1212答案:BA.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0)答案:B極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的相同點和不同點剖析極坐標(biāo)系是用距離和角度來表示平面上點的位置的坐標(biāo)系,它由極點O與極軸Ox組成.對于平面內(nèi)任意一點P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以O(shè)x為始邊,OP為終邊的角為θ,則點P可用有序數(shù)對(ρ,θ)表示.直角坐標(biāo)系是在數(shù)軸的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,首先定義原點,接著用兩條互相垂直的直線分別構(gòu)成x軸和y軸,點的坐標(biāo)用有序數(shù)對(x,y)來表示.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點與有序?qū)崝?shù)對即坐標(biāo)(x,y)是一一對應(yīng)的,但在極坐標(biāo)系內(nèi),顯然一個有序數(shù)對(ρ,θ)只能與一個點對應(yīng),但一個點P卻可以與無數(shù)多個有序數(shù)對(ρ,θ)對應(yīng),也就是說平面上某點的極坐標(biāo)是不唯一的,極坐標(biāo)系中的點與有序數(shù)對(ρ,θ)不是一一對應(yīng)的.題型一題型二題型三【例1】

寫出圖中各點的極坐標(biāo),其中θ∈[0,2π).分析欲確定點的位置,需先確定ρ和θ的值.題型一題型二題型三反思(1)寫點的極坐標(biāo)要注意順序:極徑ρ在前,極角θ在后,不能把順序顛倒了.(2)點的極坐標(biāo)是不唯一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,則除極點外,點的極坐標(biāo)是唯一確定的.題型一題型二題型三題型一題型二題型三答案:B反思極坐標(biāo)系中的點(ρ,θ)關(guān)于極軸所在的直線的對稱點的極坐標(biāo)為(ρ,2kπ-θ)(k∈Z).題型一題型二題型三題型一題型二題型三123456答案:B1234562.在直角坐標(biāo)系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系.若點P的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)在數(shù)值上相同,