人教B版

數(shù)學(xué)

必修第二冊復(fù)習(xí)課第2課時統(tǒng)計與概率知識梳理構(gòu)建體系知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理1.在調(diào)查中,常采用哪些調(diào)查方式?提示:普查、抽樣調(diào)查.2.(1)簡單隨機抽樣有哪些常用方法?(2)簡單隨機抽樣和分層抽樣有哪些區(qū)別與聯(lián)系?提示:(1)抽簽法和隨機數(shù)表法.(2)類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中直接抽取

總體中的個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層,分層進行抽取在各層抽樣時采用簡單隨機抽樣總體由差異明顯的幾部分組成3.給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差如何計算?4.幾種常見的統(tǒng)計圖各有什么特點?提示:統(tǒng)計圖的類型特點柱形圖能清楚地反映出事物的具體數(shù)據(jù)折線圖能清楚地反映出事物變化情況扇形圖能清楚地反映出某一種事物占整體的百分比莖葉圖能清楚地反映出各個區(qū)間的具體數(shù)目5.頻率分布直方圖有什么優(yōu)點和不足?提示:它能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù),非常直觀地表明數(shù)據(jù)分布的情況,使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式.但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù),也就是說,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.6.我們?nèi)粘Ｉ钪械默F(xiàn)象分哪幾類?事件分哪幾類?提示:隨機現(xiàn)象和必然現(xiàn)象;必然事件、隨機事件和不可能事件.7.事件之間的關(guān)系與運算有哪些?請完成下表.名稱定義符號表示包含關(guān)系事件A發(fā)生時,事件B一定

發(fā)生A?B(B?A)相等關(guān)系若事件A發(fā)生,則事件B發(fā)生,反之亦然A=B和事件(并事件)由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件A+B(A∪B)積事件(交事件)由A與B中的

公共

樣本點組成的事件AB(或A∩B)互斥事件事件A與B不能

同時發(fā)生AB=?(或A∩B=?)對立事件給定樣本空間Ω與事件A,則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件8.概率的基本性質(zhì)(1)概率的范圍:[0,1].(2)必然事件的概率為

1,不可能事件的概率為

0.(3)若事件A,B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B).(5)若事件A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B).9.古典概型有什么特點?概率公式如何?提示:有限性和等可能性;若樣本空間中共有m個樣本點,事件A中共有n個樣本點,則事件A發(fā)生的概【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)為保證調(diào)查結(jié)果的正確性,所有調(diào)查都應(yīng)該采用普查的方式.(

)(2)從由老、中、青三代人組成的團體中抽取10人檢測他們的奔跑能力,可采用隨機數(shù)表法抽取樣本.(

)(3)在表示高一六個班學(xué)生的優(yōu)秀生人數(shù)時,可以考慮應(yīng)用柱狀圖.(

)(5)莖葉圖便于記錄,且無原始數(shù)據(jù)的缺失.(

)(6)相互獨立事件就是互斥事件.(

)(7)事件A發(fā)生的頻率可以大于其概率.(

)(8)擲一個均勻的骰子,事件A:朝上的面的點數(shù)為奇數(shù),事件B:朝上的面的點數(shù)為偶數(shù),則A與B相互獨立.(

)××√×√×√×專題歸納核心突破專題一抽樣方法的選擇和設(shè)計【例1】

一個單位有職工500人,其中不到35歲的有125人,35歲到49歲的有280人,50歲及以上的有95人,為了了解與身體狀況有關(guān)的某項指標(biāo),要從所有職工中抽取100名職工作為樣本,若職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān),應(yīng)該怎樣抽取?分析:因為職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān),所以應(yīng)選用分層抽樣來抽取樣本.解:用分層抽樣來抽取樣本,步驟如下.(1)分層,按年齡將500名職工分成三層,不到35歲的職工、35歲到49歲的職工、50歲及以上的職工.(3)在各層分別用抽簽法或隨機數(shù)法抽取樣本.(4)綜合每層抽樣,組成樣本.反思感悟三種抽樣方法的適用原則(1)看總體是否由差異明顯的幾個層組成.若是,則選用分層抽樣;否則,考慮用簡單隨機抽樣.(2)看總體容量和樣本容量的大小.當(dāng)總體容量較小時,既可以采用抽簽法,也可以采用隨機數(shù)表法;當(dāng)總體容量較大、樣本容量較小時,采用隨機數(shù)表法.【變式訓(xùn)練1】

某網(wǎng)站調(diào)查網(wǎng)民對當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)頁的滿意程度,在登錄網(wǎng)頁的所有網(wǎng)民中,收回有效帖子共50000份,其中持各種態(tài)度的份數(shù)如下表所示:很滿意滿意一般不滿意10800124001560011200為了了解網(wǎng)民的具體想法和意見,以便決定如何更改才能使網(wǎng)頁更完善,打算從中抽選500份.為使樣本更具有代表性,每類中各應(yīng)抽選出多少份?解:因為網(wǎng)民的態(tài)度有明顯的差別,所以宜采用分層抽樣法抽樣,各類所抽取的人數(shù)可以根據(jù)抽取比例進行計算.根據(jù)題意知抽取的比例為500∶50

000=1∶100,所以“很滿意”“滿意”“一般”專題二用樣本分布估計總體分布【例2】

有一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:[12.5,15.5),6;[15.5,18.5),16;[18.5,21.5),18;[21.5,24.5),22;[24.5,27.5),20;[27.5,30.5),10;[30.5,33.5),8.(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)累計分布估計小于24.5的數(shù)據(jù)占多大百分比.解:(1)樣本的頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[12.5,15.5)60.06[15.5,18.5)160.16[18.5,21.5)180.18[21.5,24.5)220.22[24.5,27.5)200.20[27.5,30.5)100.10[30.5,33.5)80.08合計1001.00(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)由圖表可知小于24.5的數(shù)據(jù)約占62%.頻率分布直方圖中計算用到的知識(1)圖中小矩形的面積=組距×=頻率.

(2)所有小矩形的面積之和為1.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

某地教育部門為了調(diào)查學(xué)生在某次數(shù)學(xué)考試中的有關(guān)信息,從此次參加考試的10000名考生中用分層抽樣的方法抽取500人,并根據(jù)這500人的數(shù)學(xué)成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖),則這10000人的數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[140,150](單位:分)上的約有

人.

解析:設(shè)500人的數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[140,150]上的人數(shù)為x,10

000人的數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[140,150]上的人數(shù)為n.由樣本頻率分布直方圖知數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[140,150]上的頻率是相應(yīng)小矩答案:800【例3】

用自動包裝機包糖,現(xiàn)從包裝好的一批糖中任取9包,稱得凈質(zhì)量數(shù)據(jù)如下(單位:kg):99.2,98.6,100.3,101.3,98.3,99.8,99.4,101.9,100.5,求出這9包糖的平均質(zhì)量和質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差,并估計包裝好的這批糖的平均質(zhì)量和標(biāo)準(zhǔn)差.分析:根據(jù)有關(guān)公式計算即可.據(jù)此可估計包裝好的這批糖的平均質(zhì)量為99.9

kg,標(biāo)準(zhǔn)差為1.13

kg.根據(jù)樣本的平均數(shù)和方差(標(biāo)準(zhǔn)差)可對總體作出正確的估計.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t/hm2):品種年份第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥?zhǔn)悄姆N?專題三古典概型【例4】

甲、乙兩校各有3名教師報名支教,其中甲校有2名男教師和1名女教師,乙校有1名男教師和2名女教師.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,求選出的2名教師性別相同的概率;(2)若從報名的6名教師中任選2名,求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.分析:先利用列舉法確定樣本空間及事件A中的樣本點個數(shù),再利用古典概型概率公式求解.解:甲校2名男教師分別用A,B表示,女教師用C表示;乙校男教師用D表示,2名女教師分別用E,F表示.(1)從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9種.從中選出的2名教師性別相同的結(jié)果為(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4種.(2)從報名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15種.從中選出的2名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果為(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6種.反思感悟采取適當(dāng)?shù)姆椒?按一定的順序確定所有樣本點是解題的關(guān)鍵.弄清樣本點與事件A的關(guān)系,再應(yīng)用概率公式計算.【變式訓(xùn)練4】

已知x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2,點P的坐標(biāo)為(x,y),求點P的坐標(biāo)滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.解:因為滿足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的點有25個,滿足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的點有6個,所以所求的概率P=.專題四互斥事件與對立事件【例5】

由經(jīng)驗可知,每天在學(xué)校食堂某窗口排隊等候就餐的人數(shù)及其概率如下表:排隊人數(shù)[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,+∞)概率0.100.160.300.300.100.04(1)求等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[4,16)內(nèi)的概率;(2)若等候就餐的人數(shù)大于或等于16,則應(yīng)增加一個新窗口,請問增加新窗口的概率是多少?分析:先判斷事件之間的關(guān)系,再利用適當(dāng)公式求解.解:(1)記“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[4,16)內(nèi)”為事件A,“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[4,8)內(nèi)”為事件A1,“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[8,12)內(nèi)”為事件A2,“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[12,16)內(nèi)”為事件A3,則A=A1+A2+A3,且A1,A2,A3彼此互斥,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.16+0.30+0.30=0.76.(2)要增加新窗口,則等候就餐的人數(shù)大于或等于16,包含兩種情況:等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[16,20)和[20,+∞)內(nèi),記“等候就餐的人數(shù)大于或等于16”為事件B,“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[16,20)內(nèi)”為事件B1,“等候就餐的人數(shù)在區(qū)間[20,+∞)內(nèi)”為事件B2,則B=B1+B2,且B1,B2互斥,則P(B)=P(B1)+P(B2)=0.10+0.04=0.14.運用互斥事件概率公式解題時,首先要分清事件之間是否互斥,同時要學(xué)會把一個事件拆分為幾個互斥事件.反思感悟【變式訓(xùn)練5】

如圖,靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ,Ⅲ構(gòu)成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為0.35,0.30,0.25,則不中靶的概率是

.

解析:射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分為兩兩互斥事件,則射手中靶的概率為0.35+0.30+0.25=0.90.中靶與不中靶互為對立事件,則不中靶的概率為1-0.90=0.10.答案:0.10專題五相互獨立事件【例6】

某項選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個問題,正確回答問題者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為,且能否正確回答各輪問題互不影響,求該選手被淘汰的概率.分析:先弄清事件關(guān)系,再選取適當(dāng)公式求解.解:記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件Ai(i=1,2,3),則

1.公式P(AB)=P(A)P(B)成立的前提是事件A,B相互獨立.反思感悟【變式訓(xùn)練6】

設(shè)甲、乙、丙三位老人是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內(nèi),甲、乙都需要照顧的概率為0.05,甲、丙都需要照顧的概率為0.1,乙、丙都需要照顧的概率為0.125.(1)求甲、乙、丙三位老人在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是多少;(2)求這一小時內(nèi)至少有一位老人需要照顧的概率.解:(1)記“甲在這一小時內(nèi)需要照顧”為事件A,“乙在這一小時內(nèi)需要照顧”為事件B,“丙在這一小時內(nèi)需要照顧”為事件C.由題意,得事件A,B,C兩兩相互獨立,即甲、乙、丙三位老人在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是0.2,0.25,0.5.高考體驗考點一

抽樣方法1.(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表,采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,則該樣本中的老年教師人數(shù)為(

)類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90 B.100

C.180

D.300答案:C2.(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200件、400件、300件、100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取

件.

答案:183.(2018·全國Ⅲ高考)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異,為了解客戶的評價,該公司準(zhǔn)備進行抽樣調(diào)查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣,則最合適的抽樣方法是

.

解析:因大量客戶且具有不同的年齡段,分層明顯,故根據(jù)分層抽樣的定義可知采用分層抽樣最為合適.答案:分層抽樣考點二

用樣本估計總體4.(2017·全國Ⅲ高考)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)解析:由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯誤.答案:A5.(2017·全國Ⅰ高考)為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1,x2,…,xn的平均數(shù)B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)解析:標(biāo)準(zhǔn)差和方差可刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度,故選B.答案:B6.(2022·全國甲高考)某社區(qū)通過舉辦公益講座向社區(qū)居民普及垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖,則(

)A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差解析:對于A,中位數(shù)為(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A錯誤;對于B,平均數(shù)為89.5%>85%,B正確;對于C,從圖中可以看出,講座前問卷答題的正確率的波動幅度要大于講座后問卷答題的正確率的波動幅度,故C錯誤;對于D,講座后問卷答題的正確率的極差為20%,講座前問卷答題的正確率的極差為35%,D錯誤.故選B.答案:B7.(2019·全國Ⅲ高考)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:甲離子殘留百分比直方圖

乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.考點三

互斥事件與對立事件的概率

答案:A考點四

古典概型9.(2022·全國乙高考)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為

.

解析:設(shè)除甲、乙外,其余三名同學(xué)為A,B,C.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名,則所有的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10個.甲、乙都入選的可能結(jié)果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3個.由古典概型公式計算,得甲、乙都入選的概率為

.10.(2016·北京高考)袋中裝有偶數(shù)個球(除顏色外均相同),其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則(

)A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.答案:B考點五

相互獨立事件的概率11.(2022·全國乙高考)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(

)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大解析:當(dāng)該棋手在第二盤與甲比賽時,p=p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=p1p2+p1p3-2p1p2p3;當(dāng)該棋手在第二盤與乙比賽時,p=p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=p1p2+p2p3-2p1p2p3;當(dāng)該棋手在第二盤與丙比賽時,p=p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=p1p3+p2p3-2p1p2p3.由p3>p2>p1>0,可知該棋手在第二盤與丙比賽,p最大.答案:D