專題2-1

函數(shù)的基本概念（解析式，定義域，值域）【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.總結：抽象函數(shù)的定義域的方法是：整體代換法（括號內(nèi)取值范圍相同）.1．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．【鞏固練習1】4．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【鞏固練習2】5．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【鞏固練習3】6．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【鞏固練習4】（2024·陜西西安·一模）7．若函數(shù)的定義域是[0，4]，則函數(shù)的定義域是A．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【題型9】分離常數(shù)法求值域一次分式函數(shù)：分離常數(shù)法+圖像法，形如的函數(shù)第一步：分離常數(shù)，將分子變?yōu)槌?shù)分離出常數(shù)和分子為常數(shù)的分式第二步：結合反比例函數(shù)的值域求函數(shù)的值域．8．函數(shù)的值域為【鞏固練習1】（廣西南寧三中?？迹?．若，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】10．函數(shù)的值域為【題型10】換元法求函數(shù)的值域求根式型函數(shù)值域：換元法形如的函數(shù)第一步：把函數(shù)中的根式設為一個變量t，并用t表示x，求出t的取值范圍．第二步：將所求關于x的函數(shù)變換為關于t的函數(shù)．第三步：求出y的取值范圍，即所求函數(shù)的值域．11．函數(shù)的值域是．【鞏固練習1】（湖南長沙·高一長郡中學?？迹?2．函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【鞏固練習2】13．函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【鞏固練習3】（2024·湖北·三模）14．函數(shù)的值域為（

）.A． B． C． D．【題型11】對勾函數(shù)值域問題對于對勾函數(shù)，是修訂的必修一教材新增的內(nèi)容，在P92頁以探究的形式出現(xiàn)（看課本上好像也沒有叫對勾函數(shù)），可以通過圖像法或構造基本不等式來求值域15．求函數(shù)的值域．16．求函數(shù)的值域．(1)(2)【鞏固練習1】17．求函數(shù)的值域．【鞏固練習2】18．求函數(shù)的值域．(1)；(2).【題型12】已知值域求參數(shù)范圍這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值.這個例題中，可以通過判別式法求值域，將值域的范圍轉化為判別式一元二次不等式中y的范圍，進而利用根與系數(shù)的關系求得參數(shù).1、雖然這類題型往往是已知值域，但在實際做題分析時，仍然從求值域的角度入手分析.2、辨析值域為R或零到正無窮、定義域為R之間的區(qū)別不要死記判別式的情況，因為內(nèi)層函數(shù)不一定是二次函數(shù)，我們要get到的是：為了讓值域能達到XX，我們內(nèi)層函數(shù)最初提供的范圍，只能多不能少，因為受定義域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不夠了.3、其他一般題型，我們建議多多嘗試數(shù)形結合.19．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．（2023上·寧波·余姚中學高一校考）20．已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的定義域為【鞏固練習1】（襄陽市第一中月考）21．已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)k的取值范圍．【鞏固練習2】（2023·山東省實驗中學?？迹?2．已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實數(shù)的取值為（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【題型13】分段函數(shù)及其應用分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（2024·吉林長春·三模）23．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8（2024·廣東佛山·二模）24．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側的圖形的面積為．則函數(shù)的大致圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

（2024·江西南昌·一模）25．設函數(shù)，若是的最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】（2023蘇州中學高一?？迹?6．設函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【鞏固練習2】27．已知函數(shù)，則不等式的解集為．【鞏固練習3】28．已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案：1．B【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：B.2．C【分析】根據(jù)的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.3．B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．4．【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為：5．C【分析】首先求出，則定義域為，再利用，解出即可.【詳解】，則，的定義域為，所以，解得，故其定義域為，故選：C.6．D【分析】根據(jù)與的取值范圍一致，從而得到，進而求得函數(shù)的定義域.【詳解】由，得，所以，所以．故選：D.7．D【分析】根據(jù)分式與的定義域求解即可【詳解】要使函數(shù)有意義，依題意需有解得，．故選：D．8．【分析】運用分離常數(shù)法化簡后結合圖象分析可得值域.【詳解】因為，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.9．A【分析】將函數(shù)變現(xiàn)為，結合反比例函數(shù)的性質計算可得.【詳解】因為，又因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)，的值域為．故選：A．10．【分析】利用反比例函數(shù)的定義域和值域都是，來求分式函數(shù)的值域.【詳解】因為，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.11．【分析】通過變量代換將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質分析運算即可得解.【詳解】解：由題意，函數(shù)的定義域為，令，則，，函數(shù)轉化為，，∵，對稱軸為，最大值為，∴當時，，即值域為，∴函數(shù)的值域是.故答案為：.12．A【分析】設，化簡函數(shù)為，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】設，則，且，則函數(shù)可化為，所以函數(shù)的值域為.故選：A.13．C【分析】根據(jù)換元法以及二次函數(shù)的性質求解結果.【詳解】令，則．設函數(shù)，當時，取最大值9．因為，所以．函數(shù)的值域為.故選：C.14．A【分析】由，解得．可得函數(shù)的定義域為：．．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出值域．【詳解】解：因為由，解得．可得函數(shù)的定義域為：．又．令，則，即在上單調遞增，令，解得，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以為極小值點，又，，．函數(shù)的值域為．故選：A．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值最值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．．【分析】求得函數(shù)定義域，分類討論，結合基本不等式即可求得函數(shù)值域.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為．當時，，當時取得等號；當時，，當時取得等號．綜上，求函數(shù)的值域是．【點睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)的值域，屬基礎題.16．(1)(2)【分析】（1）由基本不等式求出函數(shù)值域；（2）由對勾函數(shù)單調性求出值域.【詳解】（1），由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立.故值域為；（2），由對勾函數(shù)性質得，在上單調遞增，在上單調遞減，其中當時，，當時，，當時，，故值域為17．【分析】函數(shù)的值域，只需要求出的值域即可．由于乘積出現(xiàn)定值，可以用基本不等式求解．【詳解】顯然，分類討論．當，，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為，的最小值為；當，則，，當且僅當，即時取等號，此時的最大值為，的最大值為．綜上所得，函數(shù)的值域為．18．(1)(2)【分析】利用對勾函數(shù)的性質求解函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）因為，由對勾函數(shù)可知：在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，可知當時，取到最小值4，所以當時，函數(shù)的值域為.（2）因為，由對勾函數(shù)可知：在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，可知當時，取到最小值4，當時，；當時，；且，所以當時，函數(shù)的值域為.19．B【分析】根據(jù)題意由二次函數(shù)值域利用判別式即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以能取遍所有大于或等于零的實數(shù)，即方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解．所以，解得．故選：B．20．【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再利用抽象函數(shù)的定義域的求法求解【詳解】由值域為，得，所以，解得即的定義域為，由得，故的定義域為.故答案為：21．【分析】根據(jù)函數(shù)的值域為，可得是函數(shù)的值域的子集，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以是函數(shù)的值域的子集，當時，，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，.故答案為：.22．A【分析】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當時，取得最大值為，進而解得.【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，故函數(shù)的開口向下，，則方程的兩根為或，則，，即，則，當時，取得最大值為，即，解得：.故選：A.23．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.【詳解】由函數(shù)可得，.故選：B.24．A【分析】結合圖形，分類討論與，求得的解析式，從而得解.【詳解】依題意，當時，可得直角三角形的兩條直角邊分別為，從而可以求得，當時，陰影部分可以看做大三角形減去一個小三角形，可求得，所以，從而可知選項A的圖象滿足題意.故選：A.25．C【分析】由，求得的范圍；再求得的單調性，討論，時函數(shù)在的最小值，即可得到所求范圍．【詳解】解：函數(shù)，若，可得，由是的最小值，由于可得在單調遞增，在單調遞減，若，，則在處取得最小值，不符題意；若，，則在處取得最小值，且，解得，綜上可得的范圍是，．故選：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．26．B【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，分類列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，當時，