投影變換本節(jié)主要內(nèi)容一、換面法的概念二、點的投影變換三、直線的投影變換四、平面的投影變換問題的提出：能否變換投影面？★

求解一般位置直線的實長★

求解一般位置平面的真實大小★

求解一般位置平面間的夾角等問題？答案是：可以當(dāng)空間幾何元素相對投影面處于特殊位置時，可在投影圖中直接反映出實長、實形、夾角、交點等關(guān)系。一、換面法的概念一、換面法的概念VHAB

b

bV1實形新投影面的選擇原則（1）新投影面必須垂直于原投影面體系中的一個原有的投影面，與其一起構(gòu)成一個新的兩投影面體系。（2）新投影面必須使空間幾何元素處于最有利于解題的位置。cɑCɑc1

ɑ1

b1

c

換面法空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面（輔助投影面）代替原來的某一投影面，使幾何元素對新投影面處于有利于解題的某種特殊位置，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面

有關(guān)名詞術(shù)語新、舊、不變投影間關(guān)系？新投影到新軸的距離，等于舊投影到舊軸的距離！一、換面法的概念VHAB

b

bV1cɑCɑc1

ɑ1

b1

c

舊投影舊投影軸新投影新投影面新投影軸不變投影面舊投影面不變投影二、點的投影變換1．點的一次變換

舊投影體系

X—VH

新投影體系X1—V1H→

A點的兩個投影：a，a

→

A點的兩個投影：a，a1

⑴新投影體系的建立⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1

a1

ax1=a

ax

點的新投影到新投影軸的距離等于舊投影到舊投影軸的距離。一般規(guī)律：

點的新投影與不變投影的連線，垂直于新投影軸。a

⑶求新投影的作圖方法aa

XVHax

VHXV1HX1①確定新的投影軸。②由點的不變投影向新投影軸作垂線。③在垂線上量取一段距離，使這段距離等于舊投影到舊投影軸的距離。aX1H1Va1

axax1ax1●a1

作圖步驟：

..更換V面更換H面2．點的二次變換H先把V面換成平面V1，V1H，得到中間新投影體系:V1X1—再把H面換成平面H2，H2

V1，得到新投影體系:X2—V1H2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHa

axXX1V1a1

ax1

H2X2

ax2a2

V、H面交替更換，實現(xiàn)多次換面以滿足解題需要。即：V1

/HV1

/H2V3

/H2V/H

2．點的二次變換

V、H面交替更換，實現(xiàn)多次換面以滿足解題需要。即：V1

/HV1

/H2V3

/H2V/HAaVHa

axXX1V1a1

ax1

H2X2

ax2a2

ax2

aXVH

a2X1HV1X2V1H2a1

axax1

..

作圖規(guī)律：依次序更換思考題：新投影面的選擇原則是什么？思考題答案：新投影面的選擇原則是什么？1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。答：謝謝再見！三、直線的投影變換主要內(nèi)容0102將一般位置直線變換成投影面平行線將投影面平行線變換成投影面垂直線0304將一般位置平面變換成投影面垂直面將投影面垂直面變換成投影面平行面1．把一般位置直線變?yōu)槌赏队懊嫫叫芯€[例1]：求一般位置直線AB的實長及對H面、V面的夾角。用V1面代替V面，在V1/H投影體系中，AB//V1。三、直線的投影變換空間分析：求，換H面行嗎？不行！空間分析：用H1面代替H面，在V/H1投影體系中，AB//H1。2．把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€[例2]：一般位置直線AB變?yōu)橥队懊娲怪本€

空間分析:用V1面代替V面，在V1/H投影體系中，AB//V1用H2面代替H面，在V1/H2投影體系中，AB⊥H2一次換面行嗎？不行！新投影軸的位置？作圖方法：1．將一般位置平面變換成投影面垂直面

如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面空間分析：

在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。兩平面垂直需滿足什么條件？

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？兩次！四、平面的投影變換1．將一般位置平面變換成投影面垂直面四、平面的投影變換在平面內(nèi)取一條投影面平行線求△ABC的實形

換V面，使新投影面V1∥△ABCX1軸∥abc空間分析：作圖方法：新投影軸的位置？思考：怎樣將投影面垂直面變換成投影面平行面？2．將一般位置平面變換成投影面平行面求△ABC的實形一般位置平面與各投影面都傾斜，如果直接取一個新投影面與它平行是不行的。第一次將一般位置平面變換為投影面垂直面第二次將投影面垂直面變換為投影面平行面四、平面的投影變換需要經(jīng)過兩次換面：思考題:1.把一般位置平面變換成投影面平行面，需要變換幾次投影面？2.求一般位置直線對V面的夾角，變換哪個投影面？思考題答案：1.把一般位置平面變換成投影面平行面，需要變換幾次投影面？答：兩次。2.求一般位置直線對V面的夾角，變換哪個投影面？答：H面。謝謝再見！§2-7綜合應(yīng)用舉例

本講主要內(nèi)容0102求兩直線間的最短距離求點到平面的距離03求兩平面間的夾角

解題時，首先要根據(jù)已給幾何元素和待求幾何元素之間的關(guān)系，按題意進(jìn)行空間分析。如果用換面法解題，還要考慮他們與投影面之間處于怎樣的位置時，才能使問題最易于解答，然后確定新投影面的位置和變換步驟，最后進(jìn)行作圖。[例2-21]已知交叉二直線AB、CD，求其最短連線的位置及其最短連線的長度。解題思路：2.如果有一條直線為投影面垂直線（AB為鉛垂線），則公垂線MN必是該投影面的平行線。1.公垂線就是其最短連線空間分析：ABDCNMdcɑbnmP距離[例2-22]已知交叉二直線AB、CD，求其最短連線的位置及其最短連線的長度。

解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的投影即反映實長。1.將兩直線之一變換為投影面垂直線。

空間分析：MNmn[例2-22]已知交叉二直線AB、CD，求其最短連線的位置及其最短連線的長度。作圖步驟：4.將KL返回原體系。2.在投影面H2

中作公垂線MN的投影m2n2。1.將兩已知直線之一AB變換為投影面垂直線,直線CD隨之變換。3.在投影面V1

中作公垂線MN的投影m1

n1

。(m1

n1

Ｘ2)MNmnnˊmˊmnm1????????n1????????m2n2距離[例2-23]已知點D和正垂面ABC，試過點D向ABC作垂線DE，并作出垂足E以及點D到ABC的真實距離。

解題思路：正平線d′e′反映點D到△ABC的真實距離，正平線的水平投影de是“平直線”?？臻g分析：過一點向一個平面只能作一條垂線，因為△ABC是正垂面，所以DE必為正平線。e1ˊɑ1ˊc1ˊf1ˊb1ˊ解題思路：換面法把一般位置平面△ABC變成某一投影面的垂直面?？臻g分析：用換面法把一般位置平面△ABC變成某一投影面的垂直面，則問題就與上面解法相同了。[例2-24]已知點D和一般位置平面△ABC，試過點D向△ABC作垂線DE，并作出垂足E以及點D到△ABC的真實距離。fˊeˊefd1ˊ真實距離X1解題思路：因為兩面的交線CD是一般位置直線，所以需要經(jīng)過兩次換面，才能變成新投影面的垂直線。

空間分析：當(dāng)兩個平面同時垂直于某一個投影面時，他們在該投影面上的投影積聚成兩條直線，這兩條直線之間的夾角就是所求兩側(cè)面之間的夾角θ，為此就必須將兩平面的交線變成投影面垂直線。[例2-25]下圖所示為一薄鋼板制成的加料斗，四個側(cè)面完全一樣，試求出相