綜合質量評估(時間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若集合A={x|1<x<2},B={x|x>1},則A∪B= ()A.(1,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(1,+∞)解析:A∪B={x|1<x<2}∪{x|x>1}={x|x>1},故選C.答案:C2.若冪函數f(x)=xm在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減,則實數m的值可能為 ()A.1 B.12解析:因為冪函數f(x)=xm在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減,所以m<0,由選項可知實數m的值可能為1.故選C.答案:C3.若x=20.2,y=lg25,z=257A.x<y<z B.y<z<xC.z<y<x D.z<x<y解析:因為x=20.2>20=1,y=lg25<lg1=0<z=(25)

75<250答案:B4.若函數f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)在同一周期內,當x=π6時取最大值,當x=π3時取最小值,則φ的值可能為 (A.π12 B.π6 C.π解析:f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0),由題意可知T2=π6+π3=π2所以T=2πω=π,解得ω=2則f(π6=)=4sin(2×π6+φ)所以φ=π6+2kπ(k∈Z)當k=0時,φ=π6此時,f(π3)=由此可知φ的一個可能值為π6,故選B答案:B5.若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析:因為a>0,b>0,a+b≤4,所以ab≤(a+b2)2≤(42反之,若ab≤4,不妨設a=8,b=12,則a+b=8+12故由“ab≤4”不能推出“a+b≤4”,故選A.答案:A6.汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數,其圖象可能是 ()解析:在汽車經過啟動后的加速行駛階段,路程隨時間上升的速度越來越快,故圖象的前邊部分為凹升的形狀;在汽車的勻速行駛階段,路程隨時間上升的速度保持不變,故圖象的中間部分為線段;在汽車減速行駛之后停車階段,路程隨時間上升的速度越來越慢,故圖象的后邊部分為凸升的形狀.分析四個選項中的圖象,只有A選項滿足要求,故選A.答案:A7.tan255°= ()A.23B.2+C.23D.2+解析:tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45答案:D8.若函數f(x)=|x|·1-2x2x+1,x∈[2023,2023]的值域是[m,n],則fA.22023 B.202321C.2 D.0解析:f(x)=|x|·1-2-x2-x+1=|x|·2x-1因為函數f(x)在區(qū)間[2023,2023]上的值域是[m,n],且區(qū)間[2023,2023]關于原點對稱,所以m+n=0,則f(m+n)=f(0)=0,故選D.答案:D二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列函數中,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增的是 ()A.y=x B.y=x2C.y=1xD.y=1解析:根據題意,依次分析選項:對于選項A,y=x,是正比例函數,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,符合題意;對于選項B,y=x2,是二次函數,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,符合題意;對于選項C,y=1x,是反比例函數,在區(qū)間(0,+∞對于選項D,y=12x,是指數函數,在區(qū)間(0,+∞故選AB.答案:AB10.已知a,b,c,d是實數,則下列一定正確的有 ()A.a2+b2≥(B.a+1aC.若1a>1bD.若a<b<0,c<d<0,則ac>bd解析:由于2(a2+b2)(a+b)2=a2+b22ab=(ab)2≥0,所以a2+b2≥12(a+b)2B選項中,當a=1時,顯然不成立,故B項錯誤;C選項中,當a=1,b=1時,顯然有1a>1b,但D選項中,若a<b<0,c<d<0,則a>b>0,c>d>0,則根據不等式的性質可知ac>bd>0,故D項正確.故選AD.答案:AD11.已知a>0,b>0,且a+b=1,則 ()A.a2+b2≥12B.2ab>1C.log2a+log2b≥2 D.a+b≤2答案:ABD12.若函數f(x)是偶函數,且f(5x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sinπx,h(x)=f(x)cosπx,則下列說法正確的是 ()A.函數y=h(x)的最小正周期是10B.對任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x5)C.函數y=h(x)的圖象關于直線x=5對稱D.函數y=g(x)的圖象關于點(5,0)中心對稱解析:由于f(x)是偶函數,且f(5x)=f(5+x),所以函數f(x)是周期為10的周期函數,不妨設f(x)=cosπ5對于A選項,由于h(x+5)=cos(π5x+π)cos(πx+5π)=cosπ5xcosπx=h(所以函數h(x)的最小正周期為5,故A選項說法錯誤;對于B選項,函數g(x)=cosπ5xsinπx,由于10是cosπ5x,sinπx的周期,故10是g(x)的周期,故g(x+5)=g(對于C選項,由于h(5x)=cos(ππ5x)cos(5ππx)=cosπ5xcosπx=h(結合前面分析可知h(5+x)=h(5x),故C選項說法正確;對于D選項,g(5+x)=cos(π5x+π)sin(πx+5π)=cosπ5xsinπg(5x)=cos(ππ5x)sin(5ππx)=cosπ5xsinπx=g(5故函數g(x)關于(5,0)對稱,D選項說法正確.答案:BCD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(本題第一空2分,第二空3分)若二次函數f(x)=x2+mx3的兩個零點為1和n,則n=3;若f(a)≤f(3),則a的取值范圍是[5,3].解析:依題意可知f(1)=0,即1+m3=0,所以m=2,所以f(x)=x2+2x3=(x1)(x+3),所以f(x)的另一個零點為3,即n=3.由f(a)≤f(3),得a2+2a3≤12,即a2+2a15=(a+5)(a3)≤0,解得5≤a≤3.14.已知f(x)是奇函數,且當x<0時,f(x)=eax.若f(ln2)=8,則a=3.解析:因為ln2>0,所以f(ln2)=f(ln2)=ealn2=(eln2)a=2a=8,所以a=3.15.函數f(x)=sin(2x+3π2)3cosx的最小值為4解析:f(x)=sin(2x+3π2)3cosx=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=2(cosx+34)2+因為1≤cosx≤1,所以4≤f(x)≤178,即最小值為416.已知f(x)是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間(∞,0)上單調遞增,若實數a滿足f(2|a1|)>f(2),則a的取值范圍是1解析:因為f(x)是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間(∞,0)上單調遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞減,則由f(2|a1|)>f(2),得f(2|a1|)>f(2),即2|a1|<2,則|a1|<12,即四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在①{x|a1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中.若問題中的a存在,求a的值;若a不存在,請說明理由.已知集合A=,B={x|x24x+3≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,求實數a的取值范圍.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.解:由題意,知A不為空集,B={x|x24x+3≤0}={x|1≤x≤3}.因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,所以A?B.當選條件①時,a-1解得2≤a≤3.所以實數a的取值范圍是[2,3].當選條件②時,a≥1不等式組無解,所以不存在a的值滿足題意.當選條件③時,a≥1不等式組無解,所以不存在a的值滿足題意.18.(12分)已知函數f(x)=x3(a·2x2x)是偶函數,求a的值.解:因為f(x)=x3(a·2x22x),所以f(x)=x3(a·2x2x),因為f(x)為偶函數,所以f(x)=f(x),所以x3(a·2x2x)=x3(a·2x2x),整理得到(a1)(2x+2x)=0,所以a=1.19.(12分)已知a∈R,若關于x的不等式(1a)x24x+6>0的解集是(3,1).(1)解不等式2x2+(2a)xa>0;(2)若ax2+bx+3≥0的解集為R,求實數b的取值范圍.解:(1)由題意,知1a<0,且3和1是關于x的方程(1a)x24x+6=0的兩個根,則1-a<則2x2+(2a)xa>0即2x2x3>0,解得x<1或x>32故不等式2x2+(2a)xa>0的解集為(∞,1)∪(32,+∞)(2)ax2+bx+3≥0即為3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集為R,則b24×3×3≤0,解得6≤b≤6.故實數b的取值范圍為[6,6].20.(12分)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)[ω>0,A>0,φ∈(0,π2)]的部分圖象如圖所示,其中點P是圖象的一個最高點(1)求函數f(x)的解析式;(2)已知α∈(π2,π),且sinα=513,求f(α解:(1)由圖象,知函數的最大值為2,則A=2.由題圖可得周期T=4[π12(π6)]由2πω=π,得ω=2又由題意,知2×π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,及φ∈(0,π2),所以所以f(x)=2sin(2x+π3)(2)由α∈(π2,π),且sinα=5得cosα=1-sin所以f(α2)=2sin(2·α2+π3)=2(sinαcosπ3+cosαsinπ21.(12分)已知函數f(x)=(x+(1)求實數t的值.(2)是否存在實數b>a>0,使得當x∈[a,b]時,函數f(x)的值域為[22a,22b]?若存在,請求出實數a,b解:(1)因為函數f(x)=(x所以f(x)=f(x),所以(-x+1)(-x-(2)由(1)知f(x)=(x+1)(所以f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數.若x∈[a,b]時,f(x)的值域為[22a,22則f(a)=又因為b>a,所以不存在滿足要求的實數a,b.22.(12分)設函數f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數f(x+θ)是偶函數,求θ的值;(2)求函數y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2解:(1