第十二章非正弦周期(zhōuqī)電流電路和信號頻譜

重點(diǎn)(zhòngdiǎn):

1.非正弦周期量的有效值和平均功率

2.諧波分析法共四十一頁§12.1非正弦(zhèngxián)周期信號

概述(ɡàishù)：

前幾章研究正弦穩(wěn)態(tài)分析。生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中通常還會遇到按非正弦周期規(guī)律變化的電壓、電流。例如：

1.交流發(fā)電機(jī)理論上是正弦波形，嚴(yán)格講是非正弦周期波。

2.通訊工程傳輸?shù)母鞣N信號大多數(shù)是按非正弦規(guī)律變化的。

3.自動(dòng)控制和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中用到的脈沖信號也都是非正弦波。

共四十一頁T

t

i

0

t

u

0

T

共四十一頁4.在正弦(zhèngxián)電源激勵(lì)下，若電路中有非線性元件，也會產(chǎn)生非正弦周期電壓電流。

例：

iu1+D–u2+–R0

u2tT2T0

it共四十一頁分析方法：諧波分析法非正弦周期激勵(lì)（電壓源或電流源）可展開為傅里葉級數(shù)，每一項(xiàng)相當(dāng)于一個(gè)分量。根據(jù)疊加定理，把非正弦周期電路分解成一系列不同頻率的正弦電路，對其中(qízhōng)每個(gè)頻率的正弦電路都使用相量法分析，并將結(jié)果寫成電壓電流的瞬時(shí)表達(dá)式，最后將不同頻率的瞬時(shí)表達(dá)式疊加起來就得到非正弦周期電流電路的解——諧波分析法。本章研究(yánjiū)的主要內(nèi)容：

非正弦周期激勵(lì)作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析。共四十一頁§12.2周期函數(shù)(zhōuqīhánshù)分解為傅里葉級數(shù)

周期函數(shù)f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,…,T為周期。若滿足(mǎnzú)狄里赫利條件（給定周期函數(shù)，在有限的區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大值和極小值。電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件），則可展開成一個(gè)收斂的級數(shù)——傅里葉級數(shù)：或：(2)

周期函數(shù)f(t)的展開式1.周期函數(shù)的展開(1)共四十一頁(1),(2)式系數(shù)(xìshù)之間的關(guān)系

(2)式中各項(xiàng)的專有名稱及物理(wùlǐ)意義

A0

—f(t)的恒定分量（直流分量）一次諧波或基波分量，其周期、頻率與f(t)相同。按k值奇偶性分類，又稱奇次諧波和偶次諧波。

(k

2)稱高次諧波分量。(1)(2)共四十一頁

系數(shù)的計(jì)算共四十一頁例：一周期函數(shù)的波形(bōxínɡ)如圖所表,求此信號的傅氏級數(shù).t

f(t)

0

T

T/2

T

Em

-Em

解：f(t)在一周期(zhōuqī)內(nèi)的表達(dá)式為:所以共四十一頁=0,k

為偶數(shù)(ǒushù);,k

為奇數(shù)共四十一頁2.頻譜圖

為表示(biǎoshì)一個(gè)周期函數(shù)分解成傅氏級數(shù)后包含那些頻率分量和各分量所占的“比重”,引入頻譜圖的概念。1.幅度頻譜：把長度正比(zhèngbǐ)于各次諧波振幅的線段（譜線）按頻率高低依次排列。2.相位頻譜：把長度正比于各次諧波初相的線段（譜線）按頻率高低依次排列。由于頻率是ω1的整數(shù)倍，所以稱為離散頻譜。

13

15

17

1n1Akm幅度頻譜0共四十一頁3.由f(t)的對稱性簡化(jiǎnhuà)ak、bk的計(jì)算

f(t)為偶函數(shù)，即f(t)

=f(-t)，圖形(túxíng)關(guān)于縱軸對稱-T/2T/20f(t)t理解：展開式中只含akcoskω1t

項(xiàng)，偶函數(shù)展開仍為偶函數(shù)

f(t)為奇函數(shù)，即f(t)

=-f(-

t)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱-T/2T/20f(t)t共四十一頁

f(t)=

–f(t+T/2)，稱為鏡對稱，波形(bōxínɡ)移動(dòng)半個(gè)周期后與原波形(bōxínɡ)對稱于橫軸。TT/20f(t)t可以證明：a2k=0;b2k=0,即展開式中只含a2k+1、b2k+1,即項(xiàng)，故稱為奇(次)諧波函數(shù)(注意與奇函數(shù)的區(qū)別)。共四十一頁(2)函數(shù)的奇偶性與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇(xuǎnzé)有關(guān)，從而影響ak，bk，進(jìn)而影響ψk，但Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)選擇無關(guān)。(3)f(t)的波形(bōxínɡ)越光滑，越接近正弦波，其展開級數(shù)收斂越快，實(shí)際計(jì)算中所取級數(shù)項(xiàng)就越少。當(dāng)然這是在相同近似精度要求下進(jìn)行比較的。說明：(1)對稱性分析可使函數(shù)的分解簡化。書中例12－1，f(t)對稱原點(diǎn)，a0＝ak＝0，f(t)波形鏡對稱，b2k＝0，所以僅需計(jì)算b2k＋1共四十一頁設(shè)非正弦周期(zhōuqī)電流為

則

前已定義(dìngyì)，周期電流的有效值

1.有效值

§12-3有效值、平均值和平均功率

共四十一頁上式中展開i2并積分(jīfēn)，將含有如下的積分(jīfēn)項(xiàng)：故共四十一頁對于(duìyú)非正弦周期電壓則u的有效值

共四十一頁2.平均值

周期電壓電流均可如此定義

正弦(zhèngxián)電流的平均值

相當(dāng)于全波整流后的平均值。用全波整流儀表(yíbiǎo)測量周期電源電流讀平均值。而磁電系（直流）儀表讀恒定分量而電磁系（交流）儀表讀有效值共四十一頁ui任意一端口3.平均功率

共四十一頁容易分析,上式積分將含有(hányǒu)如下的積分項(xiàng)：=0=0共四十一頁可見，同頻率的電壓電流構(gòu)成有功(yǒuɡōnɡ)功率，總功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和（有源電路φk可能大于π/2）共四十一頁例1.已知無源一端口N的電壓、電流分別為:求u、i的有效值及端口N吸收的功率P。解：uiN共四十一頁例2.已知R=1以及求N吸收的功率P。解：注意(zhùyì)到：Ru'uiN共四十一頁§12-4非正弦周期電流(diànliú)電路的計(jì)算分析方法：諧波分析法諧波分析法的思想(sīxiǎng)：對于非正弦周期電壓源+_等效為問題：非正弦周期電源作用下，線性電路的穩(wěn)態(tài)分析++__+_uS作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為U0以及各次諧波u1、u2、…單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。共四十一頁對于(duìyú)非正弦周期電流源等效為iS作用下電路的響應(yīng)，根據(jù)疊加定理為I0以及各次諧波電流(diànliú)i1、i2、…單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。共四十一頁將非正弦周期電源展開為傅氏級數(shù)，這些非正弦周期電源在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)等于它們的直流分量(fènliàng)及各次諧波分量(fènliàng)分別作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。具體的步驟如下：1.將非正弦周期電源分解(fēnjiě)為傅氏級數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，需根據(jù)計(jì)算的精度確定。2.

根據(jù)疊加定理，將直流和各次諧波電源按頻率分別作用，依次計(jì)算它們的響應(yīng)。a.對恒定分量按直流電阻電路計(jì)算（電容開路，電感短路）。注意電容上有直流電壓，電感上有直流電流，疊加時(shí)勿忘。

b.對各次諧波電路，均使用相量法計(jì)算。但需注意：感抗，容抗都是頻率的函數(shù)，對某個(gè)頻率電路可能發(fā)生諧振。3.

將各次諧波解的瞬時(shí)值疊加得到非正弦周期電路的解。共四十一頁例1：圖示電路(a)中V求各支路電流及R1支路的平均功率。解：(a)+_CLi）當(dāng)電源(diànyuán)的直流分量U(0)單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖(b)則(b)_+U(0)共四十一頁ii）當(dāng)電源的基波(jībō)分量單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖(c)(c)+_共四十一頁iii）當(dāng)電源的三次諧波分量(fènliàng)單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖(d)(d)+_共四十一頁同理共四十一頁或：R1支路(zhīlù)吸收的平均功率V共四十一頁例2：圖示如電路(a)，已知求uC。解：uCL

isuS+C–+–R(a)(b)U0+–UC(0)+–RUC(0)=U0=20Vi）U0=20V，I0=0A，當(dāng)電源的直流分量(fènliàng)作用時(shí)，電路如圖(b)共四十一頁ii）當(dāng)電源的基波分量(fènliàng)作用時(shí),電路如圖(c)L

+C–+–R(c)共四十一頁例3：電路如圖(a),已知求電流i

。解：i）當(dāng)電源(diànyuán)的直流分量作用時(shí)，電路如圖(b)(a)–+0.1F2

1

usis0.2Hi(b)–+2

1

Us(0)I(0)共四十一頁ii）當(dāng)電源的基波分量作用(zuòyòng)時(shí)，電路如圖(b)(b)–+2

1

iii）當(dāng)電源的二次諧波分量(fènliàng)作用時(shí)，電路如圖(c)2

0.1F1

0.2H(c)共四十一頁共四十一頁例4：電路如圖(a),已知L=1H,C1=0.01F,C2=0.03F,求電壓u(t)

。(a)+_5

5

L

C1C2+_u(t)us解：i）電源(diànyuán)的直流分量作用

ii）電源(diànyuán)的基波分量作用,

L,C1并聯(lián)等效阻抗Z‘(1)與C2串聯(lián),等效阻抗故L,C1,C2部分發(fā)生串聯(lián)諧振,有iii）電源的二次諧波分量作用

故L,C1發(fā)生病聯(lián)諧振,所以從而共四十一頁復(fù)習(xí)(fùxí)基本概念直流電路正弦(zhèngxián)穩(wěn)態(tài)電路基本分析方法等效變換方法系統(tǒng)分析方法電路定理電路的一般計(jì)算功率的計(jì)算相量圖輔助分析電路的諧振互感電路的計(jì)算三相電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算含理想運(yùn)放的電阻電路分析共四十一頁基本(jīběn)分析方法等效(děnɡxiào)變換方法:系統(tǒng)分析方法:電路定理：電阻的串并聯(lián),Y

Δ變換;電源的串并聯(lián);輸入電阻:三種方法

R

+uS

R

iS

支路法；回路法:含受控源、無伴電流源時(shí)的方程列寫；結(jié)點(diǎn)法:含受控源、無伴電壓源時(shí)的方程列寫；疊加定理、戴維寧定理

含理想運(yùn)放的電阻電路分析:虛斷和虛短共四十一頁正弦(zhèngxián)穩(wěn)態(tài)電路電路的一般(yībān)計(jì)算：阻抗和導(dǎo)納；應(yīng)用第二、三和第四章的方法計(jì)算功率的計(jì)算:P=UIcos

;P=I2R;相量圖輔助分析:加強(qiáng)練習(xí)

電路的諧振:諧振的概念及條件;RLC串聯(lián)諧振;利用LC的串并聯(lián)諧振的電路特征簡化計(jì)算諧振與互感,與非正弦周期電路結(jié)合;互感電路計(jì)算:三相電路的計(jì)算:非正弦周期電流電路:列寫電路方程分析；消去互感法；注意理想變壓器原副邊的電壓電流關(guān)系對稱：Y―線相電壓的關(guān)系；Δ―線相電流的關(guān)系；功率的計(jì)算；功率表讀數(shù)的計(jì)