數(shù)學基礎知識

默寫小紙條第七章立體幾何與空間向量簡單幾何體12.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖

側面積公式S圓柱側＝_____S圓錐側＝____S圓臺側＝_________簡單幾何體23.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側＋2S底V＝___錐體S表＝S側＋S底V＝_____臺體S表＝S側＋S上＋S下V＝_____________球S表＝_____V＝_____簡單幾何體34.求空間幾何體的體積的常用方法

規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積簡單幾何體12.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖

側面積公式S圓柱側＝_____S圓錐側＝____S圓臺側＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l簡單幾何體23.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側＋2S底V＝___錐體S表＝S側＋S底V＝_____Sh臺體S表＝S側＋S上＋S下V＝_____________球S表＝_____V＝_____4πR2簡單幾何體34.求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積球的接、切問題11.正方體與球①內切球：內切球直徑2R＝正方體的

.②棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的.③外接球：外接球直徑2R＝正方體體的.2.長方體與球球的接、切問題2②外接球:外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝

(正棱錐外接球半徑為R，高為h).3.棱錐與球球的接、切問題36.R2＝

(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).球的接、切問題11.正方體與球①內切球：內切球直徑2R＝正方體棱長a.②棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長③外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長2.長方體與球球的接、切問題2②外接球:外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h).3.棱錐與球球的接、切問題36.R2＝(h－R)2＋r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).1.基本事實①過

的三個點，有且只有一個平面.②如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.③如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有

過該點的公共直線.④平行于同一條直線的兩條直線

.2.“三個”推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，

個平面.推論2：經過兩條

直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條

直線，有且只有一個平面.空間點線面位置關系1空間點線面位置關系23.空間中直線與直線的位置關系共面直線

直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；

直線：在同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在

一個平面內，沒有公共點.4.等角定理:若空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角

.5.異面直線所成的角的范圍：

.6.異面直線所成角的求法:空間點線面位置關系11.基本事實①過

的三個點，有且只有一個平面.②如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.③如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有

過該點的公共直線.④平行于同一條直線的兩條直線

.不在一條直線上兩個點一條平行2.“三個”推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2：經過兩條

直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條

直線，有且只有一個平面.相交平行空間點線面位置關系23.空間中直線與直線的位置關系共面直線

直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；

直線：在同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在

一個平面內，沒有公共點.相交平行任何4.等角定理:若空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角

.5.異面直線所成的角的范圍：

.相等或互補6.異面直線所成角的求法:平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，

形成三角形求解補形法在該幾何體的某側補接上一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解空間直線、平面平行1線面//

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與

的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

?a∥α______________性質定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面

,那么該直線與交線平行

?a∥b____________________空間直線、平面平行2

面面//文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條

與另一個平面平行，那么這兩個平面平行___________________________?β∥α性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面

，那么兩條

平行

?a∥b_______________________空間直線、平面平行3常用結論1.垂直于同一條直線的兩個平面

，即若a⊥α，a⊥β，則

.2.平行于同一個平面的兩個平面

，即若α∥β，β∥γ，則

.3.垂直于同一個平面的兩條直線

，即若a⊥α，b⊥α，則

.4.若α∥β，a?α，則

.空間直線、平面平行1線面//

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與

的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

?a∥α______________a?αb?αa∥b此平面內性質定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面

,那么該直線與交線平行

?a∥b____________________a∥αa?βα∩β＝b相交空間直線、平面平行2

面面//文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條

與另一個平面平行，那么這兩個平面平行___________________________a?βb?βa∩b＝Pa∥αb∥α?β∥α相交直線性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面

，那么兩條

平行

?a∥b_______________________α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b相交交線空間直線、平面平行3常用結論1.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2.平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3.垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.4.若α∥β，a?α，則a∥β.空間直線、平面垂直1

線面⊥文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的

垂直，那么該直線與此平面垂直

_____________________________?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b__________空間直線、平面垂直2面面⊥

文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的

，那么這兩個平面垂直?α⊥β__________性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的

，那么這條直線與另一個平面垂直

______________________?l⊥α空間直線、平面垂直33.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作

的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：

.空間直線、平面垂直4

*常用結論1.三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影

，那么它也和這條斜線

.2.三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影

.3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線

于第三個平面.空間直線、平面垂直1

線面⊥文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內的

垂直，那么該直線與此平面垂直

_____________________________m?αn?αm∩n＝Pl⊥ml⊥n?l⊥α兩條相交直線性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b__________a⊥αb⊥α空間直線、平面垂直2面面⊥

文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的

，那么這兩個平面垂直?α⊥β__________a?αa⊥β垂線性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的

，那么這條直線與另一個平面垂直

______________________α⊥βα∩β＝al⊥al?β?l⊥α交線空間直線、平面垂直33.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作

的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：

.兩個半平面垂直于棱l[0，π]空間直線、平面垂直4

*常用結論1.三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.2.三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直.3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.線面//與⊥線線//線面//面面//線線⊥線面⊥面面⊥

定理

定理

定理

定理

定理

定理

定理

定理

性質

定理

定理線、面//與⊥線線//線面//面面//線線⊥線面⊥面面⊥

線面垂直的性質定理

線面垂直的判定定理

線面垂直的性質定理

面面垂直性質定理

面面垂直判斷

定理面面平行判定定理面面平行性質定理

面面平行判定定理

面面平行性質

線面平行性質

定理

線面平行判定

定理空間向量11.空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使得p＝

.{a,b,c}叫做空間的一個基底.2.空間位置關系的向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?

(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?.直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?.l⊥αn∥m?n＝

(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝

(λ∈R)α⊥βn⊥m?.空間向量2空間向量11.空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使得p＝

.{a,b,c}叫做空間的一個基底.xa＋yb＋zc2.空間位置關系的向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0空間向量2空間向量求夾角1.若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos<u，v>|＝

.2.直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sinθ＝|cos<u，n>|