考點(diǎn)25等差數(shù)列知識(shí)梳理一．等差數(shù)列的有關(guān)概念1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)2.數(shù)列的單調(diào)性：d>0遞增數(shù)列，d=0常數(shù)數(shù)列，d<0遞減數(shù)列二．等差數(shù)列的有關(guān)公式1.通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)?當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)．等差數(shù)列的性質(zhì)1.中項(xiàng)性質(zhì)(1)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)(2)多項(xiàng)數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列，公差為n2d(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).精講精練題型一等差數(shù)列基本運(yùn)算【例1】(1)設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則()A．12 B．35 C．75 D．90(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝4，S9＝72，則a10＝()A．20 B．23 C．24 D．28【答案】(1)B(2)D【解析】(1)設(shè)公差為，則，∵，故解得，∴．故選：B．(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a4＝4，S9＝72，得,解得,,故選：D.【舉一反三】1．)等差數(shù)列中，若，，則()A． B． C．2 D．9【答案】A【解析】設(shè)公差為，則，所以.故選：A2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則等于()A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，，得：，即，解得：，.故選：D.3．若等差數(shù)列{an}滿足a2=20，a5=8，則a1=()A．24 B．23 C．17 D．16【答案】A【解析】根據(jù)題意，，則，故選：A.4．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則()A．3 B． C．-3 D．【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列是公差為，，首項(xiàng)為，因?yàn)樗?，所以，所以所以故選：D題型二等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)【例2】(1)1，3的等差中項(xiàng)是()A．1 B．2 C．3 D．4(2)在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=()A．-1 B．0 C．1 D．6(3)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=5，則=()A．5 B．25 C．35 D．50【答案】(1)B(2)B(3)B【解析】設(shè)1和3的等差中項(xiàng)為，則，解得，故選：B.(2)等差數(shù)列中，，則故選：B(3)由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B【舉一反三】1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則_________.【答案】-12【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得.故答案為：.2．在等差數(shù)列中，若，則______.【答案】【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，可得，因此，.故答案為：.3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，已知，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故選：B.4．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為()A．11 B．12 C．20 D．22【答案】D【解析】因?yàn)?，?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，所以，解得或(舍去)，則，故選：D.5．已知數(shù)列滿足且，則()A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：B.題型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)【例3】(1)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)為，，，則的值為()A．2 B．0 C．3 D．4(2)．兩等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則()A． B． C． D．(3)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A． B．C． D．(4)．已知是等差數(shù)列前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)()．A．2 B．14 C．7 D．6或7(5)若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其首項(xiàng)，，，則使成立的最大自然數(shù)是()A．198 B．199 C．200 D．201(6)在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則()A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C【解析】(1)因?yàn)?，，成等差?shù)列，故有，解得.故選：A.(2)數(shù)列是等差數(shù)列，則．故選：C．(3)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：D(4)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴，，聯(lián)立解得：，，∴，令，解得．當(dāng)取得最小值時(shí)或7．故選：D．(5)∵，∴和異號(hào)；∵，，有等差數(shù)列的性質(zhì)可知，等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又，，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是.故選：A．(6)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以是等差數(shù)列．因?yàn)?，所以的公差為，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以故選：C【舉一反三】1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100，則前項(xiàng)和為()A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【解析】∵為等差數(shù)列，∴成等差數(shù)列，

即成等差數(shù)列，，解得.故選：C.2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的值等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,由題意可得成等差數(shù)列，故，代入數(shù)據(jù)可得，解得故選C3．等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若＝，則等于()A． B．C． D．【答案】A【解析】＝＝＝＝＝＝.故選：.4．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則()A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由題意，．故選：A．5．在等差數(shù)列中，公差，為的前項(xiàng)和，且，則當(dāng)為何值時(shí)，達(dá)到最大值.()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，所以，又公差，所以，故所以數(shù)列的前6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)；因此，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.故選C6．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為()A．4或5 B．3或4 C．4 D．3【答案】C【解析】設(shè)公差為，由題意知，解得，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，知，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，最大．故選：C7．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和.若，且，則等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，設(shè)公差為，∴，∴，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，則，解得.又∵，∴，∴.故選：題型四等差數(shù)列定義運(yùn)用【例4-1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】見(jiàn)解析【解析】∵，∴()，∴數(shù)列為等差數(shù)列．【例4-2】已知數(shù)列滿足，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】，兩邊同時(shí)除以，可得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；，.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公法前n項(xiàng)和an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列【舉一反三】1.已知數(shù)列滿足，，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；【答案】是等差數(shù)列；詳見(jiàn)解析【解析】設(shè)，則，則，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差的等差數(shù)列.2．已知數(shù)列中，，，設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：當(dāng)時(shí)，，，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；3．已知數(shù)列滿足．判斷數(shù)列是否