專題第03講二次函數(shù)的最值與存在性問題（20題）

1.（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）在人教版八年級上冊數(shù)學教材P53的數(shù)學活動中有這樣一段描述：如圖，四

邊形48C。中，AD=CD,AB=BC,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

（1）試猜想箏形的對角線有什么位置關系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；

（2）已知箏形4BC。的對角線AC,8。的長度為整數(shù)值，且滿足AC+8O=6.試求當AC,8。的長度

為多少時，箏形的面積有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由SSS證明△A8O名△CBD,再由對應角相等，可知在等腰三角

形AC￡＞中，。。是三線合一，由此可證想箏形的對角線相互垂直；

（2）寫出箏形的面積表達式S箏形將80=6-AC代

2

入，得到關于AC的二次函數(shù)，再用配方法求其最大值及取得最大值的條件.

【解答】（1）箏形的對角線相互垂直.

證明："：AD=CD,AB=BC,BD=BD,

:.AABD注ACBD(SSS),

ZADB=ZCDB,

J.ACLBD.

(2)'：AD=CD,ZADB=ZCDB,

：.OA=OC,

.".S^ABCD=-^AC"BD.

將BD=6-AC代入S箏形

2

得S事形4BCD=』AC.3D=』AC(6-AC)-1(AC-3)2

22

...當AC=BD=3時，箏形ABC。的面積有最大值，最大值是9.

2

2.（2023?蘇州一模）如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4c7w.點P從點A出發(fā)，以lan/s

的速度沿A8運動：同時，點。從點8出發(fā)，2c機/s的速度沿BC運動.當點。到達點C時，P、。兩點

同時停止運動.設動點運動的時間為r（s）.

（1）當f為何值時，△PB。的面積為25？；

（2）求四邊形尸QC4的面積S的最小值.

A

—

T

P

【分析】（1）利用兩點運動的速度表示出2。的長，進而表示出△PBQ的面積即可;

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質確定四邊形APQC面積的最小值.

【解答】解：（1）由題意得：PB=（3-力cm,BQ=2tcm,

S^PBQ=—BQ-PB=^-X2tX（3-r）=-?+3z（OW忘2）,

22

"."S^PBQ--?+3/=2,

解得t=l或t=2,

：.當t=Is或2s時，APB。的面積為2c”汽

(2)VS=-^-X2X3-(-P+3力=？-3t+6=(f-3)2+至(0W/W2),

2/324

Vt7=l,

?1=-W_=3s時，s有最小值，最小值為生sA

2X124

3.（2023春?漢壽縣期中）如圖，拋物線y=a7+6x+cQW0）與x軸交于點A（-1,0）,點2（3,0）,

與y軸交于點C（0,-3）,點￡）為直線。。與拋物線y=o?+6x+cQW0）在x軸下方的一個交點，點

尸為此拋物線上的一個動點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若直線。。為y=-1x，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，當點尸在直線。。下方時，求△P。。面積的最大值.

【分析】（1）根據(jù)點C坐標得到c值，再將A,8坐標代入y=o?+6x-3,解之，即可求解;

（2）聯(lián)立拋物線表達式和0。的表達式，解之，根據(jù)點。的位置可得結果；

(3)設點尸(m,加2-2%-3),分點尸在第三象限和第四象限分別求解.

【解答】解：(1)由拋物線與y軸的交點為C(0,-3)可知:

c=-3,

把點A(-1,0),點8(3,0)代入拋物線丫=0?+法-3可得:

a-b-3=0

9a+3b_3=0

解得:a=l

b=-2

故拋物線的解析式為：y=/-2x-3；

(2)由題意可得方程組:

y=x2-2x-3

了=3亍

3

勺二2X2-^2

解得：.或，

了1=-39

y2=7

又：點D為直線OD與拋物線y^a^+bx+c在x軸下方的一個交點.

.?.點。的坐標為(2,-3)；

(3)設點PCm,m2-2m-3),

①當點尸在第三象限時,

m2-2m-3),

圖1

將點P、Q的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=sx+f并解得:

直線PD的表達式為：y—mx-3-2m,則OG=3+2根,

SAPOD^^OGX(XD-XP)=y(3+2m)(2-m)

②當點尸在第四象限時,

設尸。交y軸于點M,

同理可得：SAPOD=-^OMX(XD-XP)=-m2+ym+3,

綜上，S/^POD——+^-m+3,

V-l<0,故&WD有最大值，當m=』時，其最大值為里.

416

4.(2023?鄴城縣一模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-f+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點，

與y軸交于C(0,3),A點在原點的左側，B點的坐標為(3,0).點P是拋物線上一個動點，且在直

線BC的上方.

(1)求這個二次函數(shù)及直線8C的表達式.

(2)過點尸作PD//y軸交直線BC于點D,求PD的最大值.

(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線上是否存在點N,使△MNO為等腰直角三角形，豆/NMO

直線8C的表達式為y=fcc+3,則3%+3=0,解方程求出女的值，得到二次函數(shù)的表達式為y=-7+2尤+3,

直線BC的表達式為y=-x+3；

(2)設P(x,-/+2x+3),貝IZ)(x,-x+3),所以尸￡)=-/+2x+3-(-x+3)=-/+3x=-(x-3)

2

2+9,即可求得p。的最大值為9；

44

(3)設-nr+2m+3),先求得拋物線的對稱軸是直線尤=1,設直線尤=1交x軸于點G,則G(l,

0),MG_L無軸，作NF_LMG于點凡可證明△尸再分四種情況討論，一是點M在x軸上

方，且點N在直線OM左側，可列方程-/+2m+3-(1-m)=1；二是點M在天軸上方，且點N在直

線OM右側，可列方程機-1-(-m2+2/n+3)=1；三是點M在x軸下方，且點N在直線右側，可

列方程-加2+2*3-(1-m)=1；四是點M在x軸下方，且點N在直線0M左側，可列方程%-1-

(-m2+2m+3)=1,分別求出相應的符合題意的加值，再求出對應的點N的縱坐標即可.

【解答】解：(1):拋物線y=-/+bx+c經(jīng)過點8(3,0),C(0,3),

.f-9+3b+c=0

,Ic=3

解得廣2.

Ic=3

設直線BC的表達式為y=kx+3,則3左+3=0,

解得k=-1,

二次函數(shù)的表達式為y=-/+2x+3,直線BC的表達式為y=-尤+3.

(2)如圖1,設P(x,-J+2x+3),

-：PD//y軸交直線BC于點D,,

'.D(無，-x+3),

/.PD=-x2+2x+3-(-x+3)=-/+3尤，

'：PD=-X2+3X=-(x-旦)2+9,

24

.".當x=2"時，PD最大=9,

24

的最大值為9.

4

(3)存在，設N(m,-m2+2m+3),

?.)=-/+2X+3=-(x-1)2+4,

拋物線y=-/+2x+3的對稱軸是直線x=1,

設直線％=1交工軸于點G,則G(l,0),MG_Lx軸,

作NF_LMG于點尸，則NM/N=NOGM=90°,F(1,-m2+2m+3),

如圖2,點M在x軸上方，且點N在直線左側，

VZNMO=90°,MN=OM,

：./FMN=/GOM=90°-NOMG,

:?△FMNQAGOM(A4S),

；.MF=OG=LFN=GM=1-m,

-m2+2m+3-(1-m)=1,

解得小=3-后,=亙(不符合題意，舍去),

22

3-后口―1+713

：.GF=GM+MF=1-----------------11-一

22

22

圖3

如圖3,點M在x軸上方，且點N在直線0M右側,

同理可得△R0N名△GOM(AAS),

：.MF=0G=l,FN=GM=m-1,

/.m-1-(-m2+2m+3)=1,

解得"“=紅叵，他=1-池(不符合題意，舍去),

22

：.GF=GM-MF=-1-1="^"3,

22

：.N(1返1,返1斗

22

如圖4,點M在龍軸下方，且點N在直線OM右側，

同理可得(.AAS),

：.MF=OG=\,FN=GM=m-\,

：.M(1,1-m),

-m2+2m+3-(1-zu)=1,

解得見=里運，偌2=生逗(不符合題意，舍去),

22

：.GF=GM-A/F=_3jVH,-1-1=/^二］,

22

.V13-11-V13

..W=VF=-----=——，

22

:.N(對亙，上叵)；

22

如圖5,點M在x軸下方，且點N在直線0M左側，

同理可得△尸MN04GOM(AAS),

MF=OG=1,FN=GM=1-m,

：.M(1,777-1),

m-1-(-；M2+2m+3)=1,

解得〃“=上叵，m2=(不符合題意，舍去),

22

：.GF^GM+MF^1———"J]—+1--。二],

22

.3+721-3-V21

..yN=yF=-——----=--------,

22

:.N〈上叵,-3心),

22

綜上所述，點N的坐標為（3-丘，止/亙）或（*叵，返L±）或（之Y亙，上匡）或

222222

（1-V21-3^21>,

-2-'

5.（2023春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，已知二次函數(shù)y=/-3x-4的圖象與無軸交于3,C兩點，與y軸交

于點。，點A為拋物線的頂點，連接CD

⑴求SACOD；

（2）如圖1,點尸在直線CD下方拋物線上的一個動點，過點尸作PQ,CD交于點。，過點尸作PE〃x

軸交CD于點E,求PE+PQ的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線。C方向平移K歷個單位長度得到新拋物線口，點加在新拋

物線對稱軸上運動，點N是平面內一點，若以8、P、M、N為頂點的四邊形是以8M為邊的菱形，請直

接寫出所有符合條件的點N的坐標，并選擇其中一個點的坐標寫出求解過程.

【分析】（1）已知函數(shù)解析式，分別令x=0、y=0,解方程即可求得8、C、。的坐標，再運用三角形面

積公式即可求得答案.

（2）利用待定系數(shù)法可得直線C。的解析式為y=x-4,設PG,P-3L4）,可表示出PE,利用等腰

直角三角形性質可將PE表示P。的長，進而用點尸坐標將尸E+尸。表示成函數(shù)，借助二次函數(shù)求最值的

方法即可求得PE+PQ的最大值.

（3）菱形的存在性問題先轉化為求以AC為邊的等腰三角形的存在性問題，然后根據(jù)平行四邊形存在性

問題的處理方法寫出第四點N即可.

【解答】解：（1）當x=0時，y=-4,

：.D（0,-4）,

???OQ=4,

當y=0時，x2-3x-4=0,

解得：Xl=-1,X2=4,

：.B（-1,0）,C（4,0）,

JOC=4,

.".5ACOD=AOOO￡>=AX4X4=8；

22

(2)設直線CO的解析式為y=fcv+6,

則(4k+b=0,

lb=-4

解得：。=1,

lb=-4

直線CD的解析式為y=x-4,

設尸Ct,?-3/-4),

：OC=O￡>=4,NCOD=90°,

二△COD是等腰直角三角形，

.\ZDCO=45°,

：PE〃龍軸，

.?.NPEQ=/Z)CO=45°,點E的縱坐標與點尸的縱坐標相同，

/.尸-3f-4—x-4,

.,.x—l2-3t,

：.E(?-36?-3r-4),

.'.PE—t-(r2-3f)=-?+4r,

'：PQ±CD,

???△PE。是等腰直角三角形，

.?.尸。=亞尸石=亞(-/+書)，

22

：.PE+PQ=-?+4z+^-(-?+4r)=-^^+2(r-2)2+2A/2+4,

...-V2+2.<o,

2

.?.當t=2時，PE+P。取得最大值，最大值為2近+4,此時點P的坐標為(2,-6)；

(3)依題意，拋物線沿射線DC平移2&個單位即拋物線向右平移2個單位，向上平移2個單位.

平移后拋物線解析式為：yi=(尤-工)2-工L,對稱軸為直線了=工.

242

故設點M(工，m},又8(-1,0),P(2,-6).

2

BP=V(-1-2)2+(0+6)2S

(-1-y)2+(0-m)2=^^+m2，

?(2^-)2+(-6-m)2=^m2+12m-^p--

由題意知，以為腰的等腰三角形△8PM有兩種情況:

①如圖1,當8尸時，

解得：rm=冽2=-斑亙.

22

M（工,血）,該工-血）.

2222

由平行四邊形對角線互相平分可知：

\B+xN=xp+xM

：N（烏-6+應），N2（烏-6-應）;

2222

②如圖2,當時,

綜上：使以8M為邊的菱形的N點有：M（」旦，-6+漢亙），N2（」旦，-6-丕叵），N3（-9,

22222

6.（2023?襄陽模擬）已知拋物線y=ax1+bx+c（a#0）經(jīng)過點M（-2,旦）和N（2,-工）兩點，且拋

22

物線與無軸交于A、8兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C.

（1）若點M是拋物線yuo?+bx+c的頂點，求拋物線解析式及A、B、C坐標；

（2）在（1）的條件下，若點P是A、C之間拋物線上一點，求四邊形APCN面積的最大值及此時點尸

的坐標；

（3）若B（m,0）,且1WmW3,求a的取值范圍.

【分析】(1)設拋物線的頂點式為y=a(x+2)2+-1,將N點代入即可求。的值，從而確定函數(shù)的解析

式;

(2)設尸G,-工於-2什至)，先求出直線AC的解析式為反，過尸點作PG〃y軸交AC于點G,

22’22

則GG,工打互)，從而得到S△%c=-§。+5)2+循，當t=-$時，AB4c的面積有最大值.，

224216216

此時尸(-9,造)，求出直線CN與無軸的交點為(S,0),再求SAACN=LX(―+1)X(1+S)

2862622

=且，即可求四邊形APCN面積的最大值為空；

216

(3)將M(-2,■|■)和N(2,-y—cuT+bx+c,可得函數(shù)解析式為y=a%2-2x+￡-4a,當m

=1時，a—--,當MJ=3時，a=」l,從而得到aW-工或

210210

［解答］解：(1)?.?點M是拋物線y=ax2+bx+c的頂點，

設拋物線解析式為y=a(x+2)2+2,

解得a=-工，

2

拋物線的解析式為y=-工f-2x+互，

22

當y=O時，-氏?-2苫+卷=0,解得x=l或x=-5,

.".A(-5,0),B(1,0),

當x=0時，y=—,

-2

：.CCO,9)；

2

(2)設尸(f,-Af2-2t+^-),

22

設直線AC的解析式為y=kx+^,

-54+5=0,

2

解得k=—,

2

直線AC的解析式為尸獷|，

過P點作PG//y軸交AC于點G,

：.GCt,■1/+§),

22

2J5

：.PG=A/-2z+——l---

2222P--

：.S^PAC=—X(-—f2-—f)義5=-2(f+立)2+lZ^,

2224216

當/=-8時，△BAC的面積有最大值工型，此時P（-B,至）,

21628

設直線CN的解析式為y=k'x+^,

：.2k'+^-=-工,

22

解得發(fā)=-3,

直線CN的解析式為尸-3嗚,

直線CN與x軸的交點為(―,0),

6

.".SMCN——X(―+1)X分）=11

26T

...四邊形APCN面積的最大值為儂+旦=義旦；

16216

(3)將M(-2,9)和N(2,-1)代入y=o?+6x+c,

22

'9

4a-2b+c=-

??《，

7

4a+2b+c=-^-

fb=-2

解得，1,

c節(jié)-4a

?*v~2x+—-4a,

,2

當機=1時，a-2+--4a=0,解得.=-工,

22

當機=3時，9a-6+—-4a=0,解得a=2L,

210

7.(2023?崇川區(qū)校級開學)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+bx+4交工軸于A(-4,0)、B(2,

0)兩點，交y軸于點C,連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為線段AC上方的拋物線上一動點，過尸作PFLAC,當尸尸最大時，求出此時P點的坐標以

及尸尸的最大值.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可;

(2)過P點作PE〃y軸交于AC于E點，直線AC的解析式為y=x+4,設P-lm2-m+4),則E

(m,m+4),可得PF=-Y2(%+2)2+^,運用二次函數(shù)性質即可求得答案.

4

【解答】解：(1):拋物線y=/+bx+4交無軸于A(-4,0)、B(2,0)兩點，

.[16a-4b+4=0

14a+2b+4=0

解得:?至，

b=-l

該拋物線的解析式為y=-1?-x+4；

2

(2)過點尸作PE〃y軸，交AC于點E,如圖，

：.C(0,4),

設直線AC的解析式為y=kx+n,貝-4k+n=0,

In=4

解得：卜=1,

In=4

直線AC的解析式為y=x+4,

設尸(m,--trC-m+4),則ECm,優(yōu)+4),

2

PE="-nr-m+4-(m+4)=--nr-2m,

22

"：OA=OC=4,

：./\ACO是等腰直角三角形，

/.ZACO=45°,

'：PE//y^\,

：.ZPEF=ZACO=45°,

\'PF±AC,

/\PEF是等腰直角三角形，

.?.尸尸=返尸石=亞(--2m)=-返6〃+2)2+72>

2224

<-返■<(),

4

當％=-2時，取得最大值，最大值為企,此時點P的坐標為(-2,4).

8.(2023?平潭縣模擬)如圖，已知拋物線y=o?+6x+3與無軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(點A在

點2的左側)，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請求出點M的坐標.

(3)如圖1,P為直線8C上方的拋物線上一點，PD〃y軸交BC于。點，過點。作。ELAC于E點.設

m=PD+J^-DE,求機的最大值及此時尸點坐標.

2

(3)設尸。與％軸的交點為尸，點尸("，-n2+2n+3),則。-九+3),確定尸。=-層+3〃；根據(jù)A

22j

(-1,0),C(0,3)itMAC=Vl+3=V10于是"--DE^AODE，結合SAADC=SAABC-S^ADB,

確定日iDE=2n，繼而得到m=-n2+3n+2n=-n2+5n=-(n今產(chǎn)普，運用二次函數(shù)最值計算即可.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)兩點代入解析式y(tǒng)=o?+6x+3,得^^+3=0,

I9a+3b+3=0

解得卜=-1,

lb=2

???拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)如圖，當NMC5=90°時，延長交x軸于點G,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

：.OB=OC=3,AB=3-(-1)=4

：.ZOBC=ZOCB=45°,

ZMCB=90°,

：.ZGCB=90°,NGCO=45

：.ZGCO=ZCGO=45°,

???OG=OC=3,

：.G(-3,0),

設直線GC的解析式為y=kx^,

???0=-3Z+3,

解得k=\,

?,?直線GC的解析式為y=x+3,

.?.x=l時,y=x+3=4,

此時M(1,4)；

如圖，當NMBC=90°時，延長5M交y軸于點”，

VA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

：?OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VZMBC=90°,

:?/HBO=45°,

:?/HBO=/BHO=45°,

：?OH=OB=3,

：.H(0,-3),

設直線BH的解析式為y=px-3,

.*.0=3/7-3,

解得p=L

?,?直線BH的解析式為y=x-3,

，x=l時，y=x-3=-2,

此時M(l,-2)；

當NCM5=90°時，設M(l,a),

VB(3,0),C(0,3),

：?OB=OC=3,

ABC2=32+32=18,MC2=1+(〃-3)2,BM2=4+?2,

?：/CMB=90°,

222

：.BC=MC+BMf

18—1+(tz-3)2+4+/,

整理，得/-3。-2=0,

解得2=3±行,

2

此時M(l，昱票)或M(l，

綜上所述，點M(1,4)或點M(1,-2)或點(1,"今立-)或點M(1,生李工)■

(3)如圖，設尸。與無軸的交點為R點尸("，-n2+2n+3),

；B(3,0),C(0,3),

設直線BC的解析式為y=qx+3,

，0=3q+3,

解得q=~b

???直線BC的解析式為y=-x+3,

；?D(n,-幾+3),

:.PD=-n2+2n+3-(-n+3)=-n2+3n；

VA(-1,0),C(0,3),

AC=V12+32=VTO；

...VJQ-DE=^-AC?DE，

連接AD

2

?,-^-DE-|AC-DE=SAADC-

SAADC=SMBC-S^ADBFAB=3-(-1)=4

SAADC=yX4X3-y(-n+3)X4=2n,

A?^-DE=2n-

\/1f)Q9RQ9R

m=PD+~~~DE=-n+3n+2n=-n+5n=-(n-y)

??,拋物線開口向下，

加有最大值，且當n豆時，取得最大值，且為空，

24

此時-1?+211+3=再+84，

44

故點Pg，(■).

9.(2023?荔城區(qū)校級開學)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=o?+6x+c交x軸于點A(-4,0)、

B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△AOE面積的最大值.

【分析】(1)由題意利用待定系數(shù)法將點A(-4,0)、8(2,0),C(0,6)代入，列出關于a、b、c

的方程組，解方程組即可得出二次函數(shù)的表達式；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，過點。作DM,尤軸于點延長DM交AE于點設

D(t,4/得t+6)，貝UH(t,-yt-2)＞表示出SAADE,化為頂點式即可得出△人「￡的面積的最

大值.

【解答】解：(1)?.?二次函數(shù)y=a/+fev+c經(jīng)過點A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),

16a-4b+c=0

??,4a+2b+c=0，

c=6

3

解得：3,

b-^77

2

c=6

二二次函數(shù)解析式為丫=_|^2-1^+6；

(2)設直線AE的解析式為y=fcc+m,

?.?過點A(-4,0),E(0,-2),

_4k+b=0

m=-2

解得：?

m=-2

直線AE的解析式為y=-1-x-2

如圖，過點。作軸于點延長DM交AE于點H,

_1

t-2),

2

?*-DH=—1-12-1-t+6-(-yt-2)=-^-t2-t+8,

SAADE=S^ADH+SADHE

=-J-DHAM+^-DHOM

22

=yDH(AMOM)

=-^-DH0A

2

=y(-1t2-t+8)X4,

3o

=-yt-2t+16

.?.當t=上時，△ADE的面積取得最大值為強.

33

10.(2023?阜新)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-x?+6尤-c的圖象與x軸交于點A(-3,0)

和點8(1,0),與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點。，若點"是直線AC上方拋物線上的

一個動點，求△MCD面積的最大值.

(3)如圖2,點P是直線AC上的一個動點，過點尸的直線/與8C平行，則在直線/上是否存在點Q,

使點2與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的交點式直接得出結果；

(2)作MQL4C于。作于凡交AC于E,先求出拋物線的對稱軸，進而求得C,￡)坐標及

C￡)的長，從而得出過M的直線>=尤+m與拋物線相切時，的面積最大，根據(jù)x+7"=-尤2-2X+3

的A=0求得加的值，進而求得”的坐標，進一步求得CO上的高的值，進一步得出結果；

(3)分兩種情形：當點尸在線段AC上時，連接BP,交CQ于R,設P。，f+3),根據(jù)CP=C8求得f

的值，可推出四邊形BCPQ是平行四邊形，進而求得。點坐標；當點P在AC的延長線上時，同樣方法

得出結果.

【解答】解：(1)由題意得，

y=-(x+3)(x-1)=-J?-2x+3；

作MQ_LAC于Q,作于尸，交AC于E,

"：OA=OC=3,ZAOC=90°,

...NC4O=NACO=45°,

：.ZMEQ=ZAEF=900-ZCAO=45°,

拋物線的對稱軸是直線：了=出

2

.".y—x+?>=-1+3=2,

：.D(1,2),

VC(0,3),

:.CD=?

故只需△MC￡>的邊CO上的高最大時，△AfCZ)的面積最大,

設過點”與AC平行的直線的解析式為：y^x+m,

當直線y=x+m與拋物線相切時，AMCD的面積最大，

由x+m=-x2,-2x+3得，

/+3x+(m-3)=0,

由△=0得，

32-4(m-3)=0得，

m-3a=——9，

4

.*.x2+3x+—=0,

4

.__3

??XI_X2_"—，

2

；.y=-(-3)2_2X(-1)+3=型，

2'2"4

>=尤+3=-2+3=旦，

22

424

/.MQ=ME-sinZMEQ=ME-sin45°=—*^-=9近,

428

最大X亞X9g=2；

288

圖2

當點P在線段AC上時，連接8尸，交C。于R,

???點8和點。關于CQ對稱，

：.CP=CB,

設尸?，什3）,

由得，

2於=10,

:.t\=-炳,也=返（舍去），

：.P（-代，3-V5）,

'：PQ//BC,

.CRBR,

??==I,

QRPR

:.CR=QR,

四邊形BCPQ是平行四邊形，

i+（-Vs）-o=i-Vs，0+（3-V5）-3=-Vs,

-孤-V5）；

當點P在AC的延長線上時，由上可知：P（遍，3+遙），

同理可得：。（1+遙，機），

綜上所述：。（1-遙，-返）或（1+遙，返）.

11.（2023?防城區(qū)二模）如圖1,已知拋物線y=a/+bx+6與軸交于點A（2,0）和點B,與y軸交于點C,

ZABC=45°.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖2,點E為第二象限拋物線上一動點，EFLx軸與8C交于尸，求的最大值，并說明此時△

BCE的面積是否最大.

（3）已知點。（-3,10）,E（2,10）,連接。E.若拋物線丫="2+及+6向上平移左（左＞0）個單位長

度時，與線段。E只有一個公共點，請求出左的取值范圍.

【分析】(1)由NABC=45°得0B=0C=6,求出點2(1-6,0),用待定系數(shù)法即可求解；

22

(2)可得直線BC的解析式為y=x+6.設/(m,根+6),則-A,n-2m+6),EF=(-AZ7?-2,^+6)

2

-(m+6)(m+3)+—,根據(jù)二次函數(shù)的性質得EF的最大值是且，由SZVBCE=2E>

22222

OB=3EF,可得此時△BCE的面積是最大；

(3)拋物線向上平移過程中拋物線頂點落在。E上滿足題意，分別求出拋物線經(jīng)過點。，E時上的值，

可得拋物線頂點在上時k的取值范圍.

【解答】解：(1):拋物線y=a?+bx+6與y軸交于C,

：.C(0,6),

VZABC=45°,

；.O2=OC=6,

.?.點8(-6,0),

將A(2,0),8(-6,0)代入拋物線得,

J

‘4a+2b+6=0解得《"T,

36a-6b+6=0

b=-2

:.拋物線解析式為y=--x2-2x+6；

2

(2)VC(0,6),B(-6,0),

直線BC的解析式為y=x+6.

設/(機，m+6),

則E(m,-—m2-2m+6),

2

/.EF=m2-2m+6)-(m+6)=m2-3m=--(m+3)2+—,

2222

當m=T時，所的最大值是9,

2

則S^BCE=—EF-OB=3EF,

2

,此時△BCE的面積是最大.

(3)拋物線y=-工x2-2x+6=-」?(x+2)2+8向上平移上個單位后解析式為y=-▲(x+2)2+S+k,

222

，拋物線頂點坐標為(-2,8+4)，

①當拋物線頂點落在QE上時，8+%=10,

解得—2,

②當拋物線經(jīng)過點0(-3,10)時，10=-工(-3+2)2+8+%,

2

解得人=5，

2

當拋物線經(jīng)過E(2,10)時，10=-A(2+2)2+S+k,

2

解得人=10,

.?.SCAWIO時，滿足題意.

2

綜上所述，左=2或AckWlO.

2

12.(2023?明水縣模擬)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與尤軸交于A、8兩

點，與y軸交于C(0,3),A點在原點的左側，B點的坐標為(3,0),點尸是拋物線上一個動點，且

在直線BC的上方.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接P。、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,那么是否存在點P,使四邊形POPC

為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點尸運動到什么位置時，使△BPC的面積最大，求出點尸的坐標和△BPC的面積最大值.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)的解析式；

(2)先設出點尸的坐標，再求出P的坐標，利用菱形的對角線互相垂直且鄰邊相等即可求出點尸的坐

標；

(3)先設出點P的坐標，然后作PQ平行y軸交BC與點Q,將三角形PC。和三角形的面積表示

出來，再求出最大值的條件和最大值.

【解答】解：(1)把點8,點C的坐標代入解析式，

彳k.f-9+3b+c=0

rc=3

解得：。=2,

Ic=3

二次函數(shù)得表達式為y=-f+2x+3；

（2）存在點P,使四邊形尸OPC為菱形，

設尸（x,-/+2x+3）,PP交CO于點E,

若四邊形POP'C是菱形，則PC=PO,

連接PP,則P￡J_C。，OE=CE=3,

2

9Q

-x+2x+3=萬，

解得2WTU,2-技（不合題意，舍去）,

X1222

.?.點p的坐標為（空m,3）；

22

(3)過點尸作y軸的平行線與BC交于點。，

設P(x,-/+2x+3),

易得直線BC的解析式為y=-x+3,

則Q(x,-%+3),

:,SACPB=SABPQ+SACPQ=g°P?BO=4義(-X2+3X)X3=-^-(X-^)2+^~,

22228

當了=旦時，△CPB的面積最大，

2

此時，點尸的坐標為（3,至），ACPB的面積的最大值為

248

如圖1,拋物線y=ax2+bx得與X軸交于點A(1，0)，B(5,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖2,若P是直線BC下方拋物線上的一動點，連接尸2,PC,過點尸作PDLBC于點。，求4

P8C面積的最大值，并求出此時點尸的坐標和線段的長；

(3)若E是拋物線上的任意一點，過點E作EQ〃y軸，交直線8c于點。,拋物線上是否存在點E,使

以E,Q,O,C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點。的橫坐標；若不存在，請說明

理由.

圖1圖2備用圖

【分析】⑴將A(1,0)、B(5,0)代入列方程組并且解該方程組求出。、6的值，即

可得到該拋物線的函數(shù)表達式為尸尹-3嗚；

(2)先求得C(0,互)，則OC=5,BC=^QB24€|C2=t再求得直線BC為y=-gx+N,作

22222

2

PF//y軸，交BC于點孔設尸(x,工/-3x+2)，則F(無，-工無+上)，所以PF=-Ax+Ax,由曳

222222PF

=sinNDFP=sinNOCB=2*=R5.，得于是得S"BC=」BC?尸￡)=-

BC5524216

可求得△PBC面積的最大值是嶼，此時P($,-工)，P。