第第#頁(yè)共7頁(yè)第三講平面向量的數(shù)量積A組基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知a,b為單位向量，其夾角為60°,則(2a—b)-b=(B)A.—1 B.01 D.2［解析］由已知得a|=|b|=1,a與b的夾角0=60°,則(2a-b)-b=2a?b一b2=2|a||b|cos0—|b|2=2X1X1Xcos60°—12=0,故選B.(2021?安徽六校聯(lián)考)向量a=(2,4),b=(5,3),則a?(a—b)=(D)B.14AB.14TOC\o"1-5"\h\zC.—6 D.—2［解析］,/a—b=(—3,1),...a?(a—b)=—6+4=—2.故選D.若向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|a+2b|=2\",則|b|=(B)A.<3 B.1C.4 D.3［解析］因?yàn)閍=(2,0),所以|a|=2,又因?yàn)閨a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4X|a|X|b|Xcos60°+4|b|2=(2<3)2,所以|b|2+|b|—2=0,解得|b|=1(—2舍去)，故選B.(2021?安徽十校高三摸底考試)在^ABC中，AP=PB，且|(CP|=2<,,13,\CA|=8,ZACB=牛，則CP?CA=(A)B.12AB.12C.24V3C.24V3［解析］設(shè)|CB|=X,V2C=CA+CB,兩邊平方得48=64+x2—8x,解得x=4,.CP?CA=2(CA+CB)?CA=1(CA2+CA?CB)=Jx(64—16)=24.故選A.乙 乙 乙(2021?上海模擬改編)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,則下列向量是單位向量的是(C)A.a+b B.a+KbC.a—b［解析］,/a,b均是單位向量且?jiàn)A角為60°,.aDb=2-,.|a—b|2=a2—2a?b+b2=1—2x2,1 3 ?…,1 3 ?…2=a2—a-b+]b2=4，故選C.［優(yōu)解］如右圖，令（OA=a,Ob=b,,:a,b均是單位向量且?jiàn)A角為60°,AAOAB為等+1=1,即|a—b|=1,「.a—b是單位向量.又a—邊三角形，，|bA|=|a—b|=|a|=|b|=1,/.a—b是單位向量.a—b==DA,一、.c又「|DA|=方-，故選C.（2021?甘肅蘭州高三模擬）已知非零單位向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=|a—b|,則a與b—a的夾角為（D）AnA-63nD.—[解析]解法一：設(shè)a與b—a的夾角為6.因?yàn)閨a+b|=|a一b|,所以|a+b|2=|a一b|2,即|a|2+2a-b+|b|2=|a|2—2a-b+|b|2,所以a-b=0.因?yàn)閍,b為非零單位向量，所以(b—a)2=2,即|b—a|=\：5.因?yàn)閍?(b—a)=a?b—a?a=—1=|a||b-a|cos6,—1 ”12所以cos6=1*、D=—2，因?yàn)?￡[0,n],3n所以6=—.解法二：幾何法，如圖，|a解法二：幾何法，如圖，|a+b|與|a—b|分別表示以a,b為鄰邊（共起點(diǎn)）的菱形兩對(duì)角線，一 一， , ,,,,.,371中取“=(1,0),。=(0,1),則A—〃=(—1J),由向里夾角的坐標(biāo)運(yùn)異知a與A—a的夾角為了.(2021?江西南昌二中期末改編)已知向量a=(—2,—1),。=(九1),若a與b的夾角為鈍角，則丸的取值范圍可以是(C)B.(2,+8)A.B.(2,+8)C.(-2，2)U(2,+8)D.-2，0)U(0C.(-2，2)U(2,+8)D.-2，0)U(0,+8)［解析］:a與b的夾角為鈍角，，一2丸一1<0,即丸>—1.又aW曲〃<0),「"W2,「"的取值范圍是(一2,2)U(2,+8).故選C.(2021?河北省武邑模擬)△ABC外接圓的半徑等于1,其圓心。滿(mǎn)足歷=1(AB+AC),|AO|=|AC|，則拓在BC方向上的投影等于(C)A.-斗B.竽c，2D.3［解析］因?yàn)椤鰽BC外接圓的半徑等于1,其圓心O滿(mǎn)足AO=1(AB+AC),所以點(diǎn)O在BC上，所以BC是^ABC外接圓的直徑，故NBAC=90°.因?yàn)閨CO|=|AO|=|AC|,所以△OAC是等邊三角形，所以NACB=60°,所以/ABC=30°.在n△ABC中，|AB|=|BC|sin60°=\.'3,所以BA在BC方向上的投影為|BA|cosNABC=|晶|cos30°=中X孚=|.二、填空題(2019?全國(guó)卷川)已知向量a=(2,2),b=(一8,6),則cosa,b=—應(yīng)―10--a?b 2X(—8)+2X6 算［解析］cosa,b=麗= 2810=一10.(2021?湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三起點(diǎn)考試)已知向量a=(3,4),b=(x,1),若(a-b)±a,則實(shí)數(shù)X等于Z.［解析］*/(a—b)±a,A(a—b)?a=0,即a2=a?b,25=3x+4,解得x=7.(2021?皖中名校聯(lián)考)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=5,|a—b|=6,|a+b|=4,則向量b在向量a上的投影為_(kāi)—__.［解析］,向量a,b滿(mǎn)足口|=5,|a—b|=6,|a+b|=4.A|a—b|2=25+b2—2a?b=36,|a+b|2=25+b2+2a?b=16.Aa=—5,|b|=1,A向量b在向量a上的投影為abab—5|b|.cosa,b=1b|?麗=而=V=—1.(2020?武漢市部分學(xué)校高三調(diào)研測(cè)試)已知口尸''2,|b|=1,a與b的夾角為45°,若tb—a與a垂直，則實(shí)數(shù)t=2.2 —.?一 一［解析］由已知可得a=1X\；2X3-=1.因?yàn)閠b—a與a垂直，所以(tb—a)?a=0,得tab—a2=0,即t—2=0,故t=2.三、解答題已知.|=4,|b|=3,(2a—3b>(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角e；(2)求|a+b|；(3)若AB=a,BC=b，求△ABC的面積.［解析］(1)因?yàn)?2a—3b>(2a+b)=61,所以4|a|2—4a?b—3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64—4a?b—27=61,a?b —6 1所以a?b=—6,所以cose=麗|=4X3=—2又0WeWn,所以e=y.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2=42+2X(—6)+32=13,所以|a+b|=\'13.、一—— .2n(3)因?yàn)锳B與BC的夾角e=不，

又I成|=|a|=4,I病|=|〃=3,所以S人/懣口反TsinN/%1亞r=yX4X3X^-=3\'3.14.（2021?湖北宜昌高三適應(yīng)性訓(xùn)練）在4ABC中，AB=3AC=9,AC-AB=AC.2,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)PA2+PB2+PC2取得最小值時(shí)，求PA?BC的值.[解析]由ac?Alb=ac.2,得[解析]由ac?Alb=ac.2,得ac?cB=0,所以bC±ac，即/c=n,則BC=\11AB2—AC2=6\'2.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（3,0）,B（0,6啦），設(shè)P（x,y）,則PA2+PB2+PC2=(x—3)2+y2+X2+(y—6\2)2+x2+y2=3x2—6x+3y2—12寸5y+81=3[(x—1)2+(y—2\'2)2+18],所以當(dāng)x=1,y=24Q時(shí)取得最小值，此時(shí)P(1,2\'2),則PA?BC=(2,—2、②?(0,—6也)=24.1.（2021?廣東百校聯(lián)考）若向量a,角為（C）90°B組能力提升b滿(mǎn)足a|=%|f10,b=(—2,1),a?b=5,貝Ua與b的夾60°45°[解析]:b=(—2,1),a力 5 22.q麗=^'WX-...15=〒.乂a30°/.|b|=\；(—2)2+12=、'5,V|a|=\1110,a?b=5,Acos a,b=b￡[0,n],「.a與b的夾角為45°.故選C.2.已知向量AB=(2,2)2ac=(1,a)，若|bC|=1,則Alb?ac=(c)4C.6DC.6［解析］BC=AC—AB=(—1,a—2),由|BC|=1,可得(一1)2+(a—2)2=1,解得a=2,則AB-AC=2X1+2X2=6,故選C.(2021?遼寧葫蘆島六中月考)已知a=(2sin13°,2sin77°),|a—b|=1,a與a—b的夾角為3，則aDb=(B)A.2 B.3C.4 D.5［解析］:a=(2sin13°,2sin77°)=(2sin13°,2cos13°),A|a|=2,又|a—b|=1,a與a—b的夾角為3,a?(a—b)=1,即a2—a?b=1,/.a1b=3.故選B.（2020?天津，15）如圖，在四邊形ABCD中，/B=60°,AB=3,BC=6,且AD=XbC,AD?AB=—3,則實(shí)數(shù)丸的值為1；若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MfN\=1,則DM-而13的最小值為三［解析］本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積.由題意AD-AB=|AD||AB|cosZBAD=|AD|X3X（—2）=—3,所以|AD|=1.又|bC|=6,AD=入BC,所以丸=6.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，垂直于BC的直線為歹軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題可得A（j,早^,所以DM-D)N=(t—§?(t—|^+(—3'3)2=12—41+21=(t—2)2+￥三13,所以當(dāng)t=2時(shí)，D(5,,不妨設(shè)M(t,0)(0D(5,,不妨設(shè)M(t,0)(0<tW5),則N(t+1,0),DM=(t—5,,dN=［t-3,—,13DM-DN取最小值為-y.在^ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且cosB=高(1)若sinA=4,求cosC；⑵若b=4,求AB-BC的最小值.［解析］（