第4章空間力系4.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的分解與投影4.2力對(duì)點(diǎn)之矩、力對(duì)軸之矩及空間力偶矩矢4.3空間力系的簡(jiǎn)化4.4空間力系的平衡4.5平行力系的中心與物體的重心思考題習(xí)題

4.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的分解與投影

4.1.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的分解

在平面內(nèi)，根據(jù)力的平行四邊形法則，可將一力沿直角坐標(biāo)軸分解為兩個(gè)相互垂直的分力。同樣，在空間中，可將一力沿空間坐標(biāo)軸方向分解為三個(gè)相互垂直的分力。具體做法如下：如圖4-1(a)所示，設(shè)有一空間力F，根據(jù)力的平行四邊形法則，先將該力分解為兩個(gè)力：沿z軸方向的分力Fz和Oxy平面內(nèi)的分力Fxy；然后再將分力Fxy分解為沿x軸的分力Fx和沿y軸的分力Fy。由圖可見(jiàn)，各分力大小分別為以原力為對(duì)角線的直角六面體的三個(gè)棱邊。上述分解可表示為

F=Fx+Fy+Fz

(4-1)圖4-14.1.2力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

1.直接投影法

在直角坐標(biāo)系中，若已知力F與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角分別為α、β、γ，如圖4-1(a)所示，則力在三個(gè)軸上的投影等于力F的大小與方向余弦的乘積，即

Fx=Fcosα,

Fy=Fcosβ,

Fz=Fcosγ

(4-2)

2.間接投影法

當(dāng)力F與坐標(biāo)軸間的夾角不易確定時(shí)，可將力F先分解到坐標(biāo)平面Oxy上，得到分力Fxy，然后再將該分力投影到x、y軸上。如圖4-1(b)所示，已知角φ和γ，則力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為

(4-3)

應(yīng)該注意：力在軸上的投影是代數(shù)量，而力沿軸的分力是矢量。若以Fx、Fy、Fz表示力F沿直角坐標(biāo)軸x、y、z的正交分量，以i、j、k分別表示沿x、y、z坐標(biāo)軸方向的單位矢，則F可用解析式表示為

F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk

(4-4)

若已知力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，則可求得F的大小及方位余弦分別為

(4-5)

例4-1在長(zhǎng)方體上作用有三個(gè)力,F1=500N,F2=1000N,

F3=1500N，各力的作用點(diǎn)、方向及位置如圖4-2所示。求各力在坐標(biāo)軸上的投影。

解：由于F1及F2與坐標(biāo)軸間的夾角均已知，可用直接投影法投影。力F3與坐標(biāo)軸的方位角φ及傾角θ已知，可用二次投影法投影。從圖中的幾何關(guān)系可得圖4-2可求得各力在坐標(biāo)軸上的投影分別為

Fx1=0,

Fy1=0,

Fz1=F1cos180°=-500N

Fx2=-1000sin60°=-866N,

Fy2=1000cos60°=500N,

Fz2=0

Fx3=1500cosθcosφ=805N,

Fy3=-1500cosθsinφ=-1073N,

Fz3=1500sinθ=671N

4.2力對(duì)點(diǎn)之矩、力對(duì)軸之矩及

空間力偶矩矢

4.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩

力對(duì)點(diǎn)之矩是力使物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。設(shè)有一力F作用于剛體上的A點(diǎn)，使剛體繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖4-3所示)，經(jīng)驗(yàn)表明，這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)不僅與力矩的大小、轉(zhuǎn)向有關(guān)，還與力矩作用面(矩心與力作用線構(gòu)成的平面)的空間方位有關(guān)。圖4-3這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用空間力矩矢MO(F)來(lái)表示，其中矢量的模|MO(F)|=Fh=2A△OAB(A△OAB為△OAB的面積)；矢量的方位和力矩作用面的法線方位相同；矢量的指向按右手螺旋法則確定，如圖4-3所示。MO(F)可用矩心至力作用點(diǎn)的矢徑與該力矢量的叉積表示，即

MO(F)=r×F

(4-6)以矩心為坐標(biāo)原點(diǎn)，選直角坐標(biāo)系Oxyz如圖4-3所示。力作用點(diǎn)為A(x，y，z)，矢徑r的解析式為r=xi+yj+zk,力F的解析式為F=Fxi+Fyj+Fzk，力F對(duì)O點(diǎn)之矩MO(F)的解析表達(dá)式為(4-7)

MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為

［MO(F)］x=yFz-zFy,

［MO(F)］y=zFx-xFz,

［MO(F)］z=xFy-yFx

(4-8)

由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關(guān)，故力矩矢量的始端必須在矩心，不可隨意挪動(dòng)，力矩矢量為定位矢。當(dāng)力的作用線通過(guò)矩心時(shí)，力對(duì)點(diǎn)之矩為零。

在國(guó)際單位制中，力對(duì)點(diǎn)之矩的單位為牛頓·米(N·m)。4.2.2力對(duì)軸之矩

力對(duì)軸之矩是力使物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。為了度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用效果和求解空間力系的平衡問(wèn)題，必須掌握力對(duì)軸之矩的概念與計(jì)算。

現(xiàn)在計(jì)算作用在門上的力F對(duì)門軸z之矩。如圖4-4(a)所示，將力F分解為兩個(gè)分力Fz和Fxy，其中分力Fz平行于z軸，不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故它對(duì)z軸之矩為零；只有垂直于z軸的分力Fxy對(duì)z軸有矩，等于平面問(wèn)題中力Fxy對(duì)O點(diǎn)之矩。一般情況下，可將一空間力F沿平行于z軸及垂直于z軸的平面分解(如圖4-4(b)所示)，顯然，軸向分力Fz不能使剛體繞軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，只有分力Fxy才可能使剛體繞著Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)軸之矩等于該力在垂直于該軸的平面上的分力對(duì)軸與平面的交點(diǎn)之矩，它是力使剛體繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。力F對(duì)z軸之矩記為Mz(F)，即

Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh

(4-9)圖4-4力對(duì)軸之矩為代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：逆著z軸正向看，若力Fxy使物體繞z軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。或按右手螺旋規(guī)則確定其正負(fù)號(hào)(如圖4-4(c)所示)，用右手四指環(huán)繞著力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，拇指指向與z軸正向一致時(shí)，力對(duì)軸之矩為正；反之，為負(fù)。

力對(duì)軸之矩為零的情形：(1)當(dāng)力與軸相交(h=0)時(shí)，力對(duì)軸之矩為零；(2)力與軸平行(Fxy=0)時(shí)，力對(duì)軸之矩為零?；蛘哒f(shuō)當(dāng)力與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。力對(duì)軸之矩也可用解析式表示出來(lái)。如圖4-5所示，力的作用點(diǎn)為A(x，y，z)，力F的解析式為F=Fxi+Fyj+Fzk，力對(duì)z軸之矩為

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=-yFx+xFy+0=xFy-yFx

同理可得力F對(duì)x、y軸之矩。三式合寫為

Mx(F)=yFz-zFy,

My(F)=zFx-xFz,

Mz(F)=xFy-yFx

(4-10)圖4-5比較式(4-8)與式(4-10)，可得

［MO(F)］x=Mx(F),

［MO(F)］y=My(F),

［MO(F)］z=Mz(F)

(4-11)

該式建立了力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)過(guò)該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系，即力對(duì)點(diǎn)之矩在過(guò)該點(diǎn)的任意軸上的投影等于力對(duì)該軸之矩。由此可得力對(duì)點(diǎn)之矩的大小和方向余弦為

(4-12)

例4-2鉛垂力F=500N，作用于曲柄上，如圖4-6所示，α＝30°。求該力對(duì)各坐標(biāo)軸之矩。

解：根據(jù)力對(duì)軸之矩的定義，力對(duì)各坐標(biāo)軸之矩分別為

Mx(F)=-F(0.30+0.06)=-180N·m

My(F)=-F×0.36cos30°=-155.9N·m

Mz(F)=0圖4-64.2.3空間力偶矩矢

空間力偶對(duì)剛體的作用效果，可用力偶矩矢M來(lái)度量。在圖4-7(a)中，用rB,rA分別表示力偶(F,F′)的兩力作用點(diǎn)

A、B的矢徑，rBA=rA-rB=-rAB，F(xiàn)=-F′。力偶(F,F′)對(duì)空間任意一點(diǎn)O的矩為

MO(F,F′)=MO(F)+MO(F′)

=rA×F′+rB×F=rAB×F

=rBA×F′=M

(4-13)上述結(jié)果表明，力偶對(duì)空間任意一點(diǎn)的矩矢與矩心無(wú)關(guān)，所以力偶矩矢是自由矢量，用M表示。M的大小為M=Fh，方位與力偶作用面的法線相同(如圖4-7(b)所示)，指向由右手螺旋法則確定(如圖4-7(c)所示)。力偶矩的大小、作用面的方位及轉(zhuǎn)向決定了力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，稱為力偶的三要素。空間力偶對(duì)剛體的效應(yīng)完全由力偶矩矢所決定。圖4-7空間力偶矩矢是自由矢。因此兩個(gè)空間力偶無(wú)論作用在剛體上的什么位置，也不論力的大小、方向及力偶臂的大小怎樣，只要力偶矩矢相等，就彼此等效。這一結(jié)論表明：空間力偶可以平移到與其作用面平行的任意平面上，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果；可以同時(shí)改變力和力偶臂的大小，或?qū)⒘ε荚谄渥饔妹鎯?nèi)任意移轉(zhuǎn)，只要力偶矩矢不變，其作用效果就不變。力偶矩矢是空間力偶作用效果的唯一度量。

4.3空間力系的簡(jiǎn)化

4.3.1空間匯交力系的簡(jiǎn)化

對(duì)于空間匯交力系，連續(xù)使用力的平行四邊形法則，可得其合力。空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。

(4-14)

或用解析式表示為

FR=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk(4-15)由此可得合力的大小和方向余弦為

(4-16)4.3.2空間力偶系的簡(jiǎn)化

任意多個(gè)空間分布的力偶可以合成為一合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

(4-17)

或用解析式表示為

(4-18)由此可得合力偶矩的大小和方向余弦為

(4-19)4.3.3空間任意力系的簡(jiǎn)化

1.空間力的平移定理

作用在剛體上任意點(diǎn)A的一個(gè)力，可以平移到剛體內(nèi)任意指定點(diǎn)O，要使原力對(duì)剛體的作用效果不變，必須附加一個(gè)力偶，附加力偶矩矢等于原力對(duì)指定點(diǎn)O的矩,如圖4-8所示。圖4-8

2.空間任意力系向簡(jiǎn)化中心的簡(jiǎn)化

設(shè)在剛體上作用一空間任意力系F1,F2,…,Fn，各力作用點(diǎn)的矢徑分別為r1,r2,…,rn，選擇任意點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，建立Oxyz直角坐標(biāo)系如圖4-9(a)所示(為了方便起見(jiàn)，圖中只畫出三個(gè)力)。圖4-9根據(jù)力的平移定理，現(xiàn)將力系中各力向簡(jiǎn)化中心O平移，得到一作用于O點(diǎn)的空間匯交力系F1′,F2′,…,Fn′和一個(gè)附加的空間力偶系M1,M2,…,Mn，如圖4-9(b)所示。其中

Fi′=Fi,Mi=MO(Fi)

(i=1,2,…,n)

再將此匯交力系和附加力偶系分別合成，便可得到作用于簡(jiǎn)化中心的力矢FR′與力偶矩MO，如圖4-9(c)所示。

(4-20)所以，空間任意力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化可得到一力和一力偶。該力作用在簡(jiǎn)化中心，其大小和方向等于原力系中各力的矢量和，稱之為力系的主矢；該力偶矩矢等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的矢量和，稱之為力系的主矩。

由式(4-15)、(4-20)可知，主矢的解析表達(dá)式為

FR′=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk

(4-21)

由式(4-10)、(4-18)和式(4-20)可知，主矩的解析表達(dá)式為

MO=∑Mx(Fi)i+∑My(Fi)j+∑Mz(Fi)k

(4-22)由式(4-16)可得主矢的大小為

(4-23)

由式(4-19)可得主矩的大小為

(4-24)

4.4空間力系的平衡

將空間任意力系向簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化，結(jié)果得到一主矢FR′

和一主矩MO?？臻g力系平衡時(shí)，力系的主矢和主矩應(yīng)同時(shí)為零，由式(4-23)、(4-24)可得，空間任意力系的平衡方程組為

∑Fx=0,∑Fy=0,∑Fz=0

∑Mx(F)=0,∑My(F)=0,∑Mz(F)=0

(4-25)即剛體在空間任意力系作用下平衡的充要條件是所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；各力對(duì)每一坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。式(4-25)稱為空間任意力系的平衡方程組的一般形式。

一個(gè)物體在空間有六種獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的可能，它們分別是沿著三個(gè)坐標(biāo)軸方向的移動(dòng)與繞著三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零，保證了物體沿三個(gè)坐標(biāo)軸不移動(dòng)；對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸取矩的代數(shù)和為零，保證了物體繞三個(gè)坐標(biāo)軸不轉(zhuǎn)動(dòng)。方程組(4-25)保證了物體可在空間處于平衡狀態(tài)?？臻g任意力系的平衡方程也有其它形式。但對(duì)于一個(gè)剛體，最多可以建立六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可用以求解六個(gè)未知量。

從空間任意力系的一般平衡方程式(4-25)中可以導(dǎo)出特殊力系的平衡方程，例如空間匯交力系、空間平行力系和平面任意力系等的平衡方程。4.4.1空間匯交力系的平衡方程

各力作用線不在同一平面內(nèi)，但匯交于一點(diǎn)的力系稱為

空間匯交力系，如圖4-10所示。取力系的匯交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立Oxyz直角坐標(biāo)系，在此情形下，不論力系是否平衡，力系中各力對(duì)于坐標(biāo)軸x、y、z之矩均恒為零。所以，空間匯交力系的獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)，即

∑Fx=0

∑Fy=0

(4-26)

∑Fz=0圖4-104.4.2空間平行力系的平衡方程

各力作用線不在同一平面內(nèi)，但互相平行的力系稱為空間平行力系，如圖4-11所示。取坐標(biāo)軸z與各力平行，在此情形下，不論力系是否平衡，力系中各力對(duì)于坐標(biāo)軸z之矩均為零，同時(shí)各力在x軸及y軸上的投影也均為零，所以空間平行力系的獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)，即

∑Fz=0

∑Mx(F)=0

(4-27)

∑My(F)=0圖4-114.4.3平面任意力系的平衡方程

取力系的作用面為xy坐標(biāo)面，在此情形下，不論力系是否平衡，力系中各力在z軸上的投影均為零，同時(shí)各力對(duì)x軸和y軸之矩也均為零，所以平面任意力系的獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)，即

∑Fx=0

∑Fy=0 (4-28)

∑Mz(F)=0

此方程與上一章所得到的平面任意力系平衡方程的一般形式完全一致。求解空間力系的平衡問(wèn)題，其步驟與求解平面力系一樣：首先選取研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，畫受力圖；其次建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，列平衡方程，解出未知量。應(yīng)當(dāng)指出，在實(shí)際應(yīng)用平衡方程解題時(shí)，可以分別選取適宜的軸線作為投影軸或力矩軸，使每一平衡方程包含的未知量最少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。另外，為方便計(jì)算，也可以在六個(gè)平衡方程中列出三個(gè)以上的力矩式方程來(lái)代替部分或全部投影式方程。但與平面任意力系一樣，對(duì)投影軸和力矩軸都有一定的限制條件。

例4-3重為W的重物用桿AB和位于同一水平面內(nèi)的繩索AC、AD支撐，如圖4-12(a)所示。已知W=1000N，CE=ED=

12cm，EA=24cm，β=45°。不計(jì)桿重，求繩索的拉力和桿AB所受的力。

解：取桿AB和重物為研究對(duì)象。其上受有主動(dòng)力W，A處受繩索的拉力FAD、FAC，鉸鏈B對(duì)桿的約束力為FAB。因?yàn)椴挥?jì)桿重，AB為二力桿，所以FAB必沿桿AB的軸線，假設(shè)AB桿受壓。這些力組成一空間匯交力系。建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖4-12(b)所示。圖4-12列平衡方程如下：

∑F=0,FABcosβ-W=0

∑Fx=0,FACsinα-FADsinα=0

∑Fy=0,-FACcosα-FADcosα+FABsinβ=0其中，

將已知數(shù)值代入后解得

FAB=1414N，F(xiàn)AC＝FAD＝559N

FAB為正值，說(shuō)明圖中假設(shè)的FAB指向與實(shí)際指向相同，即桿AB受壓力作用。

例4-4半圓板的半徑為r，重為W，如圖4-13所示。已知板的重心C離圓心的距離為4r/(3π)，在A、B、D三點(diǎn)用三根鉛垂繩子懸掛于天花板上，使板處于水平位置，求三根繩子的拉力？

解：取半圓板為研究對(duì)象，三根繩子均承受拉力，作用在板上的力分別為F1、F2、F3,鉛垂向上，此外板還受到鉛垂向下的重力W作用。所以，作用在板上的力系為空間平行力系。建立如圖4-13所示的Axyz坐標(biāo)系。圖4-13列平衡方程如下：

∑Fz=0，F(xiàn)1+F2+F3-W=0

∑Mx(F)=0，-Wr+2F2r+F3(r+rsin30°)=0

∑My(F)=0，W

-F3rcos30°=0

解此方程組可得

F1=0.38W，F(xiàn)2=0.13W，F(xiàn)3=0.49W

即三根繩子承受的拉力分別為0.38W，0.13W，0.49W。

例4-5均質(zhì)矩形板ABCD重W=800N，重心在G點(diǎn)，矩

形板用球形鉸鏈A和圓柱形鉸鏈B固定在墻上，并用繩子CE系住，靜止在水平位置。已知∠ECA=∠BAC=θ=30°，如圖

4-14所示。求繩子的拉力和鉸鏈A及B的約束反力。

解：研究矩形板ABCD。球鉸鏈A處有三個(gè)約束反力FAx、FAy、FAz，柱鉸鏈B處有兩個(gè)約束反力FBx、FBz，矩形板ABCD的受力如圖4-14(b)所示，屬于空間任意力系。圖4-14設(shè)AB長(zhǎng)為a，BC長(zhǎng)為b。將力F分解為F1和F2，如圖4-14

(b)所示。其中F1與z軸平行，F(xiàn)2位于Axy平面內(nèi)。由合力矩定理可知，力F對(duì)某軸之矩等于F1和F2對(duì)同軸之矩的代數(shù)和。列出平衡方程如下：其中,F1=Fsin30°,F2=Fcos30°,代入上面的方程組可解得

F=800N,

FAx=346N,

FAy=600N

FAz=400N,

FBx=0,

FBz=0

注意：有時(shí)寫力矩平衡方程比力的投影方程方便，力矩軸也不一定要相互垂直。例如在本例中可取AE為力矩軸，由力矩平衡方程∑MAE(F)=0，可直接求得FBz=0。

例4-6圖4-15所示的均質(zhì)長(zhǎng)方板由六根直桿支撐于水平位置，直桿的兩端各用球鉸鏈與板和地面聯(lián)接。板重為W，在A點(diǎn)處沿AB方向作用一水平力F，且F=2W。求各桿的內(nèi)力。圖4-15

解：取長(zhǎng)方體鋼板為研究對(duì)象。各桿均為二力桿，假定各桿均受拉力作用，板的受力如圖4-15所示，為一空間任意力系。列平衡方程如下：

∑MAE(F)=0,

F5=0 (4-29)

∑MBF(F)=0,

F1=0 (4-30)

∑MAC(F)=0,

F4=0 (4-31)

∑MAB(F)=0,

W

+F6a=0 (4-32)解得

由

(4-33)

解得由

(4-34)

解得

F2=1.5W

在所得結(jié)論中，正號(hào)表示桿件受拉，負(fù)號(hào)表示桿件受壓。

本例中用六個(gè)矩式方程求得六個(gè)桿的內(nèi)力。一般來(lái)講，矩式方程的應(yīng)用比較靈活，常可使一個(gè)方程中只含一個(gè)未知量。當(dāng)然也可用其它形式的平衡方程組求解本例。

4.5平行力系的中心與物體的重心

4.5.1平行力系的中心

空間分布的平行力系是一種常見(jiàn)力系，如流體對(duì)固定平面的壓力，物體所受的重力等。平行力系中心是平行力系合力的作用線始終通過(guò)的一個(gè)確定點(diǎn)。例如，兩同向平行力F1、F2分別作用在剛體上的A、B兩點(diǎn)，如圖4-16所示。利用力系的簡(jiǎn)化理論，可求得它們的合力FR，其大小為FR=F1+F2，其作用線內(nèi)分AB連線于C點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)C應(yīng)用合力矩定理有

MC(FR)=MC(F1)+MC(F2)=0

可得

顯然，C點(diǎn)的位置與兩力F1、F2在空間的指向無(wú)關(guān)。

如將F1、F2按同方向轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度α，則合力FR亦轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度α，且仍通過(guò)C點(diǎn)，如圖4-16所示。圖4-16上述結(jié)論可推廣到任意多個(gè)力組成的平行力系，即將力系中各力依次逐個(gè)合成，最終可求得力系的合力FR=∑Fi，合力的作用點(diǎn)即為該平行力系的中心，且此點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無(wú)關(guān)?，F(xiàn)根據(jù)合力矩定理確定平行力系中心的位置。取一直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖4-17所示，設(shè)有一空間平行力系F1,F2,…,Fn平行于z軸，各力作用點(diǎn)為Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,…，n)，而平行力系的合力為FR，其作用點(diǎn)為C(xC，yC，zC)。根據(jù)合力矩定理有

Mx(FR)=∑Mx(Fi),

可得FRyC=∑Fiyi

My(FR)=∑My(Fi),可得FRxC=∑Fixi圖4-17再按照平行力系的性質(zhì)，將各力按相同的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)到與y

軸平行的位置(圖4-17中的虛線位置)，由Mx(FR)=∑Mx(Fi)有

FRzC=∑Fizi，于是可得平行力系中心C的坐標(biāo)公式為

(4-35)4.5.2物體重心的概念

物體的重心實(shí)質(zhì)上是平行力系中心的特例。地球表面附近的物體，每一部分都受到地心的引力作用，由于地球半徑比物體尺寸大得多，因此，物體各部分受到的引力組成了一個(gè)近似平行力系，此力系的合力即為物體所受的重力，重力的作用點(diǎn)稱為物體的重心。顯然，無(wú)論物體如何放置，其重心總是相對(duì)確定的點(diǎn)。物體的重心是一個(gè)重要概念。凡是轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械，如離心機(jī)的轉(zhuǎn)鼓，特別是高速離心機(jī)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使轉(zhuǎn)軸通過(guò)轉(zhuǎn)鼓的重心，這實(shí)際上是很難做到的，若有偏心，也應(yīng)該將偏心嚴(yán)格控制在一定的范圍內(nèi)，否則，將引起強(qiáng)烈振動(dòng)。重心的位置可由平行力系中心的坐標(biāo)公式來(lái)確定。設(shè)物體各微小部分的重量為ΔWi(i=1，2，…，n)，物體整體的重量為W，其大小為W=∑ΔWi，則物體重心的坐標(biāo)公式為

(4-36)對(duì)于均質(zhì)物體，其密度為常數(shù)γ，物體的重量與體積成正比，ΔWi=γΔVi，W=γV,代入式(4-36)有

(4-37)

式中,V為物體的體積，顯然均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。對(duì)于均質(zhì)等厚薄殼，厚度為t，則物體的體積與其面積成正比，Vi=ΔAit，V=At，其形心坐標(biāo)公式可寫為

(4-38)對(duì)于均質(zhì)等截面線狀物體，單位長(zhǎng)度體積為λ，物體的體積與其線長(zhǎng)度成比例，Vi=ΔLiλ，V=Lλ，其形心坐標(biāo)公式可寫為

(4-39)在地球表面附近，重心的位置與質(zhì)心的位置重合，仿照重心的計(jì)算公式，質(zhì)心坐標(biāo)可寫為

(4-40)式(4-40)可用矢量形式表示為

(4-41)

其中,rC為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心矢徑，M=∑mi為整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，

mi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑。4.5.3確定重心位置的方法

1.對(duì)稱性判別法

凡是具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)的均質(zhì)物體，其重心必在對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)上。如均質(zhì)圓球體的中心是對(duì)稱點(diǎn)，它也是圓球體的重心；等腰三角形垂直于底邊的中線是對(duì)稱軸，其重心必在該中線上。對(duì)于一些簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)體的重心，可由公式(4-36)~(4-39)直接積分得到，表4-1列出了常見(jiàn)的幾種簡(jiǎn)單形狀物體的重心。對(duì)于工程中常見(jiàn)的型鋼(如工字鋼、角鋼、槽鋼等)，可在型鋼表中查出相應(yīng)的截面形心位置。

2.分割組合法

把一個(gè)復(fù)雜形狀的物體假想地分割成幾個(gè)形狀簡(jiǎn)單的部分，使每部分的重心位置都容易確定。把每部分的重力加在它自身的重心上，就可把問(wèn)題歸結(jié)為求有限個(gè)平行力的中心的問(wèn)題，按照式(4-40)即可確定其重心的坐標(biāo)。

例4-7角鋼截面近似尺寸如圖4-18所示。試求其形心的位置。

解：建立圖示Oxy坐標(biāo)系，角鋼截面可分割成兩個(gè)矩形，如圖中虛線所示，兩矩形的面積分別為

A1=(200-20)×20=3600,

A2=150×20=3000

形心的坐標(biāo)分別為

圖4-18代入式(4-38)，可得角鋼截面形心的坐標(biāo)為

例4-8求圖4-19所示振動(dòng)沉樁器偏心塊的重心。已知：

R=100mm，r=17mm，b=13mm。

解：將偏心塊看成由半徑為R的大半圓A1，半徑為r+b的

半圓A2和半徑為r的小圓A3三部分組成。因?yàn)锳3是切去的部分，所以面積應(yīng)取負(fù)值。圖4-19建立Oxy坐標(biāo)系，如圖4-19所示，y軸為對(duì)稱軸，所以xC=0。設(shè)y1、y2、y3分別是面積A1、A2、A3的重心坐標(biāo)，查表4-1得

則偏心塊的重心坐標(biāo)為

這種確定重心的方法也稱為負(fù)面積法。

3.實(shí)驗(yàn)法

如果物體的形狀不規(guī)則或質(zhì)量分布不均勻，為了避免繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可采用實(shí)驗(yàn)法確定其重心。工程中常用的實(shí)驗(yàn)法有懸掛法和稱重法。

1)懸掛法

懸掛法用于確定小型輕便物體(如薄板)的重心。如圖

4-20所示，將薄板分別懸掛于A點(diǎn)和B點(diǎn)兩次，根據(jù)二力平衡原理，薄板靜止后，其重心必在過(guò)懸掛點(diǎn)的鉛直線上。在薄板上畫出每次過(guò)懸掛點(diǎn)的鉛直線，它們的交點(diǎn)C即為物體的重心。圖4-20

2)稱重法

稱重法用于確定大型空間物體(如汽車、輪船、飛機(jī)等)的重心。如圖4-21所示，已知汽車的重量為W，前后輪距為l，車輪半徑為r。設(shè)汽車是左右對(duì)稱的，則重心必在對(duì)稱面上，只需測(cè)定重心C距后輪的距離xC及距地面的高度zC即可。圖4-21欲測(cè)定xC，可將前、后輪分別放在磅秤和地面上，使車身保持水平，如圖4-21(a)所示，測(cè)得磅秤上的讀數(shù)為F1。因車身平衡，所以

(4-42)

欲測(cè)定zC，需將后輪抬高到任意高度H，如圖4-21(b)所示。測(cè)得磅秤上的讀數(shù)為F2。同理可得

(4-43)由圖中幾何關(guān)系可知：

(4-44)

其中,h為重心與后輪中心的高度差，h=zC-r。

將式(4-42)、(4-43)代入式(4-44)，可得

則思考題

4-1若已知力F與x軸的夾角為α，與y軸的夾角為β，以及力F的大小，能否計(jì)算出力在z軸上的投影Fz?

4-2將物體沿過(guò)重心的平面切開(kāi)，兩邊是否一樣重？

4-3物體位置改變時(shí)重心是否改變？如果物體發(fā)生了變形，重心的位置變不變？

4-4一均質(zhì)等截面直桿的重心在哪里？若把它彎成半圓形，其重心的位置是否改變？

4-5傳動(dòng)軸用兩個(gè)止推軸承支持，每個(gè)軸承有三個(gè)未知力，共六個(gè)未知量。而空間任意力系的平衡方程恰好為六個(gè)，問(wèn)此問(wèn)題是否為靜定問(wèn)題？習(xí)題

4-1立方塊上作用的各力如題4-1圖所示。各力的大小為：F1=50N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=70N。試分別計(jì)算這三個(gè)力在x、y、z軸上的投影及其對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸之矩。題4-1圖

4-2長(zhǎng)方形板ABCD的寬度為a，長(zhǎng)度為b，重為W，在

A、B、C三角用三個(gè)鉸鏈桿懸掛于固定點(diǎn)，使板保持在水平位置，如題4-2圖所示。求此三桿的內(nèi)力。題4-2圖

4-3題4-3圖中力F=1000N，求力F對(duì)z軸之矩Mz(F)。題4-3圖

4-4題4-4圖所示起重機(jī)構(gòu)中,已知：AB=BC=AD=AE,點(diǎn)A、B、C、D和E處均為球鉸鏈聯(lián)接，如三角形ABC在xy平面的投影為AF線，AF與y軸夾角為θ。求鉛直支柱和各斜桿的內(nèi)力。題4-4圖

4-5如題4-5圖所示，三桿AO、BO和CO在O點(diǎn)用球形鉸鏈聯(lián)接，且在A、B、C處用球形鉸鏈固定在墻壁上。桿AO、BO位于水平面內(nèi)，且三角形AOB為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)。桿CO位于COD所在的平面內(nèi)，且此平面與三角形AOB所在的平面垂直，桿CO與墻成30°角，在O點(diǎn)懸掛重為W的重

物，試求三桿所受的力。題4-5圖

4-6如題4-6圖所示，重為W的重物，由三桿AO、BO和CO所支撐。桿BO和CO位于水平面內(nèi)，已知OC=a，AC