專題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I考點三年考情（2022-2024）命題趨勢考點1：已知奇偶性求參數(shù)2023年全國Ⅱ卷2023年全國乙卷（理）2024年上海卷2022年全國乙卷（文）2023年全國甲卷（理）從近三年高考命題來看，本節(jié)是高考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相結(jié)合進行考查．考點2：函數(shù)圖像的識別2022年天津卷2023年天津卷2024年全國甲卷（理）2024年全國Ⅰ卷2022年全國乙卷（文）2022年全國甲卷（理）考點3：函數(shù)模型及應(yīng)用2022年北京卷2024年北京卷2023年全國Ⅰ卷考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性2023年全國乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全國Ⅰ卷2024年天津卷2023年全國Ⅰ卷考點5：分段函數(shù)問題2022年浙江卷2024年上海夏季考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題2022年北京卷2022年北京卷考點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用2023年全國Ⅰ卷2022年全國I卷2024年全國Ⅰ卷2022年全國II卷考點8：指對冪運算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全國甲卷（理）2023年北京卷

考點1：已知奇偶性求參數(shù)1．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，故即，故，故答案為：.4．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．5．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.考點2：函數(shù)圖像的識別6．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；又當(dāng)時，，C選項錯誤；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；故選：D.7．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D8．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.9．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因為函數(shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C10．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.11．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，，所以，排除C.故選：A.考點3：函數(shù)的實際應(yīng)用12．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當(dāng)，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當(dāng)，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當(dāng)，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D13．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，則，即，所以.故選：D.14．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性15．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．17．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.18．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.19．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，函數(shù)定義域為，不關(guān)于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.20．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D考點5：分段函數(shù)問題21．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時，，則的最大值是．【答案】/【解析】由已知，，所以，當(dāng)時，由可得，所以，當(dāng)時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.22．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知則．【答案】【解析】因為故，故答案為：.考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題23．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：24．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若時，，∴；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1考點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用25．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【解析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.26．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．27．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為當(dāng)時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.28．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；29．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為