極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性，極

值點(diǎn)偏移問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對(duì)思維要求較高，過(guò)程較為煩瑣,

計(jì)算量較大，解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，有對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨(dú)

具特色.

1.極值點(diǎn)偏移的概念

已知函數(shù)y=/(x)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(°,6)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)xo,八xi)=/(X2),且xo在xi與

X2之間，由于函數(shù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的變化速度不同，使得極值點(diǎn)偏向變化速度快的一側(cè)，

常常有配力包士這，這種情況稱為極值點(diǎn)偏移.

2

2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式

(1)函數(shù)外)存在兩個(gè)零點(diǎn)Xl，X2且求證：》+工2>2%0(%0為函數(shù)段)的極值點(diǎn))；

(2)函數(shù)外)中存在Xi,X2且X1WX2,滿足於1)=加2)，求證：修+工2>2%0(%0為函數(shù)加)的極值點(diǎn))；

)，，X1；"2

(3)函數(shù)人X存在兩個(gè)零點(diǎn)XlX2且X1#X2令XO=,求證：f(%0)>0；

⑷函數(shù)/件存在卬X2且x/必滿足加)=加2),令X尸手，求證：/(X0)>0.

題型一對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)

例1(2023?唐山模擬)已知函數(shù)於)=xe2r.

⑴求大x)的極值；

⑵若a>l,b>l,a^b,?+?=4,證明：a+b<4.

(1)解因?yàn)樨！?我2",

所以，(x)=(1—x)e2r,

由/(x)>0,解得x〈l；由，(x)<0,解得x>l,

所以/(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

又｛l)=e,

所以")在x=l處取得極大值e,無(wú)極小值.

(2)證明由(1)可知，於)在(1,+8)上單調(diào)遞減，人2)=2,

且a>l,b>l,a聲b,火。)+心)=4,

不妨設(shè)要證。+6<4,只需證6<4—

而6>2,2<4—0<3,且在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以只需證人6)寸(4—a),

即證4—/(a)>/(4—a),

即證J(a)+/(4—a)<4.

即證當(dāng)l<x<2時(shí)，")+/(4一刈<4,

令尸(x)=/(x)+/(4—x),l<x<2,

則廠'(x)=f(x)—f(4—x)

=(1-柳2'一-2。-3),

令h(x)=(1—x)e2-Jr—ev2(x—3),I<x<2,

則h'(x)=e2-x(x—2)—ex-2(x—2)

=(x—2)(e2r_&L2),

因?yàn)閘<x<2,所以x—2<0,e2x—ex2>0,

所以/(x)<0,

即〃(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，

則h(x)>h(2)=Q,即F'(x)>0,

所以*x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以-x)<F(2)=贄2)=4,

即當(dāng)1cx<2時(shí)，/)+/[4—x)<4,

所以原命題成立.

思維升華對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)

(1)對(duì)結(jié)論XI+X2>2XO型，構(gòu)造函數(shù)F(x)=?-/(2xo-x).

(2)對(duì)結(jié)論xiX2>x8型，方法一是構(gòu)造函數(shù)F(X)=?-/E3,通過(guò)研究尸(x)的單調(diào)性獲得不等

式；方法二是兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnxi+lnx2>21nxo,再把Inxi,ln%2看成兩變量即可.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?全國(guó)甲卷)已知函數(shù)人x)=五一lnx+x—a.

(1)若於)20,求a的取值范圍；

(2)證明:若於)有兩個(gè)零點(diǎn)XI,X2,則X1X2<1.

(1)解由題意知函數(shù)兀v)的定義域?yàn)?0,+°°).

由/1+1

X2X

1)—x+x2_(ex+x)(x—1)

X2X29

可得函數(shù)人X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以於)min=/(l)=e+l—Q.又加)20,

所以e+1—解得aWe+1,

所以。的取值范圍為(-8,e+1].

(2)證明方法一不妨設(shè)X1〈X2,

則由(1)知0<Xl<l<X2,—>1.

XI

令尸(x)=Ax)—/日,

1

ex+—II--1

X]\X

則尸，(x)=⑹+x)(x—l=(izzl)(ev+x_X/-1).

X2"TX2X2

x2

]_

令g(x)=e*+x—xex—1(x>0),

11

貝Ug，(^)=^+1—ev+xeA'?—

x2

=d+l+eQ-1(x>0),

1X

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)>0,

所以當(dāng)xd(0,l)時(shí)，g(x)<g(l)=0,

所以當(dāng)xW(0,l)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以9(x)<F(l),

即在(0,1)上兒：)一/H<F(I)=O.

又加1)=兀m)=0,所以“X2)—/LLIVO,

即加2)歹［)

由(1)可知，函數(shù)段)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以X2<,，即X1X2<1.

XI

方法二(同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)化解等式)

不妨設(shè)X1<X2,

則由(1)知0<XI<1<X2,0<L<1.

X2

由HXD=/(X2)=0,

得——Inxi-\-Xi=----InX2+X2,

再X2

即9一山西+x]—inxi=e、2fx2+x2-inx2.

因?yàn)楹瘮?shù)歹=^+%在R上單調(diào)遞增,

所以xi—Inxi=X2—In工2成立.

構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-]nx(x>0),

g(x)=h(x)—=x—-—21nx(x>0),

(x

則g，a)=i+：_2=^^No(x>o),

力XX2,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)班1時(shí)，g(x)>g(l)=0,

即當(dāng)x>l時(shí)，/z(x)>/zLJ,

所以〃(、。二/也),〃[)

1y--1

又勿(X)=1--=----(x>0),

XX

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以0<XI<^<1,即XI%2VL

X2

題型二比值代換

例2(2024?滄州模擬)已知函數(shù)於)=111]一辦一1(〃￡10.若方程")+2=0有兩個(gè)實(shí)根修，必

且X2>2XI,求證：工應(yīng)>言(參考數(shù)據(jù)：In2-0.693,In3七1.099)

e3

證明由題意知人x)+2=lnx—ax-\-1—0,

finxi+1=axi,

于是.

InX2+1=ax2,

令及=/,則由X2>2XI可得t>2.

x\

曰_12一lnx2+l_In，+ln%i+l

xit=—='=',

xiInxi+1Inxi+1

即Inx\='^-■—1.

從而lnx2=ln^+ln

一t-l

另一方面，對(duì)XIX紅?兩端分別取自然對(duì)數(shù),

eJ

則有Inxi+21nX2>51n2—3,

于是，即證上"+即—3>51n2—3,

t-lt-l

(l+2rtlntLic44-c

m即^------->51n2,其中62.

(l+2，)lnt

設(shè)g?),t>2.

t~\

..,,1+2/1

2Int~\I

、tJ?—1)—(1+2%)ln/

則g‘(尸

(L

(1)2

設(shè)((￡)=-3In———1,t>2.

則“⑺=―)+2+；=2/一$+1=Q/I}—I)〉。在Q,+8)上恒成立,

tt2t2t2

于是9⑺在(2,+8)上單調(diào)遞增，

從而9?)>9(2)=—31n2+4—；—1=|-31n2>0.

所以g'。)>0,即函數(shù)g(。在(2,+8)上單調(diào)遞增,于是g(/)>g(2)=51n2.

因此x忌,￥，即原不等式成立.

e3

思維升華比值代換法是指通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換/=里化為單變量的

X2

函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)40=2+lnx(°eR).

X

(1)討論於)的單調(diào)性；

(2)若/(X)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)Xi,X2,設(shè)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為，(x).證明：X\f(x\)+x2fr(X2)>21n

a+2.

(1)解作)=旦+山工的定義域?yàn)?0,+8),

X

口,//、一1a_x-a

且/(%)—----

Xxz

當(dāng)aWO時(shí)，，(x)>0恒成立，八工)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)A0時(shí)，令，。)>0,解得%>。，令/(x)<0,解得0〈%vq,

故/(X)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(Q,+8)上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)4<0時(shí)，加)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4>0時(shí)，/(X)在(0,Q)上單調(diào)遞減，在(Q,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明由(1)知，當(dāng)時(shí)，段)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故人x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合

要求，故Q>0,

要想加)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)XI，X2,

則次〃)=l+lna<0,

解得0<a<~,

e

由于e+lnxi=O,旦+lnx2=0,

X1X2

故旦+且=_inx\-InX2=_ln(xi%2).

X\X2

要證x\f'(xi)+x/(X2)>21na+2,

即證xi?2=+%2?迎這N=2+ln(xiX2)>21na+2,

xlxlX\X2

即證ln(xiX2)>21na,

因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以只需證xiX2>a2,不妨設(shè)0〈xi<X2,

旦+lnxi=0,4+lnx2=0,

X\X2

兩式相減得且一——lnX2—Inxi,

X1X2

變形為,—Xi

InX2-Inxia

下面證明—————在0<Xl<X2上成立,

lnx2-Inxi

t-.用、丁工2一X1[[

只M證]--->lnX2—Inxi,

7X1X2

即P>ln也,

XlVX2X\

令—=r>l,即證t-->2\nt,t>\.

xit

構(gòu)造函數(shù)〃(。=/—1—21nt,介1,

,12_t2-2t+l_(t-l)

則〃'(0=1-]--;----------->o恒成立,

故〃")=r-l—2hu在(1,+8)上單調(diào)遞增,

故//(0>〃(l)=l—l—21n1=0,

所以t——>2Int,t>\,

故必一'I>而2,即2,加,

InX2—InXia

所以A/xiX2>a,xiX2>a2,證畢.

11能力提升

1.(2023?洛陽(yáng)聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)=lnx—6x,若g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)xi,x2.

(1)求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

(2)求證：lnxi+ln*2>2.

⑴解令g(x)=lnx—6x=0,得6=啦。>0).

令9(%)=皿(%>0),則/(x)=-一"，

XX2

由9，(x)>0,得0〈x〈e；由9，(x)<0,得x>e.

所以函數(shù)夕(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

所以9(X)max=e(e)=

e

又夕(1)=0,且當(dāng)、f+8時(shí)，夕當(dāng)％―0時(shí)，9(x)f—8,

由于g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則直線>=b與函數(shù)9(x)的圖象在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

所以o<Q.

e

⑵證明方法一(比值代換法)

由⑴知，不妨設(shè)lvx2〈evxi,

由g(Xl)=g(X2)=0,

得Inxi—bxi=0,InX2—6x2=0,

兩式相減得Inxi—InX2=b(xi-xi),

兩式相加得Inxi+lnX2=6(xi+X2).

欲證Inxi+InX2>2,

只需證b(x\+X2)>2,

^Inxi-InX22

即m證--------->-----,

Xl-X2Xl+%2

即證in皂〉2(XI—X2)

X2X\+%2

設(shè)片里>1,則X\=tX2,

X2

代人上式得出介絲二2?1.

e+1

故只需證In/具匕。，Al.

%+1

設(shè)〃6)=ln，一^~~—,t>l,

t~\-1

則〃(尸;2。+1)—2(/—1)=(/-I/)。

0+1)2娥+1)2

所以〃(。在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/z(f)>A(l)=0,

2(i)

所以Int>

t~\~1

故Inxi+lnX2>2,得證.

方法二(對(duì)稱化構(gòu)造法)

由(1)知，不妨設(shè)l<xi<e<X2,令G=lnxi,fa=ln.X2,貝U與,

e1e2

欲證Inxi+InX2>2,

即證介+亥>2.

設(shè)左?)=」；，。>0,貝!］左(九)=網(wǎng)力).

因?yàn)楣?。=匕，

ez

所以左⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)打三2時(shí)，易得力+打>2；

當(dāng)0<ZI<1<^2<2時(shí)，要證介+女>2,

即證1>九>2—亥>0,即證左(九)>左(2一打).

因?yàn)閗(h)=k(t2),

所以即證k(t2)>k(2-ti).

構(gòu)造函數(shù)K?)=M。一網(wǎng)2—。(14<2),

易得K(l)=0,

1—tt—1

K，(/)=〃(。+〃(2—。=一十丁=(1—/)(1'—6「2)(1<K2),

efe2t

因?yàn)?—fO,且一f?一2,

所以「<-2,即K’⑺>0.

所以K(Z)在(1,2)上單調(diào)遞增，K(/)>K(l)=0(l?<2).

所以即2)>0,即旗2)>?2一幻.

故ln?+lnx2>2,得證.

2.(2023?聊城模擬)已知函數(shù)於)=lnx+/GR),設(shè)心，〃為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且加?)=/(")

X

=3.

(1)求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(2)證明：a2<mn<ae2.

(1)解由題意知外)=3有兩個(gè)不相等的正根，所以lnx+m=3有兩個(gè)不相等的正根，

即a=3x—xlnx有兩個(gè)不相等的正根，

令函數(shù)〃(x)=3x—xlnx,x>0,

則h'(x)=2—Inx,

令(x)=0,得x=e2；令〃'(x)>0,得0<x〈e2；令〃'(x)<0,得x"?,

所以函數(shù)％(x)=3x—xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e2),單調(diào)遞減區(qū)間為(e2,+-),

令〃(x)=0,得x=e3,.S.h(e2)=e2,當(dāng)x—0時(shí)，〃(x)—0,

h(x)=3x-xlnx

of__

作出函數(shù)〃(x)=3x—xlnx的圖象，如圖所示，要使a=3x—xlnx有兩個(gè)不相等的正根，則函

數(shù)y=a與函數(shù)〃(x)=3x—xlnx有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知0<a<e2,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{q|0〈QVe2}.

(2)證明函數(shù)段)的定義域?yàn)?0,+°°),

4/、1ax-a

fW=--^=丁，

X片