第10講函數(shù)的方程與零點(diǎn)

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，已知方程求雙曲

2024年天津卷，第15題,5分

線的漸近線

2023年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2022年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍

2021年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2020年天津卷，第9題,5分函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的零點(diǎn)，能夠理解函數(shù)的方程，函數(shù)的零點(diǎn)與交代你的含義

2.能掌握函數(shù)圖像與性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像解決零點(diǎn)問題

4.理解并掌握二分法思想，會(huì)用零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般難度系數(shù)較高，通常為判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或者已知

零點(diǎn)個(gè)數(shù)求取值范圍。

GA?考點(diǎn)梳理?

1

1.函數(shù)零點(diǎn)概念r

2.零點(diǎn)存在性定理考點(diǎn)四、函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)

r知識(shí)點(diǎn)一.零點(diǎn)乂3.零點(diǎn)存在唯一性定理乂考點(diǎn)五、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)

4.函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系考點(diǎn)六、二分法的應(yīng)用

5.二次函數(shù)的零點(diǎn)I

函數(shù)的方程與零點(diǎn)

1.函數(shù)的圖像考點(diǎn)一、函數(shù)圖像的識(shí)別

2.描點(diǎn)法作圖考點(diǎn)二、函數(shù)的圖像變換

{3.圖象變換考點(diǎn)三、由函數(shù)圖象確定解析式

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.零點(diǎn)

1.函數(shù)零點(diǎn)概念

對(duì)函數(shù)y=/(%),把使/'(x)=0的實(shí)數(shù)久叫做函數(shù)y="久)的零點(diǎn)

2.零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口切上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(b)<Of,那么，函數(shù)y=/(%)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/■(久)=0的根.

3.零點(diǎn)存在唯一性定理：

如果函數(shù)y=f(%)在區(qū)間a,0上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有/'(a)f(b)<0,且在［a,句上單調(diào)，那么

函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(4,6)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).即存在唯一的。式氏6),使得/'(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系

函數(shù)y=F(x)=/(%)-g(x)有零點(diǎn)

方程F(%)=/(%)-g(x)=0有實(shí)數(shù)根=>函數(shù)%=/(%),y2=g(x)圖像有交點(diǎn)

求函數(shù)y=/(久)零點(diǎn)的方法：

①直接解方程/0)=0;

②利用圖象求其與久軸的交點(diǎn)(交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是零點(diǎn))；

③將方程/(久)=0變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)，通過圖象看它們的交點(diǎn)情況(同時(shí)可以知道零點(diǎn)的個(gè)數(shù))；

④可通過二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值.

5.二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)

(1)A>0,方程a/+b久+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

(2)△=0,方程a/+版+c=0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

(3)△<0,方程ad+族+?=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)二.函數(shù)的圖象

1.函數(shù)的圖像

2

將自變量的一個(gè)值久0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值久0)作為縱坐標(biāo)，就得到了坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

當(dāng)自變量取遍定義域/內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)用符號(hào)表述為

{(x，y)僅=/(久)，x^A},所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象.

2.描點(diǎn)法作圖

方法步驟:

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì));

(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.

3.圖象變換

(1)平移變換

(2)對(duì)稱變換y=/(x)+4

汗)“、關(guān)于x軸對(duì)稱.、

上k(k>0)

①y=fO)---------->y=-/(久)；

移個(gè)單位

偽、關(guān)于一軸對(duì)移左移右移

②y=f(%)---------->y=f-(x)y=f(x+h)*y=f(x)y=f(x-h)

九個(gè)單位九個(gè)單位

自〃、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,、(A>0)下k(k>G)(力>0)

移個(gè)單位

@y=ax(a>0且存1)關(guān)于」——工對(duì)覿”=10且由心0且存］y=f(x)-k

(3)伸縮變換

①把函數(shù)y=八式)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的一倍得y=/(69x)(0<(D<1)

w

②把函數(shù)y=/(x)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍得了=/(^X)(?>1)

③把函數(shù)y=/(%)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的w倍得y=G/(X)(刃>1)

④把函數(shù)y=/(%)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的w倍得y=cof(x)(0<6t)<l)

(4)翻折變換

保留》軸上方圖象

①y二"比)將x軸下方圖象翻折上去y=’(初L

保留了軸右邊圖象，并作其

②y=/(久)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象>y=/(|x1).

考點(diǎn)一、函數(shù)圖像的識(shí)別

典例引領(lǐng)

1.(2024?全國(guó)?高考真題)函數(shù)/(%)=-+(e*-ef)sin%在區(qū)間［—2.8,2.8］的圖象大致為()

3

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得f(l)>0,可排除D.

【詳解】/(—x)=—x2+(e-x—ex)sin(—%)=—x2+(ex—e-x)sinx=f(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2,828］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/⑴=-1+(e-3sinl>-1+(e-3sin”:一1一《>X>0,

故可排除D.

故選：B.

2.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是()

D-.y=2s—inx

J%2+1

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)/CO=寒，則/⑴=0,故排除B;

設(shè)/i(x)=今詈，當(dāng)％e(°e)時(shí)，0<cosx<1，

所以h0)=鬻<含wi,故排除c；

設(shè)g(x)=鬻，則g(3)=等>0,故排除D-

故選：A.

4

即時(shí)凝I

1.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)人幻=怨等(e為自然函數(shù)的底數(shù))的圖象大致為()

e—1

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B,C；再由x趨近0+,/(X)>0,排除D,即可得出答案.

【詳解】f(x)=學(xué)等的定義域?yàn)?},

"、_[e_xcos(—2ex)]-e2x_excos2ex_、

/(一力二(e-2x-l).e2x=l-e2x二一八%人

所以八%)為奇函數(shù),故排除B,C；

當(dāng)x趨近。+,e2x>1,所以e2x—1>0,ex>l,cos(2ex)>0,

所以f(x)>0,故排除D.

故選：A.

【答案】C

【分析】求出函數(shù)f(x)的定義域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.

【詳解】依題意，函數(shù)/(%)=/，的定義域?yàn)閧xeR|x1},

f(_x)==—=_f(x)，則/'(久)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B不滿足;

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，ex-e-x>0,|l-x2|>0,則f(x)>0,AD不滿足，C滿足.

故選：C

考點(diǎn)二、函數(shù)的圖像變換

5

中典例引領(lǐng)

1.(2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè))要得到函數(shù)y=的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=的圖象()

A.向左平移1個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位

C.向左平移g個(gè)單位D.向右平移g個(gè)單位

【答案】D

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式說明圖象平移過程即可.

【詳解】由y=G)"=6)2'向右平移，個(gè)單位，則y=6)2(x*)=

故選：D

2.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)把函數(shù)y=log3(x-1)的圖象向右平移1個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的最

所得圖象的函數(shù)解析式是

【答案】y=log3(2x-1)

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律可得答案.

【詳解】把函數(shù)y=log3(久—1)的圖象向右平移:個(gè)單位，得函數(shù)y=log3(X—g-1)=log3(X-'|)，再把橫

坐標(biāo)縮小為原來的5得到函數(shù)y=log3(2x—|)的圖象.

故答案為：y=log3(2x-

1.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)利用函數(shù)/。)=2方的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象.

(i)y=/(一久)；

(2)y=/(|%|)

(3)y=/(%)-1；

(4)y=1/(%)-1|;

(5)y=-f(x)；

(6)y=/(x-l).

【答案】(1)圖象見詳解

(2)圖象見詳解

(3)圖象見詳解

(4)圖象見詳解

(5)圖象見詳解

6

(6)圖象見詳解

【分析】先作出函數(shù)人比)=2欠的圖象，

(1)把/(X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即可得到y(tǒng)=/(-X)的圖象；

(2)保留“龍)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側(cè)的，并把y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱即可得到y(tǒng)=/(|x|)的

圖象；

(3)把f(x)圖象向下平移一個(gè)單位即可得到y(tǒng)=/(%)-1的圖象；

(4)結(jié)合(3),保留工上方部分，然后把x下方部分關(guān)于x軸翻折即可得到y(tǒng)=|f(x)-1］的圖象；

(5)把/'(%)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱即可得到y(tǒng)=-f(x)的圖象；

(6)把/(x)的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=/(%-1)的圖象.

【詳解】(1)把/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=/(-x)的圖象，如圖，

(2)保留f(x)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側(cè)的，并把y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象,

如圖，

(3)把/(x)圖象向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=/(x)-1的圖象，如圖,

(4)結(jié)合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分關(guān)于x軸翻折得到y(tǒng)=|f(x)-1|的圖象，如圖,

7

(5)把f(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)=-f(x)的圖象，如圖,

(6)把/(x)的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=1)的圖象，如圖,

2.(2024?遼寧?三模)已知對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log/,函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原

來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將或久)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)/(久)的圖象

重合，貝必的值是()

*32萬(wàn)遍c0

A.—Bo.—C.—D.v3

233

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象,

所以g(x)=log/,即g(x)=logaxToga3,

將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=logM-10ga3+2,

因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)/(%)的圖象重合，

所以—loga3+2=0,

所以/=3,又a>0且a豐1,

解得a=V3,

故選：D

3.(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=昔箸，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

8

A./(%)-1B./(x)-2C.f(x-2)D./(%+2)

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)稱性分析可得函數(shù)/(x)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心(0,2),結(jié)合圖象變換分析判斷.

【詳解】由題意可得：/(久)=甘箸=3-a，

因?yàn)?(a+x)+/(a—x)=(3-7^)+(3-1^)=6—2(^^+蔡)

2葉2工+2、2工+2"

2axa，

2?+2%+(2+l)2+2

若/(a+久)+f(a—%)=6-2x蕭蒜精總為定值，

則22。+1=2,解得a=0,此時(shí)/(%)+/(—久)=4,

所以函數(shù)/(%)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心(0,2).

對(duì)于選項(xiàng)A：/(x)-l有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為(0,1),不合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：/(無(wú))-2有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為(0,0),符合題意，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：/(x-2)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為(2,2),不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：f(x+2)有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心為(-2,2),不合題意，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

4.(2023?新疆阿勒泰?三模)已知函數(shù)則函數(shù)/(%)=]1'](%)=/(-x),則函數(shù)g(%)的圖象大致是()

[一,%<u,

【答案】B

【分析】由gO)=A-%)可知gO)圖像與fO)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，由/(尤)的圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)間(x)=/(-%),所以g(x)圖像與f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

由70)解析式，作出『0)的圖像如圖

從而可得g(x)圖像為B選項(xiàng).

9

故選：B.

考點(diǎn)三、由函數(shù)圖象確定解析式

典例引領(lǐng)

1.(2024-內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)函數(shù)/(X)的部分圖象大致如圖所示，則/'(X)的解析式可能為()

【分析】結(jié)合圖象可知f(x)為奇函數(shù)且/(0)=0,在(0,+8)上先增后減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性和f(0)=0,結(jié)

合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖可知，/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù)，

且-0)=0,在(0,+8)上先增后減.

A：券，函數(shù)的定義域?yàn)镽，"一x)=言|=—=0,故A符合題意；

B：/(%)=ex—e~x—sin%,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

/(x)=ex+e-x—cos%,由％>0,得e%>!,—!<cosx<1,

則/'(%)=ex+e-x-cosx>2—1>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故B不符合題意；

C：/(%)=e+e,當(dāng)％=0時(shí)，sinx=0,函數(shù)顯然沒有意義，故C不符合題意；

smx

D：/(x)=ex-e~x+sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

f(%)=QX+Q~X+cosx,由％>0,得e">1,—1<cosx<1,

則/'(%)=ex+e-x+cosx>2—1>0,/(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：A

2.(23?24高三下?天津?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)的部分圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能是()

10

A./(x)=

C.f(x)=D./(%)=——cosx

【答案】A

【分析】利用排除法，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)定義域以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.

【詳解】由題意可知：/(%)的定義域?yàn)閧%|%40},故B錯(cuò)誤；

當(dāng)%>。/(X)先正后負(fù),則有:

對(duì)于C：因?yàn)閑f<1<e"/+2>。，貝^^一^<0,

可知/0)=考3<0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)轫?gt;1,則券>0,但cosx的符號(hào)周期性變化，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?上海奉賢?二模)已知函數(shù)y=/(%),其中y=%2+i,y=g(%),其中g(shù)(%)=4sin%,則圖象如圖

所示的函數(shù)可能是().

2-

-7T\O!

-2

C.y=/(%)+g(x)-1D.y=/(%)-g(x)-1

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和/(%),9(%)的奇偶性判斷.

【詳解】易知/(%)=/+1是偶函數(shù)，g(%)=4sin久是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù),

A.y=h(x)=黑=等，定義域?yàn)镽,

又八(一乂)=鬻詈=一鬻=一八(久)，所以八0)是奇函數(shù)，符合題意，故正確；

B*=%手kn,keZ,不符合圖象，故錯(cuò)誤；

g{x)4sinx

C.y=ft(x)=/(%)+g(x)—1=x2+1+4sinx-1=x2+4sinx,定義域?yàn)镽,

但/i(f)WhQ),故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

D.y=h(x)=/(%)—g(x)—1=%2+1—4sinx—1=x2—4sinx,定義域?yàn)镽,

但%(-%)Hh(x),/i(-x)H—h(x),故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，

故選：A

11

2.（2024?湖南?二模）已知函數(shù)/（久）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/（久）的解析式可能為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.

【詳解】由圖可知，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；

由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；

由圖可知，當(dāng)XT+8時(shí)，yr-8,

而對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)X—+8時(shí)，y->0,故排除D.

故選：A.

3.（2024?廣東江門?二模）若函數(shù)"%）的圖象與圓。爐+丫2=4恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則f（x）的解析式可以為（）

A.f（x）=||x|-2|B./（x）=x2-2|x|

C.f（久）=|2X—2|D./（x）=|Igx21

【答案】D

【分析】利用絕對(duì)值函數(shù)的圖象特征，分別作出選項(xiàng)中的函數(shù)圖象，觀察即可判斷.

【詳解】作出y=|因一2|,y=|2X-2|的圖象，如圖1所示，

作出y=d一2|x|,y=|lg%2|的圖象，如圖2所示，由圖可知，八久）=|lg%2|滿足題意.

故選：D.

考點(diǎn)四、函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)

典例引領(lǐng)

12

1.(22-23高三上?江西鷹潭?階段練習(xí))函數(shù)/(久)=⑶-27)lnQ—1)的零點(diǎn)為()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出函數(shù)零點(diǎn)作答.

【詳解】由/(x)=0,得(3才一27)111(%—1)=0,即3、-27=?；騦n(x-1)=0,解得x=3或x=2,

所以函數(shù)f(x)=(3-27)ln(x-1)的零點(diǎn)為2,3.

故選：A

2.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)為人久)=4。則函數(shù)y=/(%)-2計(jì)1的零點(diǎn)為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.

【詳解】函數(shù)八>)=4，，由〃>)一2計(jì)1=0,即4久一2計(jì)1=0,整理得2%2力-2)=0,解得x=l,

所以函數(shù)y=/(x)-2計(jì)1的零點(diǎn)為1.

故選：C

即時(shí)檢測(cè)

(________L__________

1.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知a=$方程a團(tuán)=|log/|的實(shí)根個(gè)數(shù)為

【答案】2

【分析】分別作出/(X)=。㈤和90)=卜。g,]的圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.

【詳解】由a=g，則(T)11=log”，

則令/'(%)=G)119(x)=logix,

分別作出它們的圖象如下圖所示,

由圖可知，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程排百=|10ga%|的實(shí)根個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)滿足/'(x+,)=/(%-1)?當(dāng)％e[0,3)時(shí)，/(x)=2x3-llx2+14%,

13

則n>)在［-120,120］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】161

【分析】由條件先得出函數(shù)的最小正周期為3,解方程/(x)=2始—11/+14X=0得xe［0,3)上的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)，由周期即可確定在［-120,120］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/O)滿足/(久+|)

所以+3)=/(%),所以/(X)的最小正周期為3,

當(dāng)％G［0,3)時(shí)，令/(%)=2x3—II%2+14%=0=>%(%—2)(2%-7)=0,

解得％=0或%=2,所以當(dāng)％E［0,3)時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以〃龍)在［—120,120］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2x等x2+1=161個(gè).

故答案為：161.

考點(diǎn)五、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)

典例引領(lǐng)

11g(—x)|+1,%V。

Z1V,'C，則函數(shù)丫=尸(久)一3/(久)+2

1匕)+20

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】將函數(shù)y=f2(x)-3/(%)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程f(x)=1和人久)=2根的個(gè)數(shù)，然后再轉(zhuǎn)化為

函數(shù)/(%)與y=1,y=2圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后結(jié)合圖象判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=/2(x)-3/(%)+2=［/(%)-l］［/(x)-2］的零點(diǎn),

*|lg(-x)l+l,x<0

即方程y(x)=i和/(K)=2的根，函數(shù)*式)=］的圖象，如下圖所示：

-+1,%>0

由圖可得方程/(x)=l和f(x)=2的根，共有4個(gè)根，即函數(shù)y=2/2(x)-3/(%)+1有4個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

2_(%+工0則y=/(/(%))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

14

【答案】c

【分析】畫出f(x)的大致圖象，由y=f(/(x))-1=0,逐層進(jìn)行求解，從而求得正確答案.

【詳解】作出函數(shù)/(%)的大致圖象如圖所示，

由e"-3=1解得x=ln4,由2-(%+1)2=1解得x=-2或％=0,/(-I)=2.

令/(f(x))-1=0,得=1，

得/(%)=-2或/(X)=0或/(尤)=ln4,

結(jié)合圖象可知：

當(dāng)/(久)=—2時(shí)，有1個(gè)解；當(dāng)/(無(wú))=0時(shí)有2個(gè)解；

當(dāng)/■(x)=ln4時(shí)，由于l<ln4<2,所以有3個(gè)解，

故y=/(/(x))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：C

即時(shí)性w

1.(23-24高三上?天津,期中)已知函數(shù)/(%)=%24-2%+m,meR,若函數(shù)/(/(%))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則()

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

【答案】C

【分析】由/(%)=0有解得出mW1,同時(shí)否定m=l,THV1時(shí)/(%)=0有兩根一1土"1一一,由大根等

于/(%)的最小值可得血值，然后再判斷各選項(xiàng).

【詳解】顯然/(嗎=0有解，因此A=4—4znN0,m<1,

若m=1,則f(X)=%2+2%+1只有一個(gè)零點(diǎn)％=-1,但此時(shí)/(%)=-1無(wú)實(shí)解，/(/(>))無(wú)零點(diǎn)，

2

所以血<1,/(%)=(x+I)+m-1,/(x)min=m-1,

由/(%)=0得%=-1±Vl-m,由題意—1+Vl-m=m-1,解得m==二(m=三更舍去)，所以m=

昔信時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，它只滿足C,

故選：c.

—%2+2]x0

.,i二n，則函數(shù)y=f[/(X)—1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

{inxj十~~fxu

15

是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

令/(x)—1=3先求出使f(t)=0時(shí)的t的值，然后畫出函數(shù)f(x)和函數(shù)y=t+1,其中te{0,2,5}的圖象,

觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得答案.

【詳解】由已知—1]=0,

令f(x)—1=t,即f(t)=0,

當(dāng)『=°時(shí)，得￡1=0或《2=2,

當(dāng)+：=°時(shí)，明顯函數(shù)g(t)=]n(—t)+二在(―8,0)上單調(diào)遞減，且g(—1)=一1<0,g(—2)=ln2-

1t<0t

g=ln2—In^e>0,g(—l)g(—2)<0,

故存在t：36(—2,—1),使ln(—t)+—=0,

3「3

(—_i_7vx>0

畫出加=ln(f)+=二。的圖象如下,

即函數(shù)y=/[/(x)-1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

故選：D.

3.(23-24高三上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)xMo則函數(shù)g(x)=[/(的產(chǎn)—f[/(%)]的所有

零點(diǎn)之和為()

A.2B.3C.0D.1

【答案】D

【分析】令￡=/(x)，得到g(t)=產(chǎn)一f(t)，令g(t)=o,可得產(chǎn)=y(t),列出方程求得t=±1,得到/(%)=±1,

在結(jié)合函數(shù)的解析式，列出方程，即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)g(x)=[f(x)]2令t=/(x),則g(t)=鏟一y(t),

令g(t)—o,可得儼—f(t),

16

當(dāng)t>0時(shí)，由脛=/?),可得產(chǎn)=?-2)2,即一4t+4=0,解得1=1；

當(dāng)IV0時(shí)，由產(chǎn)=/?),可得產(chǎn)=2七+3,即12—21一3=0,解得力=-1或力=3(舍去)，

所以t=±l,BP/(x)=±1,

當(dāng)%>0時(shí)，令(％-2)2=1或-2/=-1(舍去)，解得％=1或%=3；

當(dāng)％V0時(shí)，令2汽+3=±1,解得％=—1或%=—2,

所以函數(shù)g(%)=[/(X)]2-/[/(%)]的零點(diǎn)之和為1+3—1-2=1.

故選：D.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=j1?,X>1,若函數(shù)g(%)=[/(%)]2-有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A,[-e,0)U[pe)B.[0,2)U{e}

C-{V}u(0,9)U(e,+8)D.{-；}u(0,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先判斷f(x)在(-8,1]和(L+8)上的單調(diào)性和最值，再作出函數(shù)7"(》)的大致圖象，將函

數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，從而數(shù)形結(jié)合得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)%W1時(shí)，/(x)=(x+l)ex,當(dāng)％G(-co,—1)時(shí),/(X)<0,

當(dāng)％e(—1,1]時(shí),/(%)>0,所以/⑺在(一8,—1)上單調(diào)遞減，在(-1,1]上單調(diào)遞增，且f(X)min=A-D=一5

當(dāng)％V0時(shí)，/(x)=xex<0.

當(dāng)%>1時(shí)f'(x)=,當(dāng)％G(1,2)時(shí),/(%)<0,

2

當(dāng)X6(2,+8)時(shí)，/(%)>0,所以/(%)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且f(x)min=/(2)=》

作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，x=0是函數(shù)/'(X)的零點(diǎn)，要使函數(shù)9(久)=[/(X)]2-afO)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程[/(久)]2-

af(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于/(x)=a有1個(gè)非零實(shí)數(shù)根.

由圖可知a=_￡或0<a<亍或a>e,即a€{一3U(。,力U(e,+oo).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此類問題的常用解法是將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法得到結(jié)果，需要

會(huì)熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求最值并作出函數(shù)的大致圖象.

17

考點(diǎn)六、二分法的應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

1.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))用二分法求函數(shù)/(切=111(久+1)+%-1在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)，要求精確度

為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長(zhǎng)度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，那么?jīng)過n(neN*)次操作后,

區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)榫?，若要求精確度為0.01時(shí)則/<0。1,解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).

【詳解】因?yàn)殚_區(qū)間(0,1)的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以經(jīng)過n(JieN*)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤叮?/p>

令焉<0.01,解得幾27,且n€N*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

2.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01,則對(duì)

區(qū)間(1,2)至少二等分()

A.5次B.6次C.7次D.8次

【答案】C

【分析】根據(jù)|a-b|<0.01以及二分法，確定至少需要的二等分的次數(shù).

【詳解】區(qū)間(1,2)的長(zhǎng)度為1,第1次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋海?/p>

第2次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?；?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?；?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?；?

2“2，2’

次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?；?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?>0.01,

2°2°

第7次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?<0.01.

所以要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01,則對(duì)區(qū)間(1,2)至少二等分7次.

故選：C

1.(2023?遼寧大連?一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)f(x)在勺附近

一點(diǎn)的函數(shù)值可用/(久)=f(xo)+f'(久0)(%-利)代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快

速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法，解方程比3-3x+l=0,選取初始值%o=g，在下面四個(gè)選

項(xiàng)中最佳近似解為()

18

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【分析】求出迭代關(guān)系為刈+1=燈-華=簾(々^可)，結(jié)合&=｝逐項(xiàng)計(jì)算可得出結(jié)果.

J@k)5Xk—5L

【詳解】令/(%)=爐_3%+1,則/'(%)=3x2—3,

令fix)=0,即/'(配)+f,(xo)(x-x0)~0,可得生?x0-

迭代關(guān)系為力+1=繪一爆=打一與罟=窖3eN)，

2X-

取&=點(diǎn)則亞=需=12好-125

=五。0.34722,

3x(-31%2=許=3x^-3

故選：D.

2.(2023?廣西?模擬預(yù)測(cè))人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中，

給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用，例如求方

程爐+2/+3久+3=0的近似解，先用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，令fO)=必+2/+3%+3,f(—2)=-3<0,

/(-I)=1>0,得(—2,-1)上存在零點(diǎn)，取出=—1，牛頓用公式/=/-1一手嗯反復(fù)迭代，以Q作為

/(久)=0的近似解，迭代兩次后計(jì)箕得到的近似解為；以(-2,-1)為初始區(qū)間，用二分法計(jì)算兩次

后，以最后一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的近似解，則近似解為.

【答案】"-v

【分析】由牛頓法公式結(jié)合二分法的定義求解即可.

【詳解】已知/(%)=%3+2x2+3%+3,則/'(%)=3%2+4%+3.

迭代1次后，久]=_1_*=_

迭代2次后，x2=-|-^-i=,|_^L=_Z,

用二分法計(jì)算第1次，區(qū)間(一2,-1)的中點(diǎn)為一|,<0,

用二分法計(jì)算第2次，區(qū)間一1)的中點(diǎn)為—:/(-1)=g>0,所以近似解在

(一|,-[)上，取其中點(diǎn)值一日，所求近似解為一半

故答案為：—L一曰.

3.(23-24高三下?北京?階段練習(xí))函數(shù)f(x)=ln(2x)-1的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.

【詳解】因?yàn)?(%)的定義域?yàn)?0,+8),且y=ln(2x),y=-：在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

19

可知n>)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

且/'(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,

所以函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B.

12.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2019高三?全國(guó)?專題練習(xí))以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在定理及二分法分析各選項(xiàng)的函數(shù)圖象，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)/(K)在區(qū)間口可上的圖象連續(xù)不斷，且/(a)?/")<(),即函數(shù)的零點(diǎn)是

變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間(a,6)一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值.

對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

故選：C.

2.(23-24高三下?福建廈門?強(qiáng)基計(jì)劃)/(無(wú))=tan比sin久-sin尤-tan比+1在[0,2同上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】借助因式分解的方法，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.

【詳解】依題意，/(%)=tanxsinx—sinx—tanx+1—(tanx—l)(sinx—1),

而xe[0,2?t],顯然x片彳且％H半，因此sinx^l,

由/'(%)=0，得tanx=1,解得x=*或x=3兀，

所以/(%)在[0,2可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

故選:B

20

3.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(久)=111%+%2—2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2.2)

【答案】C

【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)八%)的定義域?yàn)?0,+8),又/'(x)=1+2久>0,易知函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又f(l)=—1<0/(2)=ln&=gln2>0,所以在(1,夜)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)出,使/(&)=0.

故選：C.

4.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cos%與y=lg|%]的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)y=cos%與y=lg|%|都是偶函數(shù),其中COS2TI=cos4n=1,lg4n>IglO=1>lg2兀，

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)丫=cos%與y=lg|%]的圖象，如下圖，

如

尸1g因尸COSXI

-4兀-2兀2n^3^4nx

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：D

5.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=sin(23x+g)(3>0)在(0,巳)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)和1

個(gè)零點(diǎn)，=0,則3=()

A.-B.-C.-D.-

3366

【答案】A

【分析】由/《)=0求出3的表達(dá)式，再由極值點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出3的范圍即可得解.

【詳解】當(dāng)》E(0,：)時(shí)，23%+gE(g,卷+(),依題意，兀<券+(工半，解得2V34

由/(萬(wàn))=0,得3兀+g=k%kGN*,解得3=k-所以/C=3,3=*

故選：A

6.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=