第頁第06講圓錐曲線中的中點弦問題知識講解橢圓中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b雙曲線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點,則3.拋物線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點,則kAB=py04.中點弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有點差法妙解中點弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為Ax將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

（1）設(shè)點:若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>化簡可得y1+y2【例1】已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【詳解】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.【例2】已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即【變式1】已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】運用點差法，結(jié)合直線斜率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得所以若O為坐標原點，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點共線，即，所以，又過點，即橢圓的焦點，所以解得，所以C的方程為故選：C【變式2】已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點差法可得，再利用重心的性質(zhì)可得點，從而利用可得，即可求離心率.【詳解】設(shè)，的中點為，因為都在橢圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因為，所以，又因為為△BMN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.考點二、雙曲線中的中點弦問題【例1】已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為,則的方程式為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點為F(3,0),∴c=3,c2=9.設(shè)雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.【例2】已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.【答案】（1）

（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,所以于是.試題解析：解：（Ⅰ）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線,,把代入得故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.考點：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計算能力、邏輯推理能力.【變式1】已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是.【答案】【分析】設(shè)雙曲線的標準方程為，利用點差法可求得的值，再結(jié)合焦點的坐標可求得和的值，由此可得出雙曲線的標準方程.【詳解】設(shè)點、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個焦點為，則，，，因此，該雙曲線的標準方程為.故答案為：.【變式2】不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.【答案】【分析】由點差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故，則.故答案為：【變式3】已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，為上兩點，點為弦的中點，且，記雙曲線的離心率為，則．【答案】.【分析】解法一，利用點差法，結(jié)合，以及，變形得到，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，求解；解法二，設(shè)直線，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點坐標，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，求解.【詳解】解法一

由題意知，，則．設(shè)，，則兩式相減，得．因為的中點為，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二

由題意知，，則．設(shè)直線的方程為，即，代入雙曲線方程，得．設(shè)，，結(jié)合為的中點，得．又，所以，整理得，所以，得，得．故答案為：考點三、拋物線中的中點弦問題【例1】已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運算量增大．【變式1】過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若l的傾斜角為，則線段AB的中點到x軸的距離是．【答案】3【分析】由題設(shè)知直線為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達定理可得的中點橫坐標，進而得縱坐標，即得.【詳解】由題意，拋物線為，則，即直線為，∴將直線方程代入拋物線整理得：，設(shè)，，則，故線段的中點的橫坐標為代入直線，得，∴線段的中點到軸的距離是.故答案為：3.【變式2】已知拋物線上兩點A，B關(guān)于點對稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【分析】根據(jù)點差法求得直線AB的斜率，并驗證判別式大于零.【詳解】設(shè)，代入拋物線，得，則①，因為兩點A，B關(guān)于點對稱，則，所以由①得，直線AB的斜率為2.則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.所以直線AB的斜率為2.故答案為：2.【變式3】已知拋物線，過點的直線l交C于M，N兩點．(1)當點A平分線段時，求直線l的方程；(2)已知點，過點的直線交C于P，Q兩點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)利用點差法求出直線的斜率，再由點斜式求直線的方程；(2)利用設(shè)而不求法證明，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)證明.【詳解】（1）設(shè)，則，所以；又因為點是的中點，所以，所以，所以，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立消得，，方程的判別式，即直線與拋物線相交，滿足條件，故直線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，則，所以；方程的判別式，設(shè)，所以，所以所以，所以是的平分線，所以，即．【能力提升】1.已知橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)代入橢圓方程相減，利用，，，得出等量關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．2.已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用中點弦問題求出，再求出橢圓的離心率作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A3.已知m，n，s，t為正數(shù)，，，其中m，n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，點M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．【答案】A【分析】由已知求出取得最小值時滿足的條件，再結(jié)合求出，再用點差法求出直線的斜率，從而得直線方程．【詳解】∵，當且僅當，即取等號，∴，又，又為正數(shù)，∴可解得．設(shè)弦兩端點分別為，則，兩式相減得，∵，∴．∴直線方程為，即．故選：A．4.已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，點在雙曲線C上，橢圓E的焦點與雙曲線C的焦點相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點．若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由離心率和點求出雙曲線的方程，進而求出焦點，設(shè)出橢圓的方程及的坐標，由點差法得到，結(jié)合中點坐標及斜率求得，再利用焦點坐標，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，焦點為；設(shè)橢圓方程為，則橢圓焦點為焦點為，故，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，即，解得，故，橢圓方程為.故選：D.5.已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，則直線l的方程為．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直可得圓的切線方程為，進而在橢圓中，根據(jù)點差法可得，根據(jù)中點弦的斜率即可代入求解.【詳解】取中點，連接,由于,所以,進而,設(shè)，設(shè)直線上任意一點，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點坐標公式可得，設(shè),則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進而故直線l的方程為，即，故答案為：6.已知橢圓方程為，且橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦，則弦所在的直線的方程是.【答案】【分析】由點差法得斜率后求解直線方程，【詳解】設(shè)，由題意得，兩式相減化簡得，而是中點，得，代入得，故直線方程為，即，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，故答案為：7.已知雙曲線的左，右焦點分別為，直線l過且與雙曲線交于A，B兩點，若直線l不與x軸垂直，且，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線，聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可求得的中點的坐標，由向量的數(shù)量積知，即，代入即可求解.【詳解】由已知得到.設(shè)，直線，顯然.聯(lián)立，得.因為l與雙曲線交于兩點，所以，且.由韋達定理知，設(shè)的中點為，根據(jù)，得到，從而得到，故.而，，，所以，解得，故l的斜率為，故選：B.8.已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出，，的坐標，利用點差法，結(jié)合為線段的中點，以及兩點之間的斜率公式，通過恒等變換，得到與的斜率的乘積與的關(guān)系，根據(jù)化簡可得答案.【詳解】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡得，，所以，因為為線段的中點，即所以，即，由，得.故選：B.9.已知雙曲線，直線l交雙曲線兩條漸近線于點A、B，M為線段的中點，設(shè)直線l、的斜率分別為，若，則漸近線方程為．【答案】【分析】設(shè)點，結(jié)合線段AB的中點為，求出，即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，可得，設(shè)分別為雙曲線的漸近線方程分是的點，所以有，從而有，又，，所以，則，所以漸近線方程為.故答案為：.10.如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為.【答案】/【分析】取的中點，連接，先求得直線的斜率，然后利用點差法求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，取的中點，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設(shè)，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：11.已知為拋物線上的兩點，，若，則直線的方程為.【答案】【分析】由于可得為中點，則，根據(jù)點差法即可求得直線的斜率，從而得方程．【詳解】設(shè)又，因為，所以，又，則，得則直線的斜率為，故直線的方程為，化簡為．聯(lián)立，可得，直線與拋物線有兩個交點，成立故答案為：．11.已知拋物線，點在E上.(1)求E的方程；(2)設(shè)動直線l交E于A，B兩點，點P，Q在E上，且，若直線l始終平分弦PQ，求點P的坐標.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知拋物線過點可求得拋物線方程；（2）利用點差法可求得，表示出l的方程，再根據(jù)，以及直線l始終平分弦PQ，可得到關(guān)于P點橫縱坐標的方程組，即可求得點P的坐標.(1)因為在拋物線上，所以，解得，所以E的方程為.(2)設(shè)，，，則，則直線l的方程為，化簡為，又∵∴.①由，得整理得，②由①+②得，，故直線l恒過點，由題意知H為弦PQ的中點，所以點.又因為P?Q在E上，所以解得，，即點P的坐標為.課后鞏固練習(xí)1.（多選）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點．若的中點坐標為，則（

）A．直線的方程為 B．C．橢圓的標準方程為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【分析】根據(jù)直線過點和點可得直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得的中點的橫坐標得到可得橢圓標準方程和離心率，從而達到答案.【詳解】因為直線過點和點，所以直線的方程為，代入橢圓方程，消去，得，所以的中點的橫坐標為，即，又，所以，離心率為，所以圓的方程為．故選：ABD．

∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.2.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.3.過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D4.已知拋物線頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標為2，則線段的長為【答案】6【分析】設(shè)，利用中點公式即得，再根據(jù)焦點弦公式得到線段的長.【詳解】是拋物線的焦點，準線方程，設(shè)，線段的中點橫坐標為2,.，線段的長為6.故答案為：6.5.已知橢圓的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，且，則直線l的斜率為．【答案】【分析】由，且A，B，P，Q四點共線，可得A，B兩點之間的關(guān)系，結(jié)合點差法，可構(gòu)建斜率與離心率之間的關(guān)系，代入離心率可求直線斜率.【詳解】設(shè)因為直線斜率為正，設(shè)為，所以可設(shè)點在第一象限，，且A，B，P，Q四點共線，

，，，又，，，，在橢圓上，，，兩式相減可得，，，又，，，即，，，又直線斜率為正，故答案為：.圓錐曲線中的中點弦問題隨堂檢測1.已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)中點坐標公式、橢圓離心率公式，結(jié)合點差法進行求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則的中點坐標為，由題意可得，，將，的坐標的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因為離心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.2.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．3.已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法即可．【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．4.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.5.已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用點差法可得的關(guān)系，從而可求得，即可的解.【詳解】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：