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能量法及其應用

固體力學中，把與功和能有關的一些定理統(tǒng)稱為能量原理。應用能量原理求解變形固體的位移、變形和內力等的方法，統(tǒng)稱為能量法。能量法是進一步研究變形體力學的重要基礎，如廣泛應用的有限單元法、近似計算法（瑞利-里茲法）等都與能量原理有關。2分析過程簡單，應用范圍廣泛。包括--可以確定結構上任意點、沿任意方向的位移；--可以確定位移函數(shù)；既可以確定位移，又可以確定內力和應力；--既適用于線彈性問題，又適用于非線彈性問題；--可直接用于求解超靜定問題。能量法的優(yōu)點及應用范圍3本章重點本章難點本章重點與難點桿件變形能計算互等定理單位荷載法圖形互乘法能量法求解超靜定問題虛功原理

單位荷載法能量法求解超靜定問題4第11章能量法及其應用

§11.1應變能的計算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法511.1應變能的計算彈性應變能

彈性體由于變形而儲存在彈性體內部的能量，稱之為彈性應變能或彈性變形能。記作Vε。功能原理彈性體在外力作用下發(fā)生變形，荷載在其相應的位移上做功（記為W）。忽略動能等其他能量損耗，外力功在數(shù)值上等于彈性體積蓄的變形能。--功能原理6回顧：線彈性體的應變能準靜態(tài)加載，0緩慢

FP材料線彈性小變形荷載-位移曲線由功能原理應變能單位--J，1J=1NmFP-廣義力；Δ-廣義位移7基本變形形式下桿件的應變能軸向拉壓變形桿件微段的應變能E=const,FN=const等直桿軸向拉壓桿的應變能8扭轉變形桿件微段的應變能G=const,T=const等直桿扭轉桿的應變能基本變形形式下桿件的應變能（續(xù)）9平面彎曲變形梁微段的應變能平面彎曲梁的應變能桿件線彈性應變能的計算（續(xù)）計及剪切應變能k為截面修正系數(shù)-矩形截面k=6/5-圓截面k=10/9-工字截面k=A/A110例11-1圖示圓截面拉桿，彈性模量為E，受力和尺寸如圖，求桿的應變能。解：桿可分為兩段軸力為常數(shù)的等直桿其中：11解：梁的彎矩方程為該平面彎曲梁的應變能為例11-2

如圖所示懸臂梁，自由端作用一集中力FP和一力偶矩Me，EI為常數(shù)，求梁的應變能。12例11-3

如圖所示桁架結構，求A點的豎向位移。各桿件的拉壓剛度均為EA，長度a為已知。計算兩桿中的軸力，如圖b)，由節(jié)點A的平衡：則結構應變能為：外力功為：根據(jù)有：計算得A點的豎向位移為：解：13求結構各桿和梁的內力求結構的應變能和外力功梁：根據(jù)對稱性只考慮半梁，彎矩方程為：桿：根據(jù)節(jié)點B的平衡：外力功：解：例11-4如圖所示結構，求C點的豎向位移。梁的彎曲剛度為EI，兩桿的拉壓剛度均為EA，長度l和a為已知。14求C點的豎向位移例11-4解（續(xù)）：

結構應變能：根據(jù)有：15-線彈性體的應變能等于各廣義力與其相應的廣義位移乘積之半的總和?？死嚷≡砭€彈性變形體準靜態(tài)加載功能原理EmileClapeyron(1799-1864)-應變能與加載次序無關；-相互獨立的力（廣義力）引起的變形能方可相互疊加。16組合變形桿件的應變能細長桿，剪力引起的應變能可忽略不計。內力獨立作用原理-橫截面內力僅在自身產(chǎn)生的變形上做功，其應變能與其他內力引起的變形無關。組合變形桿件，受軸力、彎矩、扭矩、剪力。其微段受力情況如圖，根據(jù)克拉比隆原理，其微段上的應變能：積分得到整個桿件的應變能：17以抗彎為主的桿件，忽略其他內力影響，其應變能應變能或外力功是外力（內力）或位移的二次函數(shù)

同種內力計算應變能不適用疊加原理。同種力引起的應變能不可簡單疊加!內力方程：CD段：AB段：整體應變能：18解：例11-5如圖所示圓截面折桿ABC，已知桿橫截面的極慣性矩Ip對，中性軸的慣性矩IZ，材料彈性模量E和切變模量G。求折桿的應變能。剛架和曲桿在外力作用下通常發(fā)生組合變形：平面剛架和曲桿（圖a、b）內力通常有軸力、剪力、彎矩；空間剛架和曲桿（圖c、d）內力通常有軸力、剪力、彎矩、扭矩。剛架和曲桿應變能的計算常忽略軸力和剪力的影響。平面剛架和曲桿的應變能空間剛架和曲桿的應變能19剛架和曲桿的應變能計算20第11章能量法及其應用

§11.1應變能的計算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法21先加再加則相應的應變能為：功的互等定理下標-前位后力11.2互等定理圖示懸臂梁，分別按2種順序加載先加再加則22應變能與加載順序無關

功的互等定理--對線彈性體，第一組力系各力在由第二組力系引起的相應位移上做功之和，等于第二組力系各力在由第一組力系引起的相應位移上做功之和。23證明：考慮兩種加載方式，先加FPi，再加FQj

，11.2互等定理

功的互等定理--對線彈性體，第一組力系各力在由第二組力系引起的相應位移上做功之和，等于第二組力系各力在由第一組力系引起的相應位移上做功之和。先加FQj，再加FPi，24--功互等定理25FPi

ij=FQj

ji

一對線彈性體，若第一個力與第二個力數(shù)值相等，則第一個力在第二個力作用處引起的位移，數(shù)值上等于第二個力在第一個力作用處引起的位移。位移互等定理根據(jù)功互等定理若-位移互等定理26例11-6

圖示簡支梁，力FP作用在梁中點C時，B截面的轉角，試求B截面作用力偶Me時C點的撓度。解：根據(jù)功互等定理

功互等定理是計算結構位移的有效方法之一。27例11-7

如圖所示懸臂梁，長為l彎曲剛度EI已知。力F作用在梁端部B，試求中點C處的撓度ωC。解：根據(jù)位移互等定理，F(xiàn)作用在B點時引起ωC（圖a）與F作用在C點時引起ωB（圖b）相等。即：28第11章能量法及其應用

§11.1應變能的計算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法2911.3卡氏定理卡氏第二定理--線彈性結構的應變能對其上任一廣義力FPi的偏導數(shù)，等于FPi作用點沿其方向的廣義位移。證明：第1組載荷FP1,FP2,…FPi，第2組載荷δFPi

，先加載荷2，再加載荷1，--卡氏第二定理考慮兩種加載方式，先加載荷1，再加載荷2

，AlbertoCastigliano(1847-1884)30兩種加載路徑的應變能分別為：應變能與加載順序無關，

--卡氏第二定理忽略高階小量31①--整體結構在所有外載作用下的線彈性應變能；②

Fpi的是廣義力（力或力偶），相應的位移

i

為廣義位移（線位移或角位移）；③FPi視為變量，結構的約束力、內力和變形能等都必須表示為FPi

的函數(shù);④

i為FPi作用點的沿FPi方向的位移;⑤

當結構上沒有與

i對應的FPi時，先虛加一沿

i

方向的FPi

，求偏導后，再令其為零。應用卡氏定理的注意事項32桁架——軸力直梁——彎矩常見結構的卡氏第二定理33組合變形—拉（壓）＋彎矩＋扭矩34平面曲桿

--忽略剪力、軸力對變形的影響其中，s—弧坐標。35例11-8如圖所示正方形桿系結構，求A、C兩點的相對位移。已知各桿的拉壓剛度EA相同。解：①求各桿軸力

②計算桿系結構的應變能

③

A、C兩點的相對位移36解：在B處添加一個與所求位移相應的虛設廣義力F。彎矩方程：卡氏第二定理：例11-9如圖所示變截面梁，彎曲剛度分段為常量，試用卡第二氏定理求在荷載FP作用下B截面的撓度ωB。37解：彎矩方程應變能B點垂直位移例11-10如圖所示平面曲桿，EI常量。A端固定，B端自由，作用集中力FP，求B點的豎直位移。38例11-11懸臂梁BC如圖所示，受均布荷載作用，q=12kN/m支承如圖。已知CD桿截面面積A=100mm2，彈性模量E1=70GPa，長度a=7.5mm；BC梁截面慣性矩I=20×106mm4，彈性模量E2=200GPa，梁長l=3mm。求CD所受軸力。解：①一次超靜定問題。解除D點約束，用位未知束力FCD代替，建立基本靜定基如圖b。39②用卡氏第二定理求D處位移CD桿軸力：BC梁彎矩：由卡氏第二定理有：解：③D處的位移協(xié)調條件為ΔD=0，則④代入數(shù)值，解得：40解：41第11章能量法及其應用

§11.1應變能的計算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法4211.4單位荷載法單位荷載法的推導OttoMohr(1835-1918)單位荷載法又稱莫爾積分法，也是計算線彈性結構位移的常用能量方法。如圖所示簡支梁，作用有廣義力

FP1,FP2,…等，現(xiàn)求C點的鉛垂位移??？紤]兩種方法加載：43第一種施加荷載彎矩應變能第一步在C點施加單位力FPC=1第二步將FP1，F(xiàn)P2，…等作用于梁上及C點處單位力做功1×?總應變能44兩種加載方法得到的應變能相等：化簡等式，可以得到：第二種施加荷載彎矩應變能同時作用FP1，F(xiàn)P2，…等和C點單位力FPC=145推廣得到單位荷載法計算組合變形桿件位移的一般表達式

--所求廣義位移（m或rad）；

--所求位移點處作用單位荷載時截面上的軸力、彎矩、扭矩方程（N·m）。--實際所受外載作用下截面上的軸力、彎矩、扭矩方程（N·m）；46使用單位荷載法的注意事項：⑤

結果為正

位移與所設單位荷載同向；為負則相反。②

單位荷載是廣義力，與之相應的位移為廣義位移；③所加的廣義單位荷載必須與所求廣義位移相對應。①

材料處于線彈性范圍，小變形情況；④

外力和單位荷載作用下的內力方程，應采用相同的坐標系和坐標原點，需分段時，每段桿的坐標可自由建立，分段積分再求和。線位移?單位集中力；角位移?單位集中力偶；兩點相對位移?兩點間一對反向單位集中力；47單位荷載法計算變形桿件位移的簡化形式桁架梁與剛架（忽略軸向及剪切變形）組合結構（拉/壓+彎）48例11-12圖中的圓截面折桿ABC。已知橫截面的極慣性矩為Ip，對中性軸的慣性矩為Iz，材料的彈性模量和切變模量分別為E和G。試用單位荷載法求C截面的鉛垂位移。解：在折桿截面C處施加垂直向下單位力FP=149CB段BA段在外力和單位力作用下的內力方程：計算截面C處的鉛垂位移：50例11-13求圖示剛架C點的水平位移和角位移，EI已知。C點水平位移：解：（1）在截面C處施加單位力FPC=1，如圖b在外載和單位力作用下的彎矩方程分別為：BC段：

BA段：

51C點的角位移：（2）在截面C處施加單位力偶矩Me=1，如圖c

在外載和單位力偶矩作用下的彎矩方程分別為：BC段：BA段：52例11-14如圖所示的桁架結構，已知載荷F及尺寸a

，各桿的拉壓剛度為EA，求結點A的豎向位移和水平位移。解：①求外載F作用下桁架各桿的軸力。如圖a所示，各桿的軸力為：②求A點的豎向位移。在原結構的A點作用豎直方向的單位集中力，如圖b所示，則各桿的軸力為：53由單位荷載法，A點的豎向位移為：③求A點的水平位移。在原結構的A點作用水平方向的單位集中力，如圖c所示，則各桿的軸力為：由單位荷載法，A點的水平位移為：54第11章能量法及其應用

§11.1應變能的計算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法5511.5圖形互乘法以彎曲問題為例，對等直梁或剛架結構的單位載荷法又，當內力方程至少有一個為線性函數(shù)時，比如可以通過圖形互乘的方法簡化單位荷載法中的莫爾積分計算。56圖形互乘法的推導--圖乘法公式57應用圖乘法注意事項僅適用直桿或分段直桿結構，各段EI為常數(shù)。圖和圖中，至少有一個是為直線圖形(其中

圖必為直線圖形)。當面積A與縱坐標

在基線同側時，

乘積取正號，反之取負號；當單位荷載引起的

圖的斜率變化時，圖形互乘需分段進行，保證每一段內的斜率必須是相同的，這時變成

式中n——圖的分段數(shù)。特別注意，荷載與單位力作

用下的分段及坐標系必須一致。58當M(x)圖也為直線時，圖乘法為：式中，為單位荷載彎矩圖面積

為圖形心處對應的圖的內力值。結構上任意一點沿某個方向的廣義位移

式中——各段載荷扭矩圖的面積；——載荷扭矩圖的形心所對應的單位載59

在圖形互乘法應用過程中，常見到的內力圖往往是矩形、三角形、拋物線形，或幾