專題05一元二次方程

題趨勢

一元二次方程是中學數(shù)學重要的重點知識，中考中多以選擇題、填空題、簡單的解一元二次方程及其

應用題和滲透在大題中的形式計算問題出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學思想方法.掌

握一元二次方程的概念及其解法，根的判別式，尤其是二次三項式的因式分解，一元二次方程的實際應用

更是中考的熱點，難度系數(shù)中等。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、?■分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想

等。

知識導圖

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

概念一般形式：fla2+ftx+c=0(a*0)

注意a#O的條件

定義1能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

一元二次方程的解

?？妓悸罚簩⒎匠痰慕獯敕匠蹋瑯?gòu)造等量關(guān)系

x2=m(m20)

常見的形式

(ax+w)2=m(a#0>0)

直接開平方法

基本原理平方根的定義

基本思路：利用完全平方公式,轉(zhuǎn)變成直接開平方法的形式

①將方程化為一般形式

②二次項系數(shù)化為1

基本步驟：③把方程中含有未知數(shù)的項移到方程的右邊

配方法④把方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方

⑤變成直接開平方法的形式，采用直接開平方法

本方法一定要常握，除非特別要求，一般不推薦使用

配方的思想：經(jīng)常在求最值有關(guān)的問JS時，會涉及

—b±&2-4ac

x=-------------------

求根公式2a

①將方程化為一元二次方程一般形式

公式法

②確定a,b.c的值

基本步驟

⑧確定方程是否有實數(shù)根，驗證b2-4ac

一元二次方程

④代入求根公式

理論依據(jù)：若X-8=O,那么>1=?；虼??；?/p>

思想(化歸)：將高次方程將次，轉(zhuǎn)化為低次方程

提取公因式法

因式分解法(降次法》常見方法：公式法

十字相乘法

因式分解法是解高次方程常用的方法,推薦使用

實際問題一數(shù)學模型一設(shè)未知數(shù)一列方程一解方程一檢蛉一應用題的解

常見題型：①商品利潤；②幾何面積問題；③增長率問U

若△>(),則方程有兩個不相等的實數(shù)根

若△=(),則方程有兩個相等的實數(shù)根

A=b2-4ac若△<(),則方程無實數(shù)根

若△N0,剜方程有兩個實數(shù)根

①不解方程確定方程根的情況

②根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍

根的判別式的應用③解決拋物線與一次函數(shù)的圖象相切的問題

④整數(shù)根間Bi時，△是完全平方式

本部分內(nèi)容雖然不在中考大綱要求內(nèi).有精力的同學可重點掌握

_be

若方程ox、+bx+c=.，那么冬+吃=----.X,x2=—

★根與系數(shù)關(guān)系aa

I?含條件：a#0.

?？碱}型：整體代入.求代數(shù)式的值

一、一元二次方程定義及一般形式

概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做

一元二次方程。

一般形式：ax2+Z?x+c=0（a^0）o其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項八

【注意】

1）只含有一個未知數(shù)；

2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3）整式方程。

一、單選題

1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A.x2-1=0B.x2+—+3=0C.x2+2x+1=0D.3x?+亞x+l=0

X

2.一元二次方程2/一7=3歹的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）

A.2,-3,-7B.2,-7,-3C.2,-7,3D.-2,-3,7

3.關(guān)于x的一元二次方程a/-5辦+4=0,有一個根為1.則。的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.不能確定

4.若是關(guān)于x的一元二次方程/-工-1=0的根，貝!）3-2加2+2加的值是（）

A.2B.1C.4D.5

5.小剛在解關(guān)于x的方程辦2+法+。=0（4/0）時，只抄對了a=l,8=4,解出其中一個根是x=-1.他

核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的。值小2.則原方程的根的情況是（）

A.不存在實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有一個根是x=-lD.有兩個相等

的實數(shù)根

6.已知實數(shù)公現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人對關(guān)于X的方程h2_（左+2）x+^QO進行了討論:

甲說：這一定是關(guān)于X的一元二次方程；

乙說：這有可能是關(guān)于X的一元一次方程；

丙說：當任-1時，該方程有實數(shù)根；

丁說：只有當行-1且好0時，該方程有實數(shù)根.

A.甲和丙說的對B.甲和丁說的對C.乙和丙說的對D.乙和丁說的對

二、填空題

7.若關(guān)于x的方程/一左=。有兩個不相等的實數(shù)根，則左的值可以是.（寫一個即可）

8.若等腰三角形的一邊長為6,另兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程—一版+機=0的兩個根，則加的值為

9.己知加、〃是方程N+2019x-2=0的兩個根,則("+2018%-3)ln2+2020n-1)=

二、一元二次方程的解法

(1)直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如

(x+a)2=6的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當620時，x+a=+4b,

x=-a+4b,當b<0時，方程沒有實數(shù)根.

(2)配方法

配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數(shù)學的其他領(lǐng)域也有著廣泛

的應用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式/±246+^2=伍±5)2,把公式中的a看做未知數(shù)X,并用X代

替，則有/±26x+〃=(X±6)2.

(3)公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

_A+J人2_

=

一元二次方程ax?+bx+c=0(aw0)的求根公式：2=——---------(b~-4ac>0)

「la

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常

用的方法.

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根

的判別式，通常用“A”來表示，即A=〃—4ac

(1)當△>()時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；

(2)當△=(3時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；

(3)當△<)時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

要點：

利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定

的值；③計算4ac的值；④根據(jù)從-4ac的符號判定方程根的情況.

5.一元二次方程根的判別式的逆用

在方程ax2+bx+c=0(aw0)中，

（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根-4ac>0；

（2）方程有兩個相等的實數(shù)根—4ac=0；

（3）方程沒有實數(shù)根二〃-4ac<0.

要點：

（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件;

（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則b--4ac>0.

1.若關(guān)于x的方程（心-1尸4+》-3=0是一元二次方程，則小的值（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

2.用直接開平方的方法解方程（3x+1>=（2x-5）2,做法正確的是（）

A.3x+l=2x-5B.3x+1=—(2x—5)

C.3x+l=±(2x-5)D.3x+l=±2x-5

3.如果關(guān)于x的方程（x-4『=加-1可以用直接開平方法求解，那么小的取值范圍是（）

A.m>lB.m>1C.m>-\D.m>-\

4.用配方法解方程3Y_6X+1=0,則方程可變形為（）

112

A.（x—3）2=—B.3（x—I）2=—C.（3x-1）2=1D.（x—I）2=—

5.三角形兩邊長分別為2和3,第三邊的長是方程2--13x+15=0的根，則該三角形的周長為（）

A.—13B.10C.2—5D.廿13或10

222

6.在公式法解方程行一+4百%=2后時，/一八。的值是（）

A.16B.4C.32D.64

7.若方程（冽-2）--2x+l=0是一元二次方程，則方程的根是（）

A—1+-x/s—1--\/~5DV5—1—y/~5—1

■A.（JC，=,XQ-HM.x,—

12221424

C.玉=號±%=上手D.以上答案都不對

8.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程f一7x+12=0的兩個實數(shù)根，則該直角三角形斜邊

上的高為（）

A.3B.4C.2.5D.2.4

9.若實數(shù)x滿足方程口2+2%）（—+2尤-2）-15=0,那么的值為（）

A.-3或5B.5C.-3D.3或-5

10.對于一元二次方程辦2+反+。=0（.彳0）,下列說法：

①若a-b+c=0,則/TacNO；

②若方程ax?+c=0有兩個不相等的實根，則方程ax?+6x+c=0必有兩個不相等的實根；

③若c是方程辦2+6x+c=0的一個根，則一定有ac+6+l=0成立；

22

④若飛是一元二次方程ax+bx+c=Q的根，貝lj/-4ac=（2ax0+Z>）

其中正確的：（）

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①②④

二、填空題

11.若關(guān)于x的一元二次方程Y+6X+C=0配方后得到方程（X+3）2=2C,則c的值為.

12.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2X2-4X-3.

13.關(guān)于x的一元二次方程加三+（2機_l）x-2=0的根的判別式的值等于4,貝1］加=.

14.已知整數(shù)加滿足0<加<13,如果關(guān)于x的一元二次方程無2-（2〃?_1丈+加2-2心=0的根為有理數(shù)，則加

的值為.

15.將關(guān)于x的一元二次方程x2-px+q=0變形為x2=px-q,就可以將V表示為關(guān)于x的一次多項式，

從而達到“降次”的目的，又如丁=》./=苫（8—4）=…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以

化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：x2+x-l=0,且x>0.則/_2/+3》的值為.

16.有下列3個命題：

①方程V-（后+百卜+&=0的根是e'和*.

9

②在“3C中，ZACB=90°,CD_L/B于。.若2。=4,BD=「則CD=3.

③點尸（X/）的坐標X，y滿足丁+「+2苫-2>+2=0,若點P也在y=?的圖象上，貝北=-1.

X

上述3個命題中，真命題的序號是.

三、解答題

17.解方程：4X2-2>/3X-1=0

18.解下列一元二次方程：

（1）X2-8X-9=O

(2)3X2-6X+1=0

19.解下列方程：

(1)2X2+4X+1=0(配方法)；

(2)2/+6無+3=0(公式法)；

(3)X2-2X=8(適當?shù)姆椒?；

(4)(x-6『=2(6-x)(適當?shù)姆椒?；

20.已知關(guān)于x的一元二次方程/-(左+4h+3+左=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若此方程恰有一個根小于0,求人的取值范圍.

21.已知dBC的兩邊48、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程尤2-2(〃-l)x+〃2-2n=0的兩個根,第三邊2c

的長是10.

(1)求證：無論〃取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)當"為何值時，O8C為等腰三角形？

三、一元二次方程的應用

列一元二次方程解應用題，其步驟和二元一次方程組解應用題類似：

>“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；

>“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；

>“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。

>“解”就是求出說列方程的解；

>“答”就是書寫答案，檢驗得出的方程解，舍去不符合實際意義的方程。

注意：一元二次方程考點：定義的考察；解方程及一元二次方程的應用。

四、二次三項式辦?+反+。的因式分解

方法探究：如果方程aX'+bx+C=°僅主°)有兩個實數(shù)根:

+竺、X2=i7"4aj那么寫出代數(shù)式4(》_再)(%一馬)得

2a2a

tz(x-x1)(x-x2)=〃［工？+X2)X-^-

因為匹+￡=-=+"2-4陽+-6一“2-4這=—2

2a2aCl

=ax2+Z?x+c

上面等式，從右到左就是把ax2+bx+c分解因式.把二次三項式ax2+bx+c(a/))分解因式時,

①如果b2-4acK),那么先用公式法求出方程ax2+bx+c=0(aM)的兩個實數(shù)根匹、x2,

再寫出分解式ax?+bx+c=a（x-x^x-x2）

②如果b2-4ac〈0,那么方程ax2+bx+c=0（aW0）沒有實數(shù)根，ax?+bx+c在實數(shù)范圍內(nèi)不能分

解因式.

典例引頌

_________?________L*

一、單選題

1.某區(qū)今年7月份工業(yè)生產(chǎn)值達120億元，7月、8月、9月三個月總產(chǎn)值為450億元，求8月、9月平均

每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x,根據(jù)題意得方程為（）

A.120（l+x）*234=450B.120+120（l+x）2=450

C.120（1+X）+120（1+X）2=450D.120+120（l+x）+120（l+x）2=450

2.如圖，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為375平方米的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻,

另三邊用總長為55米的柵欄圍成，若設(shè)柵欄的長為x米，則下列各方程中，符合題意的是（）

墻

DC

AB

A.x（55-2x）=375B.；x（55-2x）=375C.1x（55-x）=375D.x（55-x）=375

3.如圖，矩形相框長為8cm寬為4cm,四周的邊框?qū)捪嗟龋艺掌拿娣e占總面積的3;，設(shè)四周邊框的寬,

4

是xcm,根據(jù)題意可列方程為（）

13

A.（8x+4x）x2=—x8x4B.（8-2x）（4-2x）=—x8x4

i3

C.（8-2x）（4-2x）=—x8x4D.8x4-8x-4x-4x2=—x8x4

4.參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，參加聚會的人數(shù)為是（）

A.4AB.5人C.6人D.7人

5.有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳

染中平均一個人傳染x個人，可列方程為（）

A.l+2x=8B.1+x+x(l+x)=81C.1+x+x2=81D.1+x2=8

6.一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3,則這個兩位數(shù)是（）

A.25B.36C.25或36D.64

7.如果關(guān)于x的二次三項式"2+3%+4在實數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，那么。的取值范圍是（）

9999

A.0<6?<—B.—C.aN—D.a4—且

16161616

8.如圖是某公園在一長35加，寬23加的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖

面面積的g,求人行觀景曲橋的寬.若設(shè)人行觀景曲橋的寬為工加，則X滿足的方程為（）

A.（35-x）（23-x）=jx23x35B.（35一x）（23—x）+2/=23x35

C.（35-x）（23-x）=1x23x35D.（35-x）（23-x）=23x35

9.某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進貨單價為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒.現(xiàn)

準備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價1元，每周銷量就會減少2盒，為保護消費者利益，物價部

門規(guī)定，銷售時利潤率不能超過50%,設(shè)該口罩售價為每盒x（x>60）元，現(xiàn)在預算銷售這種口罩每周要獲

得1200元利潤，則每盒口罩的售價應定為（）

A.70元B.80元C.70元或80元D.75元

二、填空題

10.若把一個正方形的一邊增加2cm,另一邊增加1cm,所得的長方形比原正方形面積多14cm,,設(shè)原正方

形的邊長為x,則可列方程為.

11.要為一幅長29cm,寬22cm的照片配一個鏡框，要求鏡框的四邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面

積的四分之一，鏡框邊的寬度應是多少厘米？設(shè)鏡框邊的寬度為x厘米，列方程并化為一般形式為：

12.關(guān)于x的方程/-px-q=0的根的判別式是.

1Q

13.已知方程（x+a）（x-4）=0和方程//-］》-2=0的解完全相同，貝1］。=.

14.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2/-3xy-l=

15.有一個人利用手機發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過兩輪信息的發(fā)送，共

有90人手機上獲得同一條信息，則每輪發(fā)送短信過程中平均一個人向人發(fā)送短信.

三、解答題

16.一種筆記本電腦，原來的售價是15000元，經(jīng)過連續(xù)兩年的降價，今年每臺售價為12150元，每年降價

的百分率相同.

（1）年降價的百分率是多少？

（2）小明是去年購買這種筆記本的，那么與今年的售價相比，他多付了多少元？

17.2022年卡塔爾世界杯即將在本月開幕，共有若干支球隊參賽.第一階段為小組賽，第二階段為淘汰

賽.在小組賽階段，所有參賽球隊將被分成8個小組（每組參賽球隊數(shù)量相同），分別進行單循環(huán)賽（兩支

球隊之間只踢一場），根據(jù)規(guī)則，小組前2名的球隊順利出線，進入淘汰賽.已知本屆世界杯小組賽階段共

有48場比賽，請問：共有多少支隊伍參加比賽？

18.如圖所示，己知墻的長度是20米，利用墻的一邊，用籬色圍成一個面積為96平方米的長方形/BCD,

中間用籬笆分隔出兩個小長方形，每個長方形隔出一個1米長的門，總共用去34米長的籬笆，求23的長

度？

A]Fl'D~

Bp——C

19.全球疫情爆發(fā)時，醫(yī)療物資極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應對疫情，某工廠

及時引進了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是1500萬個/天，若每增加1條生

產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少50萬個/天.現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬個，在增加產(chǎn)能同時

又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應該增加幾條生產(chǎn)線？

DkYIry-I-1

20.關(guān)于x的方程V-二匚="■只有一個實數(shù)根，求：后的值.

x-1X-xX

21.有一塊長為。米，寬為b米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為2米的縱橫小路（陰影

部分），余下的場地建成草坪.

口

|_|」

口

口

匚

口

口

匚

口

口