6.2.4組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m()個(gè)元素，，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.1.組合的定義：復(fù)習(xí)引入2.判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題的方法：排列問(wèn)題組合問(wèn)題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問(wèn)題，即排列問(wèn)題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取的順序無(wú)關(guān).我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)

表示.3.排列數(shù)的定義：類(lèi)比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念：組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.組合的第一個(gè)字母元素總數(shù)取出元素個(gè)數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.例如，從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)為從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)為探究：組合數(shù)及其公式

“一個(gè)組合”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組”，它不是一個(gè)數(shù)；“組合數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)非零自然數(shù).組合與組合數(shù)的區(qū)別：探究：前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)

來(lái)求組合數(shù)

呢?從3個(gè)不同元素a,b,c中取出2個(gè)元素組合ab排列acbcabbaaccabccb觀察上圖，求“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：第1步，從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的2個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)將排列分組.從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb觀察上圖，求“從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：第1步，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的3個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)將排列分組.同樣地，求“從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：第1步，從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的m個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有這里的n,m∈N*，并且m≤n，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.組合數(shù)公式：另外，我們規(guī)定所以上面的公式還可以寫(xiě)成歸納總結(jié)解：例1：計(jì)算：例題思考：觀察（1）和（2），（3）和（4）的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）和（2）分別用了不同組合數(shù)公式，你對(duì)公式的選擇有什么想法？課本P24對(duì)于組合數(shù)公式（1）（2）性質(zhì)1：組合數(shù)的性質(zhì)：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下n－m個(gè)元素．因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下n－m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)

，等于從這n個(gè)元素中取出n－m個(gè)元素的組合數(shù)

，即(一種取法對(duì)應(yīng)一種剩法)性質(zhì)2：組合數(shù)的性質(zhì)：在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出(m-1)個(gè)元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出m個(gè)元素，所以共有種取法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得.解：1.計(jì)算：課本P25練習(xí)證明：2.求證：課本P25例2：一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽.按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問(wèn)：（1）這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？分析：根據(jù)題意，17名學(xué)員沒(méi)有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從17個(gè)不同元素中取出11個(gè)元素的組合問(wèn)題.解：（1）由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案種數(shù)為例題例2：一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽.按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問(wèn)：（2）如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門(mén)員，那么教練員有多秒種方式做這件事情？分析：守門(mén)員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒(méi)有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問(wèn)題.解：教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場(chǎng)小組，共有種選法.第2步，從選出的11人中選出1名守門(mén)員，共有種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，教練員做這件事情的方法種數(shù)為解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出的元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān).其次要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類(lèi)與分步的靈活運(yùn)用，在分類(lèi)與分步時(shí)，一定要注意有無(wú)重復(fù)和遺漏.反思?xì)w納練習(xí)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？解：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多