東升學(xué)校2021－2022學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.方程x2＝3x的解是（）A.x＝﹣3 B.x＝3 C.x1＝0，x2＝3 D.x1＝0，x2＝﹣3【答案】C【解析】【分析】先移項(xiàng)得到x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．【詳解】x2﹣3x＝0，x(x﹣3)＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想)．2.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠0且，從而求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：a≠0且，即，解得：且，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．3.下列說法正確的是（）A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B.四邊相等的四邊形是菱形C.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是正方形 D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定定理，即可判斷．【詳解】解：A、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、四邊相等的四邊形是菱形，正確，故本選項(xiàng)符合題意；C、對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形、矩形、正方形的判定，熟練掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4.順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到四邊形，它的形狀是（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】四邊形是菱形；根據(jù)矩形中，分別是的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形即可判定．【詳解】解：四邊形是菱形；理由如下：連接，∵矩形中，分別是的中點(diǎn)，∴，∴，，，，同理，∴，∴四邊形是菱形．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)菱形的判定、三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是正確利用三角形中位線定理進(jìn)行證明．5.如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】首先由正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，即可求得其邊長(zhǎng)為2，然后由折疊的性質(zhì)，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，則可得圖中陰影部分的周長(zhǎng)為：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，繼而求得答案．【詳解】解：∵正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD?cos∠ABD=BD?cos45°=2×=2，∴AB=BC=CD=AD=2，由折疊的性質(zhì)：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．6.2017﹣2018賽季中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽，采用雙循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），比賽總場(chǎng)數(shù)為380場(chǎng)，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，根據(jù)參加籃球職業(yè)聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)場(chǎng)比賽，共要比賽380場(chǎng)，可列出方程．【詳解】設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，根據(jù)題意得：x（x﹣1）=380．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解．7.如圖，矩形對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性質(zhì)得出AO=5，證明得到OE的長(zhǎng)，再證明可得到EF的長(zhǎng)，從而可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可證，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，，上，且，．下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A.四邊形是平行四邊形B.如果，那么四邊形是矩形C.如果平分平分∠BAC，那么四邊形AEDF菱形D.如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形【答案】D【解析】【詳解】由DE∥CA,DF∥BA，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形；又有∠BAC=90°，根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形故A.

B正確；如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形故C正確；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四邊形AEDF是菱形，故D錯(cuò)誤.故選D9.如圖①，在菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y．把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的b等于（）A.8 B.3 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】連接AC交BD于O，根據(jù)圖②求出菱形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線BD為6，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求出菱形的面積，b為點(diǎn)P在CD上時(shí)△ABP的面積，等于菱形的面積的一半，從而得解．【詳解】解：如圖，連接AC交BD于O，由圖②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面積＝AC?BD＝×2×6＝6，當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積不變，為b，所以，b＝×6＝3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，根據(jù)圖形得到菱形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線BD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E．DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC－CF＝2HE，其中正確的有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AB，從而得到AE=AD即可判斷①；由AE=AD得到∠AED=∠ADE，再由AD∥BC，即可得到∠ADE=∠CED，即可判斷②；證明ABE≌△AHD即可推出AB＝BE＝AH＝HD，由三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°，∠CED＝∠AED＝67.5°，∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，從而推出∠OHE＝67.5°＝∠AED，得到OE＝OH，再由∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，推出OH＝OD，即可判斷③；再證明△BEH≌△HDF得到BH＝HF，HE＝DF即可判斷④；再由HE＝AE－AH＝BC－CD，得到BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE即可判斷⑤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABE=90°，AD∥BC∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴，∵∴AD＝AE，故①正確；∴∠AED=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠AED=∠CED，故②正確；∵DH⊥AE，∴∠AHD=∠ABE=90°在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°∴∠CED＝∠AED＝67.5°，∵AB＝AH，∵∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（對(duì)頂角相等），∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故③正確；∵∠EBH＝∠ABE-∠ABH＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故④正確；∵HE＝AE－AH＝BC－CD，∴BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE．故⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．二．填空題（每題3分，共15分）11.若m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為___________．【答案】3【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m-1=0，則3m-1=-m2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=-3，再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)根，∴m+n=-3，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程()的兩根時(shí)，，．也考查了一元二次方程的解．12.菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，其邊長(zhǎng)是方程的一個(gè)根，則該菱形的周長(zhǎng)為________．【答案】20【解析】【分析】解方程得出x=4，或x=5，分兩種情況：①當(dāng)AB=AD=4時(shí)，4+4=8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB=AD=5時(shí)，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵因式分解得：（x-4）（x-5）=0，解得：x=4，或x=5，分兩種情況：當(dāng)AB=AD=4時(shí)，4+4=8，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)AB=AD=5時(shí)，5+5＞8，可構(gòu)成三角形；∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=20．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三角形的三邊關(guān)系得出AB是解決問題的關(guān)鍵．13.如圖，在ABCD中，尺規(guī)作圖：以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，以大于BF的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC與點(diǎn)E，若BF=12，AB=10，則AE的長(zhǎng)為_____．【答案】16【解析】【分析】證明四邊形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解決問題．【詳解】解：由題意可知：AB=AF，AE⊥BF，∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=AF，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴OA=OE，OB=OF=BF=6，在Rt△AOB中，OA==8，∴AE=2OA=16．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判定四邊形ABEF是菱形．14.一個(gè)不透明的口袋中，裝有黑球5個(gè)，紅球6個(gè)，白球7個(gè)，這些球除顏色不同外，沒有任何區(qū)別，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率為________．【答案】【解析】【分析】直接利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】共有球個(gè)，其中紅球有6個(gè)，∴從中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的概率計(jì)算．掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為則正方形ABCD的面積為________【答案】【解析】【分析】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H．首先證明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共線，利用勾股定理求出AB2即可．【詳解】解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過點(diǎn)B作BH⊥PM于H．

∵BP=BM=，∠PBM=90°，

∴PM=PB=2，

∵PC=4，PA=CM=2，

∴PC2=CM2+PM2，

∴∠PMC=90°，

∵∠BPM=∠BMP=45°，

∴∠CMB=∠APB=135°，

∴∠APB+∠BPM=180°，

∴A，P，M共線，

∵BH⊥PM，

∴PH=HM，

∴BH=PH=HM=1，

∴AH=2+1，

∴AB2=AH2+BH2=（2+1）2+12=14+4，

∴正方形ABCD的面積為14+4．故答案為14+4．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．三．解答題（共55分）16.解方程：（1）2x2－4x－5＝0；（2）（3x－2）2＝6－9x．【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝，x2＝－．【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法即可求出答案；（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．【詳解】解：（1），，，，，，∴x1＝，x2＝；（2）（3x－2）2＝6－9x，（3x－2）2＋（9x－6）＝0，（3x－2）2＋3（3x－2）＝0，（3x－2）（3x－2＋3）＝0，∴3x－2＝0或3x＋1＝0，解得：x1＝，x2＝－．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接開平方法．17.深圳中學(xué)對(duì)九年級(jí)學(xué)生開展了“我喜歡的景區(qū)”的抽樣調(diào)查（每人只能選一項(xiàng)）：A—?dú)g樂谷；B—世界之窗；C—?jiǎng)游飯@；D—梧桐山；E—民族文化村．九年級(jí)準(zhǔn)備在最喜歡A景區(qū)的5名學(xué)生中隨機(jī)選擇2名進(jìn)行實(shí)地考察，這5名學(xué)生中，有2名男生和3名女生．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學(xué)生都是女生的概率．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意，畫出樹狀圖，可得共有20中等可能的結(jié)果數(shù)，其中選出2名學(xué)生都是女生的結(jié)果數(shù)為6，然后利用概率公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖為：共有20中等可能結(jié)果數(shù)，其中選出2名學(xué)生都是女生的結(jié)果數(shù)為6，∴選出的2名學(xué)生都是女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求概率，熟練掌握用樹狀圖法得到所有等可能結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件的結(jié)果數(shù)目是解題關(guān)鍵．18.如圖，已知E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△FCE．（2）連接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DC．

∴∠ABE=∠ECF．又∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE．在△ABE和△FCE中，∵∠ABE=∠FCE，BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE（ASA）．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF．又AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形．∴BE=EC，AE=EF．又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB．∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE．∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC．∴四邊形ABFC矩形．19.閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：【答案】，．【解析】【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．【詳解】續(xù)解：，，解得，（不合題意，舍去），，，，，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價(jià)是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價(jià)調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場(chǎng)從該服裝廠以出廠價(jià)購(gòu)進(jìn)若干件此類服裝，以200元/件銷售時(shí)，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場(chǎng)決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價(jià)應(yīng)降低多少元?【答案】（1）平均下降率為10%；（2）單價(jià)應(yīng)降低15元．【解析】【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，然后根據(jù)題意可直接列方程求解；（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件，然后根據(jù)題意可列方程求解．【詳解】解：（1）設(shè)平均下降率為x，由題意可得：200(1?x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合題意，舍去），∴x=0.1=10%，答：平均下降率為10%．（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得：(200?162?y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，

根據(jù)題意，為了減少庫存，所以應(yīng)該降低15元，答：?jiǎn)蝺r(jià)應(yīng)降低15元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．21.如圖，把△EFP按圖所示的方式放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上.已知EP=FP=，EF=，∠BAD=60°，且AB.（1）求∠EPF的大??；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出AP長(zhǎng)的最大值和最小值.【答案】（1）∠EPF=120°；（2）AE+AF=；（3）AP的最大值為8，AP的最小值為4.【解析】【分析】【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PG⊥EF,垂足為G,∵PE=PF,PG⊥EF,∴FG=EG=,∠FPG=∠EPG=∠EPF.在RtFPG中，,∴∠FPG=60°∴∠EPF=2∠FPG=120°.（2）作PM⊥AB,PN⊥AD,垂足分別為M、N，在菱形ABCD中，∵AD=AB,,DC=BC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴∠DAC=∠BAC∴點(diǎn)P到AB、CD兩邊的距離相等，即PM=PN.在RtPME和RtPNF中,∵PM=PN,PE=PF,∴RtPME≌RtPNF∴FN=EM在RtPMA中,∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=同理，AN=∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN=.（3）如圖3，當(dāng)EF⊥AC，點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，AP有最大值，當(dāng)EF⊥AC，點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，AP有最小值，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O，∵PE＝PF，∴OF＝EF＝2，∵∠FPA＝60°，∴OP＝2，∵∠BAD＝60°，∴∠FAO＝30°，∴AO＝6，∴AP＝AO＋PO＝8，同理AP’＝AO?OP＝4，∴AP的最大值是8，最小值是4．22.在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，連接BD．點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥BD交直線BE于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BE＝PD＋PQ；（2）若BC＝6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過點(diǎn)P作PF⊥QC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段PF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解