定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種簡便方法--微元法(元素法)下面介紹它在幾何,物理和經(jīng)濟等問題上的簡單應用.什么量可以用定積分表示出來?

定積分在幾何上的應用(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關的量;則可以考慮用定積分來表達這個量U.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當所求量U符合下列條件：則U相應地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：(1)根據(jù)問題的實際意義,確定恰當?shù)淖鴺讼?要部分,(4)求和取極限,得到并畫出草圖以幫助分析;(2)

確定所求總體量的非均勻分布函數(shù)及的變化區(qū)間(如);(3)在微小局部

上取得的線性主稱為量的微元.

求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.它對應的面積元素dA為即1.直角坐標系下平面圖形的面積6.5.1平面圖形的面積和平面曲線的弧長

在[a,b]上任取一區(qū)間求由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應小區(qū)間解兩曲線的交點選

x為積分變量例6.38

計算由兩條拋物線

和所圍成的圖形的面積.面積元素解兩曲線的交點選

y為積分變量例6.39計算由曲線

和直線所圍成的圖形的面積.所求面積面積元素曲邊扇形的面積由極坐標方程給出的平面曲線和射線所圍成的面積A.曲邊扇形2.極坐標系下求平面圖形的面積解該圖形關于x軸對稱性,所圍成的圖形的公共部分面積.例6.40

求心形線與圓

兩曲線在x軸上方的交點為解利用對稱性知練習求心形線圖形的面積.所圍平面設曲線弧L的參數(shù)方程為弧長為其中

在上具有連續(xù)導數(shù),3.平面曲線的弧長且則稱L為光滑曲線.

弧微分設曲線弧的極坐標方程為弧長為其中

在

上具有連續(xù)導數(shù).由直角坐標與極坐標的關系可化成參數(shù)方程弧微分弧長為曲線的直角坐標方程

也可以看作參數(shù)方程

其中在[a,b]上有一階連續(xù)導數(shù).

弧微分解由對稱性,星形線的全長是第一象限部分的4倍例6.41求星形線

的全長.1.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個立體介于過而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素6.5.2體積問題解取坐標系如圖,底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為直角三角形.例6.42

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角

計算這平面截圓柱體所得立體的體積.底高旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條圓柱圓錐圓臺2.旋轉體的體積和側面積直線旋轉一周而成的立體.這直線稱為旋轉軸．旋轉體的體積為如果旋轉體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞

x軸旋轉而成的薄片的體積元素旋轉體的體積為思考:

由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體,求其體積.取積分變量為x,小曲邊梯形繞

y軸旋轉而成的體積元素解例6.43求由橢圓圍成的圖形繞

x軸旋這個旋轉橢球體可以看成是由上半橢圓轉一周所得旋轉體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉而成.所求體積為如果旋轉體是由連續(xù)曲線及

y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體,求體積.