專題突破練24圓錐曲線中的定點、定值問題1234主干知識達標練1.(17分)(2024山東聊城一模)已知拋物線C關(guān)于y軸對稱,頂點在原點,且經(jīng)過點P(2,2),動直線l:y=kx+b不經(jīng)過點P,與C相交于A,B兩點,且直線PA和PB的斜率之積等于3.(1)求C的標準方程;(2)證明:直線l過定點,并求出定點坐標.1234(1)解

由拋物線C關(guān)于y軸對稱,故可設(shè)C:x2=2py(p>0),由P(2,2)在拋物線C上,故4=2p×2,解得p=1,故C:x2=2y.即x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,代入(*)式,即有-2b+2×2k=8,化簡得b=2k-4,此時Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,則Δ>0有解,則l:y=k(x+2)-4,即直線l過定點(-2,-4).12341234123412341234關(guān)鍵能力提升練(1)求C的方程;(2)若過C的上焦點F的直線與C交于A,B兩點,求證:以AB為直徑的圓過定點,并求該定點.12341234以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,由對稱性知以AB為直徑的圓必過y軸上的定點,令x=0,得y2-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,∴[(3-m2)y+5m2-3](y+1)=0對?m∈R恒成立,y=-1,∴以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(0,-1).當y=2時,A(-3,2),B(3,2),此時圓的方程為x2+(y-2)2=9,也經(jīng)過點(0,-1),經(jīng)驗證,以AB為直徑的圓過定點(0,-1).1234核心素養(yǎng)創(chuàng)新練4.(17分)(2024新疆烏魯木齊二模)在平面直角坐標系xOy中,重新定義兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我們把到兩定點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程;(2)根據(jù)“橢圓”的方程,研究“橢圓”的范圍、對稱性,并說明理由;(3)設(shè)c=1,a=2,作出“橢圓”的圖形,設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過點F2作直線交C于M,N兩點,△AMN的外心為Q,求證:直線OQ與MN的斜率之積為定值.1234(1)解

設(shè)“橢圓”上任意一點為P(x,y),則|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“橢圓”的方程為|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).1234所以2a-2|y|≥2c,所以c-a≤y≤a-c,所以“橢圓”的范圍為x∈[-a,a],y∈[c-a,a-c].在