…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高二數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷478考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、【題文】的值是()A.B.C.D.2、【題文】為了調(diào)查某城市自行車年檢情況，在該城市主干道上采取抽取車牌個數(shù)為6的自行車檢驗(yàn)，這種抽樣方法是（）A.簡單隨機(jī)抽樣B.抽簽法C.系統(tǒng)抽樣D.分層抽樣3、【題文】．在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根,則()A.B.C.D.4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，下列可以判斷{an}是等差數(shù)列的是（）A.B.C.D.5、函數(shù)f(x)=x3鈭?x鈭?1

的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

6、用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a鈮?0)

有有理數(shù)根，那么abc

中至少有一個是偶數(shù).

用反證法證明時，下列假設(shè)正確的是(

)

A.假設(shè)abc

都是偶數(shù)B.假設(shè)abc

都不是偶數(shù)C.假設(shè)abc

至多有一個偶數(shù)D.假設(shè)abc

至多有兩個偶數(shù)評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)7、點(diǎn)P在平面ABC上的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的____．（填：外心，內(nèi)心，重心，垂心）8、已知雙曲線方程為則該雙曲線的漸近線方程為____．9、如圖，雙曲線-=1（a，b＞0）的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2；切點(diǎn)分別為A，B，C，D．則：

（Ⅰ）雙曲線的離心率e=____；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=____．

10、空間兩點(diǎn)AB到平面α的距離分別為8cm和2cm，則線段AB的中點(diǎn)M到平面α的距離為____．11、【題文】已知拋物線焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為為拋物線上一點(diǎn)，為垂足，如果直線的斜率為那么____。12、【題文】已知數(shù)列滿足當(dāng)1時，__________評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)13、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

14、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）15、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）16、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

17、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）18、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）19、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共15分)20、已知數(shù)列中，（為常數(shù)）；是的前項(xiàng)和，且是與的等差中項(xiàng)。K^S*5U.C#O（I）求（II）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。21、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．22、假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

。x23456y235.56.58（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）估計使用年限期完成為10時的維修費(fèi)用y的值．評卷人得分五、計算題(共2題，共8分)23、1.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在[，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)證明：(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931).24、解關(guān)于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、A【分析】【解析】

試題分析：

考點(diǎn)：1、特殊角的三角函數(shù)值；2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知，本題的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣，選C.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、A【分析】【解答】{an}是等差數(shù)列?an=An+B?Sn=Cn2+Dn；

可得：Sn=﹣2n2是等差數(shù)列．

故選：A．

【分析】利用{an}是等差數(shù)列?an=An+B?Sn=Cn2+Dn，即可判斷出．5、B【分析】解：因?yàn)閒(鈭?1)=鈭?1+1鈭?1=鈭?1<0

f(0)=鈭?1<0

f(1)=1鈭?1鈭?1=鈭?1<0

f(2)=8鈭?2鈭?1=5>0

f(3)=27鈭?3鈭?1=23>0

所以函數(shù)f(x)=x3鈭?x鈭?1

的零點(diǎn)所在區(qū)間是[1,2]

故選：B

．

利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理；對區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行符號判斷，異號的就是函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間．

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在區(qū)間的判斷；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，只要區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號，就是函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間．【解析】B

6、B【分析】解：根據(jù)反證法的步驟；假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定。

“至少有一個”的否定“都不是”．

即假設(shè)正確的是：假設(shè)abc

都不是偶數(shù)。

故選：B

．

本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定.

根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，故只須對“bc

中至少有一個偶數(shù)”寫出否定即可．

一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n

個”的否定：“至少有n+1

個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．【解析】B

二、填空題(共6題，共12分)7、略

【分析】

若PA；PB、PC兩兩互相垂直；

可得AP⊥平面PBC；BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB；

由此可證得BC⊥OA；AB⊥OC，AC⊥OB；

即此時點(diǎn)O是三角形三邊高的交點(diǎn)；

故此時點(diǎn)O是三角形的垂心；

故應(yīng)填：垂心．

故答案為：垂心．

【解析】【答案】根據(jù)題意畫出圖形；如圖P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面ABC上的射影．然后利用線面的位置關(guān)系進(jìn)行判定即可．

8、略

【分析】

∵雙曲線方程為

∴a=3，b=2

∴雙曲線的漸近線方程為即

故答案為：

【解析】【答案】利用雙曲線方程確定幾何量；即可得到雙曲線的漸近線方程．

9、略

【分析】

（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx-cy+bc=0，所以O(shè)到直線的距離為

∵以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2；

∴

∴（c2-a2）c2=（2c2-a2）a2

∴c4-3a2c2+a4=0

∴e4-3e2+1=0

∵e＞1

∴e=

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc

設(shè)矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

∵m2+n2=a2，∴

∴面積S2=4mn=

∴==

∵bc=a2=c2-b2

∴

∴=

故答案為：

【解析】【答案】（Ⅰ）直線B2F1的方程為bx-cy+bc=0，所以O(shè)到直線的距離為根據(jù)以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，可得由此可求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc，求出矩形ABCD的長與寬，從而求出面積S2=4mn=由此可得結(jié)論．

10、略

【分析】

如圖所示：當(dāng)A；B在平面的同一側(cè)時，過線段的兩個端點(diǎn)向平面做垂線，得到一個梯形。

根據(jù)梯形的中位線定理，得中點(diǎn)M到直線I的距離為=5

當(dāng)線段的兩個端點(diǎn)在平面的兩側(cè)時；過線段的兩個端點(diǎn)向平面做垂線，得到兩個三角形。

做出輔助線如圖所示。

根據(jù)三角形的中位線定理，得點(diǎn)C到直線l的距離為=3．

故答案為：5或3．

【解析】【答案】根據(jù)線與面的位置關(guān)系看出線段的兩個端點(diǎn)在平面的同一側(cè)或在異測；畫出圖形，根據(jù)梯形的中位線定理和三角形的中位線定理解答，得到結(jié)果．

11、略

【分析】【解析】

試題分析：由拋物線的參數(shù)方程為得其標(biāo)準(zhǔn)方程為∴準(zhǔn)線l：x=-2，

考點(diǎn)：本題考查了參數(shù)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：有關(guān)拋物線的焦半徑問題，往往利用定義轉(zhuǎn)化求解【解析】【答案】812、略

【分析】【解析】解：【解析】【答案】三、作圖題(共7題，共14分)13、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

14、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．16、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

17、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．19、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共15分)20、略

【分析】【解析】

（I）∵是與的等差中項(xiàng)，∴當(dāng)時，解得當(dāng)時，解得【解析】【答案】21、略

【分析】

（Ⅰ）取AB中點(diǎn)，連接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，運(yùn)用AB⊥平面OCA1；即可證明．

（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向建立坐標(biāo)系，可向量的坐標(biāo)，求出平面BB1C1C的法向量；代入向量夾角公式，可得答案．

本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬中檔題．【解析】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)，連接OC，OA1；

∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°

∴OC⊥AB，OA1⊥AB；

∵OC∩OA1=O；

∴AB⊥平面OCA1；

∵CA1?平面OCA1；

∴AB⊥A1C；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，

所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1；OC兩兩垂直．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向；建立如圖所示的坐標(biāo)系；

可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，）；B（-1，0，0）；

則=（1，0，），==（-1，0），=（0，-）；

設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量；

則

可取y=1，可得=（1，-1），故cos＜＞=-

又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值；

故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．22、略

【分析】

（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b；在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值．

（2）根據(jù)第一問做出的a，b的值；寫出線性回歸方程，當(dāng)自變量為10時，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個預(yù)報值．

本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，這是求解線性回歸方程的步驟之一．【解析】解：（1）由題意知=（2+3+4+5+6）=4，=（2+3+5.5+6.5+8）=5

b==1.55；

a=5-4×1.55=-1.2；

∴y=1.55x-1.2；

（2）根據(jù)第一問知線性回歸方程是y=1.55x-1.2；

當(dāng)自變量x=10時，預(yù)報維修費(fèi)用是y=1.55×10-1.2=14.3．五、計算題(共2題，共8分)23、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由題意，得f'(1)＝0Ta＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x