第5課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用 1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含義.2.學(xué)會(huì)用正弦定理、余弦定理解決距離、高度、角度等的問(wèn)題.3.學(xué)會(huì)解三角形應(yīng)用題的一般步驟.中國(guó)的“海洋國(guó)土”面積約300萬(wàn)平方公里,海洋權(quán)益在國(guó)家利益中的地位更加凸顯.近幾年,我國(guó)海軍先后參與了為打擊海盜進(jìn)行的亞丁灣護(hù)航,并開(kāi)頭走出近海,深化遠(yuǎn)海進(jìn)行演習(xí),實(shí)力在不斷增加,為護(hù)衛(wèi)我們的“藍(lán)色國(guó)土”供應(yīng)了堅(jiān)實(shí)的保障.2005年7月11日,是中國(guó)宏大航海家鄭和下西洋600周年紀(jì)念日.2005年4月25日,經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn),將每年的7月11日確立為中國(guó)“航海日”,作為國(guó)家的重要節(jié)日固定下來(lái),海洋強(qiáng)國(guó)正成為13億華夏兒女的共同幻想.問(wèn)題1:海軍在海上航行時(shí),定位船只或者自身位置的手段已經(jīng)格外先進(jìn).在較早時(shí)期,人們?cè)诤Ｉ虾叫袝r(shí),定位船只的方法通常是依據(jù)方位角、方向角和距離來(lái)進(jìn)行的.那么何為方位角、方向角呢?方位角:;方向角:.此外,在測(cè)量以及確定方位時(shí),我們能接觸到的還有俯角:和仰角:,這些是測(cè)量中的常用的名詞,在我們的學(xué)習(xí)中也會(huì)經(jīng)常消滅.

問(wèn)題2:正弦定理與余弦定理的常見(jiàn)變形有哪些?(1)a∶b∶c=;

(2)R為△ABC外接圓的半徑,則sinA=,sinB=,sinC=;

(3)余弦定理的推論可以用式子表示為cosA=,cosB=,cosC=.

問(wèn)題3:在解三角形應(yīng)用問(wèn)題時(shí),一般在處理問(wèn)題時(shí)要分幾個(gè)步驟?分如下四個(gè)步驟:(1):理解題意,分清已知與未知,畫(huà)出示意圖.

(2):依據(jù)已知條件與求解目標(biāo),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(3):利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解.

(4):檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.

問(wèn)題4:解斜三角形應(yīng)用題的步驟是怎么樣的?應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形應(yīng)用問(wèn)題,一般是依據(jù)題意,從實(shí)際問(wèn)題中抽象出,通過(guò)解這些三角形,從而使實(shí)際問(wèn)題得到解決.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,未給圖形的,可以先畫(huà)出示意圖,要理解好應(yīng)用題中有關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ),如、、、等,要留意解的實(shí)際意義以及題目中給出的精確度.

1.若P在Q的北偏東44°50',則Q在P的().A.東偏北45°10' B.東偏北45°50'C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'2.一船向正北航行,觀察正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,連續(xù)航行半小時(shí)后,觀察一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的航行速度是每小時(shí)().A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里3.在直徑為30m的圓形廣場(chǎng)中心上空,設(shè)置一個(gè)照明光源,射向地面的光呈圓形,且其軸截面頂角為120°,若要光源恰好照到整個(gè)廣場(chǎng),則光源的高度為m.

4.在同一平面內(nèi),在A處測(cè)得B點(diǎn)的仰角是50°,且到A的距離為2,C點(diǎn)的俯角為70°,且到A的距離為3,求B、C間的距離.利用正、余弦定理求解距離問(wèn)題如圖所示,隔河看兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距3千米的C,D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A,B之間的距離.利用正、余弦定理求解高度問(wèn)題如圖,山腳下有一小塔AB,在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60°,在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.利用正、余弦定理求解角度問(wèn)題在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)覺(jué)在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向,從A動(dòng)身有一條南偏東35°走向的大路,在C處測(cè)得與C相距31km的大路上的B處有一人正沿此大路向A走去,走了20km后到達(dá)D處,此時(shí)測(cè)得CD距離為21km,求此人在D處距A的距離.如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,求cosθ.1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α、β的關(guān)系為().A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀看站C的距離都等于akm,燈塔A在觀看站C的北偏東20°,燈塔B在觀看站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為().A.akm B.3akmC.2akm D.2akm3.海上有A,B,C三個(gè)小島,測(cè)得A,B兩島相距10nmile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,則B,C間的距離是nmile.

4.如圖,為測(cè)一樹(shù)的高度,在地面上選取A、B兩點(diǎn),從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°、45°,且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m,求樹(shù)的高度h.(2021年·江蘇卷)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲動(dòng)身2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長(zhǎng)為1260m,經(jīng)測(cè)量,cosA=1213,cosC=3(1)求索道AB的長(zhǎng);(2)問(wèn)乙動(dòng)身多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?考題變式(我來(lái)改編):第5課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:從正北方向順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角在同一鉛垂面內(nèi),視線在水平線下方時(shí)與水平線所成的角在同一鉛垂面內(nèi),視線在水平線上方時(shí)與水平線所成的角問(wèn)題2:(1)sinA∶sinB∶sinC(2)a2Rb2Rc2R(3問(wèn)題3:(1)分析(2)建模(3)求解(4)檢驗(yàn)問(wèn)題4:一個(gè)或幾個(gè)三角形坡角仰角俯角方位角基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.C依據(jù)P在Q的北偏東44°50',可以推斷Q在P的南偏西44°50',故選C.2.C如圖所示,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10(海里),在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是這艘船的航行速度是50.5=10(海里/3.53軸截面如圖,則光源高度h=15tan60°=53(m4.解:依據(jù)題意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120°=19,∴BC=19.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=3.在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC=3sin75°sin60°=2sin(30°+45°)=2sin30°cos45°+2cos30°sin在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×cos75°=5+3-(32+6)(cos30°cos45°-sin30°sin45°)故兩目標(biāo)A,B間的距離為5千米.【小結(jié)】(1)求解三角形中的基本元素,應(yīng)由確定三角形的條件個(gè)數(shù),組織一系列三角形求解,即“三角形鏈”方法.(2)本題是測(cè)量?jī)蓚€(gè)都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離,它是測(cè)量學(xué)中應(yīng)用格外廣泛的“三角網(wǎng)”測(cè)量方法的原理,其中AB可視為基線.(3)計(jì)算方法:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.同理cos75°=6探究二:【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB,延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)E,設(shè)CD=xm,則AE=(x-20)m,∵tan60°=CDBD∴BD=CDtan60°=x3=33x在△AEC中,x-20=33x,解得x=10(3+3)m.故山高CD為10(3+3)m【小結(jié)】(1)測(cè)量高度時(shí),要精確?????理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(畫(huà)出)示意圖,明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.探究三:【解析】如圖,設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.依據(jù)正弦定理得BCsinα=ACsin120°,解得sinα=所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí),角α的正弦值為53【小結(jié)】(1)測(cè)量角度,首先應(yīng)明確方向角的含義.(2)在解應(yīng)用題時(shí),理清已知與所求,再依據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖,通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題,在解題過(guò)程中也要留意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:如圖,∠CAD=25°+35°=60°.在△BCD中,由余弦定理,得cosB=B=312+2故sinB=123在△ABC中,由正弦定理,得AC=BCsinBsinA=由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,即312=AB2+242-2×AB×24cos60°,∴AB2-24AB-385=0,解得AB=35或AB=-11(舍去),∴AD=AB-BD=15(km).故此人在D處距A還有15km.應(yīng)用二:在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得BCsin∠BDC所以BC=CDsin∠BDC在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=stan應(yīng)用三:如圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,故cos∠ACB=27故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=277×32-217×或由cosθ=sinB及正弦定理有sinB=ACBC·sin120°=20227×32基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B依據(jù)仰角與俯角的定義可知α=β.2.B由題意知∠ACB=120°,AC=BC=a.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×(-12)=3a2,∴AB=33.56在△ABC中,由正弦定理可得BCsinA=ABsinC,即BC=ABsinA4.解:由正弦定理得:60sin(45°-30°)=PBsin30°,∴PB=30sin15°,∴h=PB全新視角拓展(1)在△ABC中,由于cosA=1213,cosC=35,所以sinA=513,sin從而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC