分部積分法第四節(jié)、分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計算問題，但有些積分，如∫xexdx,∫xcosxdx等，利用換元積分法就無法求

解.本節(jié)要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)u=ux,v=vx具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則兩個函數(shù)乘積的微分公式為duv=udv+vdu,移項，得udv=duv－vdu.兩邊積分，得∫udv=uv－∫vdu（4-14）或∫uv′dx=uv－∫u′vdx.（4-15）公式（4-14）或公式（4-15）稱為分部積分公式.利用分部積分公式可以把比較難求的∫udv轉(zhuǎn)化為比較易求的∫vdu來計算，達到化難為易的目的.用分部積分公式求不定積分的方法稱為分部積分法.當被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時，往往需要用分部積分法來解決.下面通過例子說明如何運用這個重要公式.第四節(jié)、分部積分法

求∫xexdx.

解

現(xiàn)用分部積分法求該不定積分.但是怎樣選擇u和dv呢？如果設(shè)u=x,dv=exdx，那么du=dx,v=ex，代入分部積分公式，得∫xexdx=∫xdex=xex－∫exdx=xex－ex+C.上式右端的不定積分比原不定積分更不易求出.【例1】第四節(jié)、分部積分法由此可見，如果u和dv選取不當，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時，恰當選取u和dv是關(guān)鍵.通常選擇順序是：對反冪三指（對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)），兩者之間排在前面的設(shè)為u.第四節(jié)、分部積分法

求∫xsinxdx.解由于冪函數(shù)在“前”,三角函數(shù)在“后”,故設(shè)u=x,dv=sinxdx，所以∫xsinxdx=∫xd－cosx=－xcosx+∫cosxdx=－xcosx+sinx+C.【例2】第四節(jié)、分部積分法

求∫x2lnxdx.

解

冪函數(shù)在“后”,對數(shù)函數(shù)在“前”，故設(shè)u=lnx,dv=x2dx，所以∫x2lnxdx=∫lnxd13x3=13x3lnx－13∫x3dlnx=13x3lnx－13∫x2dx分部積分法運用熟練后，選取u,dv的步驟不必寫出.【例3】第四節(jié)、分部積分法

求∫arctanxdx.

例4說明，如果被積函數(shù)只有一個函數(shù)，且不能用基本積分公式直接求出，可以考慮設(shè)被積函數(shù)為u,此時dv=dx，利用分部積分法求解.【例4】第四節(jié)、分部積分法

例5說明，有些不定積分用一次分部積分法不能解出來，可以多次使用分部積分法.【例5】第四節(jié)、分部積分法

例6說明，有的不定積分不能直接求出，但可以通過兩次分部積分得一個關(guān)于不定積分的方程，從而解得不定積分.【例6】第四節(jié)、分部積分法

到目前為止，前面介紹了求不定積分的三種最基本的方法，記住方法本身固然重要，但更重要的是能夠靈活地運用它們求解不同類型的題目.同時，還應(yīng)當注意到某些不定積分的求