2024年數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀專題發(fā)言稿（共7篇）

第1篇：數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀

數(shù)學(xué)新課標(biāo)學(xué)習(xí)解讀

與2024年版相比，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)從基本理念、課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)到實(shí)施建議都更加精確、

規(guī)范、明白和全面。詳細(xì)改變?nèi)缦拢?/p>

總體框架結(jié)構(gòu)的改變

2024年版分四個部分：前言、課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和課程實(shí)施建議。2024年版把其中的

"內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)"改為"課程內(nèi)容"。前言部分由原來的基本理念和設(shè)計思路，改為課程基本性質(zhì)、

課程基本理念和課程設(shè)計思路三部分。

關(guān)于數(shù)學(xué)觀的改變

2024年版:數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、漸漸抽象概括、形成方法和理論，

并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建

立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，干脆為社會創(chuàng)建價值。

2024年版：數(shù)學(xué)是探討數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而漸

漸形成的科學(xué)語言與工具。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)

當(dāng)具備的基本素養(yǎng)。

基本理念"三句"變"兩句"，"6條"改"5條"。

2024年版“三句話"：人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)

上得到不同的發(fā)展。2024年版“兩句話”：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教化，不同的人在數(shù)學(xué)上

得到不同的發(fā)展。"6條"改"5條"：在結(jié)構(gòu)上由原來的6條改為5條，將2024年版的第2

條關(guān)于對數(shù)學(xué)的相識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內(nèi)容的相識，此外，將“數(shù)學(xué)教

學(xué)”與"數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”合并為數(shù)學(xué)"教學(xué)活動"。2024年版：數(shù)學(xué)課程——數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

一數(shù)學(xué)教學(xué)活動——評價——現(xiàn)代信息技術(shù)。2024年版：數(shù)學(xué)課程一課程內(nèi)容——教學(xué)

活動——學(xué)習(xí)評價一信息技術(shù)。

"雙基"變"四基"

2024年版："雙基"：基礎(chǔ)學(xué)問、基本技能；

2024年版"四基"：要出學(xué)問、基本技能、基本思想、基本活動閱歷。用巴"四基"與

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育進(jìn)行整合：

駕馭數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問，訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動閱歷。

四個領(lǐng)域名稱的改變

2024年版：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用。2024年版：數(shù)與代

數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐。

課程內(nèi)容的改變

更加留意內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。如在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的第一學(xué)段：增加了相識小括號，能進(jìn)

行簡潔的整數(shù)四則混合運(yùn)算。綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的要求更加明確和具有可操作性。

實(shí)施建議的改變

不再分學(xué)段闡述，而是分教學(xué)建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源利用和開發(fā)建議。

在強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體作用的同時，明確提出老師的組織和引導(dǎo)作用。

張磊

數(shù)學(xué)閱讀的重要性

閱讀是人類社會生活的一部分，是人類吸取學(xué)問的主要手段和相識世界的重要途徑。

隨著社會的發(fā)展、科學(xué)的進(jìn)步及"社會的數(shù)學(xué)化”，僅具有語文、外語閱讀實(shí)力的社會人已

明顯地顯示出其實(shí)力的不足，如他們看不懂某些產(chǎn)品運(yùn)用說明書，看不懂股市走勢圖、報表分析

等。因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀的教化探討，具有極為深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。

數(shù)學(xué)閱讀有較強(qiáng)的教化功能。

首先，學(xué)生僅靠課堂上聽老師的講授是難以豐富和完善自己的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)的，只有通過閱

讀，作好與書本上標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)語言的溝通，才能規(guī)范自己的數(shù)學(xué)語言，提高數(shù)學(xué)語言的理解力和表

達(dá)力，從而建立起良好的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)。

其次，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀有助于數(shù)學(xué)教科書作用的充分發(fā)揮。數(shù)學(xué)教科書是數(shù)學(xué)專家在充分考慮

學(xué)生生理心理特征、教化教學(xué)原理、數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)等諸多因素的基礎(chǔ)上細(xì)心編寫而成,具有極高

的閱讀價值?？墒?，目前許多師生并沒有很好地利用教科書，課堂上老師諄諄教導(dǎo)、深化淺出地

講解后，就讓學(xué)生翻開課本做習(xí)題，僅把教科書當(dāng)成了習(xí)題集。缺少閱讀教科書的環(huán)節(jié)，是造成

老師講解精彩而仍有一些學(xué)生學(xué)習(xí)成果不志向的根本緣由。

第三，重視數(shù)學(xué)閱讀，培育閱讀實(shí)力，符合"終身教化、終身學(xué)習(xí)"的現(xiàn)代教化思想。眾所

周知，將來社會高度發(fā)展，瞬息萬變，這確定了將來人不僅要有扎實(shí)寬厚的氧出學(xué)問功底，更須

要他們有較強(qiáng)的自學(xué)功底從事終身學(xué)習(xí)，以便隨時調(diào)整自己來適應(yīng)社會發(fā)展的改變。而閱讀是自

學(xué)的主要形式，自學(xué)實(shí)力的核心是閱讀實(shí)力。因此，教會學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵就是教會學(xué)生閱讀，培

育其閱讀實(shí)力。

第四，重視數(shù)學(xué)閱讀，培育閱讀實(shí)力，有助于個別化學(xué)習(xí)，使每個學(xué)生都能通過自身的努力

達(dá)到各自可能達(dá)到的水平，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)教化的目標(biāo)。素養(yǎng)教化的核心問題是使每個學(xué)生都能得到充

分發(fā)展，實(shí)現(xiàn)教學(xué)理論探究。

第2篇：數(shù)學(xué)課標(biāo)解讀

十個核心概念之一數(shù)感

一般人提起數(shù)感總感到它是比較玄乎的。也有人質(zhì)疑像"數(shù)感"這種因人的感覺而異的、

較"虛"的東西有必要作為核心概念提出來嗎？一些老師也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把

握。這些狀況說明，我們有加強(qiáng)對數(shù)感相識的必要。

應(yīng)當(dāng)通過實(shí)物、圖片等，將數(shù)與物對應(yīng)起來；以后在相識20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時，可以對詳

細(xì)實(shí)物通過估一ft、數(shù)一數(shù)等活動幫助學(xué)生形成對十、百等數(shù)量大小的感覺，如數(shù)100粒黃豆、

100根4乖，估計老師里的學(xué)生人數(shù)，估計一堆水果的數(shù)量等。我們還可以就同一個數(shù)在實(shí)際生

活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量加強(qiáng)對數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚?你的1200步大約

有多長？1200名學(xué)生站成，故廣播體操的隊(duì)形須要都多大的場地?類似這樣的問題可以讓學(xué)生舉

一反三。

應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段的詳細(xì)教學(xué)內(nèi)容，逐步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。比如在其次學(xué)段應(yīng)結(jié)合學(xué)生

所熟識的現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能對一些問題進(jìn)行估算；能了解負(fù)數(shù)的意義，用負(fù)數(shù)表示

日常生活的問題，建立起對負(fù)數(shù)的數(shù)感。在第三學(xué)段，隨著對數(shù)的相識領(lǐng)域的獷大以及數(shù)的相識

閱歷的積累，可以引導(dǎo)學(xué)生在較困難的數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品

質(zhì)。

2、緊密結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，培育學(xué)生的數(shù)感

現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生的實(shí)際生活閱歷親密相連，不僅能夠?yàn)閷W(xué)生供應(yīng)真實(shí)自然的數(shù)

的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認(rèn)知上經(jīng)驗(yàn)由詳細(xì)到抽象的過程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。

反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看四周的世界，正如《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》

所說："建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述詳細(xì)情境中的數(shù)量關(guān)系"。

比如，讓學(xué)生通過調(diào)查、探討，弄清晰自己的學(xué)號、地區(qū)郵政編碼、汽車牌照號、身份證編

號的規(guī)律和意義.下面的問題更是能讓學(xué)生感到，建立良好的數(shù)感，對數(shù)字信息作出合理說明與

推斷的重要：假如火車票上的車次號有兩個含義，一是數(shù)字越小表示車速越快,1-98次為特快

車，101~198次為直快車,301~398次為普快車,401~598次為普客車；二是單數(shù)表示從

北京開出，雙數(shù)表示開往北京，現(xiàn)在有一張車票的車次號為122,它能給你什么信息？

3、讓學(xué)生多經(jīng)驗(yàn)有關(guān)數(shù)的活動過程，逐步積累數(shù)感閱歷

在詳細(xì)的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生能動腦、動手、動口，多種感官協(xié)調(diào)活動，加之能相互溝通，這

對強(qiáng)化感知和思維，積累數(shù)感閱歷特別有益。比如，組織學(xué)生參與調(diào)查活動，讓學(xué)生調(diào)查：從你

家到學(xué)校的路程大約有多遠(yuǎn)？你到學(xué)校大約要多長時間？教室面積多大?學(xué)校食堂有多大？你家

住房有多少平方米？你所在的城市有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學(xué)生針對一

周出版的某種報紙?zhí)接懼虚g出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運(yùn)算有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，分別表述這些問題中

關(guān)于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來解決這些詳細(xì)問題等。這樣的數(shù)學(xué)活動有利于學(xué)生在相互溝通中

從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感閱歷。

符號意識

符號對于數(shù)學(xué)來說是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)

符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對象的詳細(xì)屬性，而從

形式化的角度進(jìn)行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深化；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號的意義一

旦被給予，它就在這確定的意義下被運(yùn)用，不會模糊，不會產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹(jǐn)

性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號之間的“運(yùn)算"。針對這種“運(yùn)算”的算法

是形式化的，"幾乎是自動化的，不須要每次都從頭做起"。此外數(shù)學(xué)符號還具有簡略性和通用

性等特點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國數(shù)學(xué)家讓?迪多內(nèi)在

《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中將"引進(jìn)好的符號”作為促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要緣由之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數(shù)學(xué)符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的相

識事實(shí)上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生駕馭數(shù)學(xué)符號、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號實(shí)力的培育也成為

重要的教學(xué)目標(biāo)。

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中符號意識所包含的內(nèi)容：

此次修訂，將原來的"符號感"改為了"符號意識"，這兩個稱謂就其英文表述來看沒有改

變而中文表述將"感"改為"意識”應(yīng)當(dāng)說其意義與課程目標(biāo)的價值取向和數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)意

義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號去表征數(shù)

學(xué)對象，并用符號去進(jìn)行運(yùn)算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個過程中，數(shù)學(xué)符號對于學(xué)習(xí)者

來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的運(yùn)用符號的心理傾向。所以用“意識"

更精確些。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年扳）》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：

1.能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年扳）》中的這個要求針對的是符號表示，它有兩層意思：一是能夠理

解符號所表示的意義；二是能夠運(yùn)用符號去表示數(shù)學(xué)對象1數(shù)、數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律等）.

每一個數(shù)學(xué)符號都有它特定的含義，如"+,?，x,「分別表示特定的運(yùn)算意義，":，

?,"則表示數(shù)學(xué)對象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，

也是符號意識的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號是一種特別的語言，對數(shù)學(xué)符號的理解也有其固有的

特點(diǎn)和要求：因?yàn)榉柧哂锌隙ǔ橄蠖?對符號的相識和理解就不應(yīng)是形式上的,而應(yīng)是實(shí)質(zhì)上

的,即應(yīng)從抽象的符號本身看到其所表征的精確的數(shù)學(xué)意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所

以對符號的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的。特殊是將符號語言轉(zhuǎn)換為我們

所熟識的生活語言時，應(yīng)當(dāng)抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號具有概括性和一般性

特征，所以對它的相識和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)留意符號與符號之間的關(guān)聯(lián)（如

與"X"之間的關(guān)系），也應(yīng)留意同一符號的多重意義的理解（如y=ax既可表示矩形面

積與長、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時間、速度的關(guān)系，

也可表示總價與單價、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關(guān)系……）。

對數(shù)學(xué)符號不僅要"懂"，還要會"用"。運(yùn)用符號表達(dá)數(shù)學(xué)對象就是"用"符號的重要方

面。這里的數(shù)學(xué)對象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律，它們在各個學(xué)段都有自己特定的要求。關(guān)

于用符號表達(dá)數(shù)學(xué)對象這里著重指出兩點(diǎn)：一是要留意義務(wù)教化階段整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符

號表達(dá)數(shù)學(xué)對象是一個由簡潔到困難、由相對詳細(xì)到相對抽象的過程。比如用數(shù)字符號表示現(xiàn)實(shí)

中的多少，用單一的運(yùn)算符號表汞數(shù)字運(yùn)算關(guān)系，其抽象度明顯不及用字母代替數(shù)及用字母表示

數(shù)量關(guān)系，后者對前者來說是一個階段性的改變。而用符號關(guān)系式或肯定的數(shù)學(xué)模式語言去表示

特定的數(shù)學(xué)改變規(guī)律則又更為抽象和困難。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的符號意識的發(fā)展是一個漸漸積

累改變的過程。二是數(shù)學(xué)符號的表達(dá)是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖象等都是表達(dá)數(shù)量關(guān)系

和改變規(guī)律的符號工具，有時，即使是同一數(shù)學(xué)對象也可采納多種符號予以表達(dá)。而多種符號表

達(dá)方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號表達(dá)上的這些特點(diǎn)值得我們在教學(xué)中關(guān)注。

例1（《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》例9）在下列橫線上：填上合適適的數(shù)字、字母或圖形，

并說明理由。

通過視察規(guī)律，使第一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或

圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同而已。

2.知道運(yùn)用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性

這一點(diǎn)很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種"意識"須要強(qiáng)化的。這一要求的

核心是基于運(yùn)算和推理的符號"操作"意識。由于運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動最重要的基本形式，所

以《課程標(biāo)準(zhǔn)2024年版）》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強(qiáng)學(xué)生在邏輯法則下運(yùn)用

符號進(jìn)彳亍運(yùn)算、推理的訓(xùn)練，這涉及的類型較多，如對詳細(xì)問題的符號表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)

換、等價推演、模型抽象及模型解決等。

3.使學(xué)生理解符號的運(yùn)用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思索的重要形式

數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生在解決詳細(xì)問題時必需采納的方式數(shù)學(xué)表達(dá)實(shí)質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號作為媒

介的一種語言表達(dá)。通過培育學(xué)生的符號意識，發(fā)展學(xué)生緘學(xué)表達(dá)實(shí)力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目

標(biāo)。

比如這樣一個問題：’某書定價8元，假如一次購買10本以上，超過10本部分打八折。

分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系。"明顯，購書數(shù)量與付款金額之間呈函數(shù)關(guān)系（分

段函數(shù)），為了解決問題的便利，我們可以分別采納函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號表

達(dá)方式來表示這一詳細(xì)問題。

發(fā)展符號意識最重要的是運(yùn)用符號進(jìn)行數(shù)學(xué)思索，我們不妨把這種思索稱為"符號思索"，

這種思索是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維

舉一個簡潔的例子：’房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，假如椅子腿數(shù)和凳

子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾個凳子？"假如學(xué)生沒有經(jīng)過特地的“雞兔同籠"

解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆栠M(jìn)行數(shù)學(xué)思索，找到解題思路。如可以用表格

分析椅子數(shù)的改變引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的改變規(guī)律，干脆得到答案；也可采納一元一次方程或二

元一次方程組的、關(guān)于字母的思索方式來加以解決。

三、關(guān)于學(xué)生符號意識的培育

1.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培育學(xué)生的符號意識

概念、命題、公式是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們經(jīng)常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，而它們

又和數(shù)學(xué)符號的表達(dá)和運(yùn)用親密相關(guān)。正因?yàn)槿绱耍墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》在學(xué)段目標(biāo)和

各學(xué)段課程內(nèi)容中都提出了詳細(xì)要求。如："理解符號的含義，能用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的

大小"，"相識小括號"（第一學(xué)段）；"相識中括號"”在詳細(xì)情境中能用字母表示數(shù)""結(jié)

合簡潔的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示""能用方程表示簡潔情境中的等量關(guān)系"

（其次學(xué)段）；"能分析詳紐問題中的簡潔數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示""通過用代數(shù)式、方程、

不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識"（第三學(xué)段）。

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境培育學(xué)生的符號意識

一方面，盡可能通過實(shí)際問題或現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號以及表達(dá)式、關(guān)

系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)實(shí)情境問題進(jìn)行符號的抽象和表達(dá)；另一方面，對某一特定的符號

表達(dá)式啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多樣化的現(xiàn)實(shí)意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實(shí)情境與符號化之間的雙向

過程，有利于增加學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號思維的變通性、遷移性和敏捷性。

3.在數(shù)學(xué)問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的符號意識

符號意識更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培育僅靠

一些單純的符號推演訓(xùn)練和仿照記憶是難以達(dá)到應(yīng)有的效具的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)發(fā)覺問題，提出問

題（這事實(shí)上須要運(yùn)用符號抽象和表達(dá)問題）、分析問題、解決問題（這事實(shí)上是運(yùn)用符號進(jìn)行

運(yùn)算、推理和數(shù)學(xué)思索）的全過程，在這一過程中積累運(yùn)用符號的數(shù)學(xué)活動閱歷，更好地感悟符

號所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進(jìn)學(xué)生符號意識得到提高。

十個核心概念之三■一空間觀念

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中空間觀念所包含的內(nèi)容

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中沒有詳細(xì)給出空間觀念的內(nèi)涵,而是從是否具有空間觀念的幾

個表征動身對其進(jìn)行描述?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》是從四個方面進(jìn)行刻畫描述的：空間觀

念主要是指依據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，依據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體

的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和改變；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》對空間觀念的描述，是在義務(wù)教化階段通過圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)

習(xí)對學(xué)生在這些方面的要求以及須要達(dá)成的目標(biāo)。這樣的目標(biāo)達(dá)成的過程是一個包括視察、想象、

比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程中，無論是圖形的相識，圖形

的運(yùn)動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。

二、空間觀念的培育

空間觀念的培育是一個長期的閱歷積累的過程，因此對教學(xué)的要求有別于詳細(xì)的幾何學(xué)問，

但它又是在幾何學(xué)問的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的。全美數(shù)學(xué)老師理事會在1989年指出，發(fā)展學(xué)生的空間觀

念，兒童必需具有很多閱歷。例如，幾何關(guān)系的要點(diǎn)，在空間中物體的方向、方位和透視觀點(diǎn);

相關(guān)的形態(tài)和圖形與實(shí)物的大小，以及如何通過變更大小來變更形態(tài)。這些閱歷要依靠兒童以下

幾個方面的實(shí)力，如會運(yùn)用像"上面‘"下面"和"后面"等一些詞語，畫出T圖形旋轉(zhuǎn)90。

或180。以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和匕徽放在不同位置上的圖形，等等，這

些活動將有助于發(fā)展他們的空間觀念。

事實(shí)上，在圖形與幾何課程的學(xué)習(xí)中，還是可以利用許多的素材和機(jī)會發(fā)展學(xué)生的空間觀念

的，主要是我們?nèi)绾蝸硐嘧R和利用這些素材和機(jī)會。

1.促進(jìn)空間觀念發(fā)展的課程內(nèi)容

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時，在三個學(xué)段

都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容的設(shè)置，這些在本書的內(nèi)容分析部分都有提及。

例如，第一、其次學(xué)段的"圖形與運(yùn)動""圖形與位置”中的大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都是發(fā)展

學(xué)生空間觀念的很好的素材；第一、其次學(xué)段中的從不同方向視察物體、運(yùn)用基本圖形拼圖，以

及基本幾何體的綻開圖等，也都是旨在發(fā)展學(xué)生空間觀念的課程內(nèi)容。

在第三學(xué)段，"圖形的改變"中的各種圖形的運(yùn)動，尤其是“圖形的投影"內(nèi)容的支配，其

核心目標(biāo)也是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

事實(shí)上，空間觀念的培育在圖形的相識以及圖形的證明過程中，都會有所體現(xiàn)，因?yàn)閷缀?/p>

圖形的相識和證明中對圖形特點(diǎn)的視察也須要想象，也有健他人的描述畫出圖形的過程。因此，

很好地相識空間觀念的含義與意義，在圖形與幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中抓住典型內(nèi)容，就可以將空間觀念

的培育貫穿于這個學(xué)習(xí)過程中。

2.促進(jìn)空間觀念發(fā)展的教學(xué)策略

Q）現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生閱歷是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)

空間觀念的形成基于對事物的視察與想象而現(xiàn)實(shí)世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生們視察的最

好材料，學(xué)生的已有閱歷也是視察、想象、分析的基礎(chǔ)。因此在教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生們熟識的現(xiàn)實(shí)

問題情境是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。

例如，繪制學(xué)生自己房間或?qū)W校的平面圖；描述從家到學(xué)校的路途圖；描述視察到的情境的

畫面；描述游樂園中各種運(yùn)動的現(xiàn)象等，這些問題既是他們生活中熟識的，又是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中須

要重新諦視和加工的。平?？吹降臇|西，要進(jìn)行回憶，在頭腦中想象，加工之后的再現(xiàn)，就已經(jīng)

是數(shù)學(xué)的抽象了，這其中就滲透了空間觀念發(fā)展的元素了。

無論是教材的編寫還是老師的教學(xué)設(shè)計，需留意開發(fā)和利用現(xiàn)實(shí)世界中豐富的資源：城市的

建筑與立交橋，鄉(xiāng)村的院落與山水，我們生活的廣袤空間和其中的大量實(shí)物，為我們供應(yīng)了一個

鮮活的大課堂，供我們視察、想象與描述。

(2)利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念

從《課程標(biāo)準(zhǔn)(2024年版)》對空間觀念的描述和有關(guān)的課程內(nèi)容的分析中，我們能夠感

覺到，發(fā)展學(xué)生的空間觀念應(yīng)當(dāng)是有多種途徑的。生活閱歷的回t乙與再現(xiàn)，實(shí)物視察與描述、拼

擺與畫圖、折紙與綻開、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。

教學(xué)中老師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)闹鋵W(xué)生的活動，創(chuàng)建條件使學(xué)生有機(jī)會從事上述的活動

來發(fā)展空間觀念。例如我們可以在〃浮高年級支配這樣的折紙活動將一張正方形的紙對折后，

再對折一次，然后用剪刀剪出一個小洞。再把紙完全綻開請畫出或從下面四個圖中選擇它的綻開

圖。

(3)在學(xué)生的思索、想象過程中發(fā)展空間觀念

空間觀念的培育不是一蹴而就的，它須要不斷的閱歷的積累、想象力的豐富，因此教學(xué)中要

為學(xué)生供應(yīng)足夠的時間和空間去視察和想象、操作和分析。

這其中還有視察與想象的相互關(guān)系問題。視察與描述往往是空間觀念發(fā)展的基礎(chǔ)，而想象與

再現(xiàn)則是更高層次的空間觀念的表現(xiàn)。

假如在教學(xué)中，我們提出這樣的問題：如圖6-2所示，桌子上擺著三件物品，圖6-3是從

上面看到的物品的圖片，其中的a,b,c,d,e五點(diǎn)表示從桌子的四周視察三件物品的不同地

點(diǎn)。請推斷下邊的一組圖分別是從a,b,c,d,e五點(diǎn)中的哪一點(diǎn)看到的。

對于學(xué)生來講，可能干脆的視察與想象是有些困難的有的老師會模擬地創(chuàng)設(shè)這樣一個情境,

讓學(xué)生干脆去視察詳細(xì)物體的擺放場景，然后進(jìn)行推斷。這樣做的確能夠降低純粹靠想象作出推

斷的難度，但同時也失去了培育學(xué)生想象力的機(jī)會。因此，老師不妨讓學(xué)生先想一想，嘗試著作

出推斷，然后再實(shí)際地看一看，把實(shí)際看到的和想象的進(jìn)行匕徽，得出正確的結(jié)論。這樣將有助

于學(xué)生積累想象的閱歷，提高對物體之間關(guān)系進(jìn)行把握的實(shí)力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

幾何直觀

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中的幾何直觀

在《一般中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》中也對幾何直觀非常關(guān)注："三維空間是人類生存的

現(xiàn)實(shí)空間，相識空間圖形，培育和發(fā)展學(xué)生的空間想象實(shí)力、推理論證實(shí)力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行

溝通的實(shí)力以及幾何直觀實(shí)力，是中學(xué)階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求」在《課程標(biāo)漁2024

年版）》中，把幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)10個核心概念之一，這是一個進(jìn)步?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2024

年版）》明確指出："幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把困難的

數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探究解決問題的思路，預(yù)料結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀

地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。"

在數(shù)學(xué)課程中，幾何仄容是很重要的TB分.幾何課程的教化價值，最主要的應(yīng)當(dāng)有兩個方

面：一方面，幾何能培育學(xué)生的邏輯推理實(shí)力；另一方面，它也能培育學(xué)生幾何直觀實(shí)力。但目

前，在部分老師中對此在相識上存在著肯定的局限性，在幾何教學(xué)中他們僅僅重視培育邏輯推理

實(shí)力，忽視了對學(xué)生幾何直觀實(shí)力的培育。我們應(yīng)全面地理解幾何教化價值，重視幾何直觀。

在義務(wù)教化階段教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時相識和理解”幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)

學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用"這一點(diǎn)是特別重要的。它表明，我們不僅在幾何

內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)當(dāng)重視幾何直觀，培育幾何直觀實(shí)力應(yīng)當(dāng)貫

穿義務(wù)教化數(shù)學(xué)課程的始終。

正如前面所指出的，圖形有助于發(fā)覺、描述問題，有助于探究、發(fā)覺解決問題的思路，也有

助于我們理解和記憶得到的結(jié)果?？傊?，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變簡單，把抽象的

數(shù)學(xué)問題變簡潔，對于數(shù)學(xué)探討是這樣，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此。學(xué)會用圖形思索、想象問題是

探討數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本實(shí)力。這種幾何直觀實(shí)力能使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué);

數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀穗學(xué)都是重要的，他們也是相互交織、關(guān)聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有

直觀。

在義務(wù)教化階段，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有"數(shù)"和"形"兩方面的本質(zhì)特征（如

小學(xué)的分?jǐn)?shù)概念、路程問題等），學(xué)會從兩個方面相識數(shù)學(xué)的這些對象是特別重要的，即數(shù)形結(jié)

合是相識數(shù)學(xué)的基本角度，與其說是方法,不如說這是基本要求。從這一點(diǎn)看,不注意數(shù)形結(jié)合

在數(shù)學(xué)上就沒有學(xué)明白。

二、幾何直觀的培育

1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣

在日常教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是特別重要的。可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真

正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路帶來的好處。無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論

都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對

抽象的思索對象“圖形化"，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就簡單綻

開形象思維。

2.重視變換一讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運(yùn)動是幾何、也是整個數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對象，也是相

識數(shù)學(xué)的思想和方法。一方面，在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是"對稱"圖形，例如，

球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等，都是"不

同程度對稱圖形"；另一方面，在相識、學(xué)習(xí)、探討"不對稱圖形"時，又往往是運(yùn)用這些“對

稱圖形"為工具的。變換又可以看彳故運(yùn)動，讓圖形動起來是指再相識這些圖形時，在頭腦中讓圖

形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看做一個剛體，通過圍繞中心（兩

條對角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180。,去相識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去

相識、理解幾何圖形是培育幾何直觀的好方法。

3.學(xué)會從"數(shù)"與"形"兩個角度相識數(shù)學(xué)

在前面的論述中，多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合首先是對學(xué)問、技能的貫穿式相識和理

解。以后漸漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)學(xué)的相識和運(yùn)用的實(shí)力，

應(yīng)當(dāng)是形成正確的數(shù)學(xué)看法所必須要求的。

4.駕馭、運(yùn)用一些基本圖形解決問題

把讓學(xué)生駕馭一些重要的圖形作為教學(xué)彳王務(wù)，貫穿在義務(wù)教化階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。

例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等。在教學(xué)中要有意識地強(qiáng)化對基

本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)覺、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)

中關(guān)注的目標(biāo)。

數(shù)據(jù)分析觀念

一、數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義

在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中，將數(shù)據(jù)分析觀念說明為："了解在現(xiàn)實(shí)生活中有很多問

題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查探討，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出推斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對于同樣的

數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，須要依據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性,

一方面，對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中

發(fā)覺規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。"

在這段表述中，點(diǎn)明白兩層意思。第一，點(diǎn)明白統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。"數(shù)據(jù)是信息的載

體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖象，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而

統(tǒng)計學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝大J其次，點(diǎn)明白數(shù)據(jù)分析觀念的三

個重要方面的要求：體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；依據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體

驗(yàn)隨機(jī)性。這三個方面也正體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率獨(dú)特的思維方法。

二、對數(shù)據(jù)分析觀念要求的分析

1.體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息

統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。義務(wù)教化的重目標(biāo)是培育適

應(yīng)現(xiàn)代生活的合格公民。而在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代社會里，充著大量的數(shù)據(jù)，須要人們面

對它們作出合理的決策。因此，數(shù)據(jù)分析觀念的首要方面是“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題應(yīng)當(dāng)

先做調(diào)查探討，收集數(shù)據(jù)通過分析作出推斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息。"不妨看《課程標(biāo)海2024

年版)》中的一個例子。

例3《新年聯(lián)歡會打算買水果,調(diào)查班級同學(xué)最喜愛吃的水果，設(shè)計購買方案。

［說明］借助學(xué)生身邊的例子，體會數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對于決策的作用。此例可以舉一反三。

教學(xué)中可作如下設(shè)計：

(1)全班同學(xué)探討確定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜愛吃的一種或幾

種水果，或者其他的原則.

(2)激勵學(xué)生探討收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采納一個同學(xué)提案、贊同舉手的方法；可以

實(shí)行填寫調(diào)查表的方法；可以采納全部提案后同學(xué)輪番在自己同意的盒里放積木的方法等等。

必需事先約定，每位同學(xué)最多可以同意幾項(xiàng)。

(3)收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定確定購買水果的方案。

要依據(jù)學(xué)生探討的實(shí)際狀況進(jìn)行敏捷處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原

則。

在這個例子中不難看出，首先須要設(shè)計合適的例子，激勵學(xué)生收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)

據(jù)，從而作出決策和推斷。并在此基礎(chǔ)上，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息，體會數(shù)據(jù)分析的價值C

2.依據(jù)問題的背景選擇合適的方法

"統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們依據(jù)自己的理

解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果……因此，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的推斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好、壞’，

從這個意義上說，統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)?！?/p>

為了使學(xué)生對此有所體會，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》提出了數(shù)據(jù)分析觀念其次方面的內(nèi)

涵——"了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，須要依據(jù)問題的背景選擇合適的方法。"

這里不妨看一下《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中對于例38的說明：”條形統(tǒng)計圖有利于直觀了

解不同高度的學(xué)生數(shù)及其差異;扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及

其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高改變的狀況，預(yù)料將來身高改變趨勢。”因

此須要我們依據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖?？傊?，”統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的推斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好、壞’"，

而不是"對、錯"。

3.通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性

我們知道，推斷性數(shù)據(jù)分析的目的是要通過數(shù)據(jù)來推想產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景，稱這個背景為

總體.我們假定總體是未知的,我們的目的是通過樣原來推斷總體.而在調(diào)查或者試驗(yàn)之前，我

們不行能知道數(shù)據(jù)的詳細(xì)取值。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不

一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機(jī)性的由來。

在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中將"通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性”作為數(shù)據(jù)分析觀念內(nèi)涵的

第三方面。數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是

不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)覺規(guī)律。舉一個《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》

中的例子（例40）:袋中裝有4個紅球和1個白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一

樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖擺勻稱后再摸），

從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)覺一些規(guī)律比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。

再舉一個例子（例22）,學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所須要的時間，假如把記錄

時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中須要的時間是不一樣的，’這可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)

性；更進(jìn)一步，還可讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得

到許多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道"也許"須要多少時間。

運(yùn)算實(shí)力

一、對運(yùn)算實(shí)力的相識

依據(jù)肯定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結(jié)果的過程稱為運(yùn)算。

能夠根據(jù)肯定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算稱為運(yùn)算技能。不僅會依據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，

而且理解運(yùn)算的算理,能夠依據(jù)題目條彳牛尋求正確的運(yùn)算途徑，稱為運(yùn)算實(shí)力。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》指出：運(yùn)算實(shí)力主要是指能夠依據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)

算的實(shí)力。培育運(yùn)算實(shí)力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題，

運(yùn)算實(shí)力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)實(shí)力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。在實(shí)

施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，要力求做到擅長分析運(yùn)算條件探究運(yùn)算方向選擇運(yùn)算方法，

設(shè)計運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡潔.換言之，運(yùn)算實(shí)力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作實(shí)力，更

是一種教學(xué)的思維實(shí)力。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》是在總目標(biāo)的四個方面之一的"數(shù)學(xué)思索"中提出運(yùn)算實(shí)力的：

”建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算實(shí)力，發(fā)展形象思維和抽象思維。”

這說明運(yùn)算實(shí)力是數(shù)學(xué)思索的重要內(nèi)涵。不僅如此，運(yùn)算實(shí)力對《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》在

總目標(biāo)中提出的其他三個方面一學(xué)問技能、問題解決和情感看法的目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，同樣是

不行缺少的基本條件。

二、運(yùn)算實(shí)力的培育與發(fā)展

運(yùn)算實(shí)力的培育與發(fā)展是一個長期的過程，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)問的積累和深化。正確理解相關(guān)

的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運(yùn)算技能、發(fā)展運(yùn)算實(shí)力的前提。運(yùn)算實(shí)力的培育與發(fā)展不僅包括運(yùn)算

技能的逐步提高，還應(yīng)包括運(yùn)算思維素養(yǎng)的提升和發(fā)展。在義務(wù)教化階段，運(yùn)算實(shí)力的培育、發(fā)

展要經(jīng)驗(yàn)如下過程：

1.由詳細(xì)到抽象

第一學(xué)段理解萬以內(nèi)的數(shù)，初步相識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算，以及簡潔的分

數(shù)和小數(shù)的加減運(yùn)算。其次學(xué)段相識萬以上的數(shù)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），

小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），了解并初步應(yīng)用運(yùn)算律。第三學(xué)段駕馭有理數(shù)的加、

減、乘、除、乘方及簡潔的混合運(yùn)算；駕馭合并同類項(xiàng)和去括號的法則，進(jìn)行簡潔的整式加法、

減法和乘法運(yùn)算；利用乘法公式進(jìn)行簡潔計算；進(jìn)行簡潔的分式加、減、乘、除運(yùn)算；了解二次

根式（根號下僅限于數(shù)）力口、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡潔四則運(yùn)算；解一

元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；駕馭代人消元法和加減消元法，解二元一次方程

組;用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。

無論是學(xué)習(xí)和駕馭數(shù)與式的運(yùn)算，還是解方程和解不等式的運(yùn)算，一起先總是和詳細(xì)事物相

聯(lián)系的，之后逐步脫離詳細(xì)事物，抽象成數(shù)與式、方程與不等式的運(yùn)算.直至中學(xué)階段進(jìn)行更為

抽象的符號運(yùn)算，如集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，命題的或、且、非等運(yùn)算。運(yùn)算思維的抽象程度，

是運(yùn)算實(shí)力發(fā)展的主要特征之一。

2.由法則到算理

學(xué)習(xí)和駕馭數(shù)與式的運(yùn)算，解方程和解不等式的運(yùn)算，在反復(fù)操練、相互溝通的過程中，不

僅會逐步形成運(yùn)算技能，還會引發(fā)對“怎樣算？怎樣算的好？為什么要這樣算？”等一系列問題

的思索。這是由法則到算理的思索，使運(yùn)算從操作的層面提升到思維的層面，這是運(yùn)算實(shí)力發(fā)展

的重要內(nèi)容。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年扳）》規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。

其次學(xué)段：探究并了解運(yùn)算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加

法的安排律），會應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡便運(yùn)算。了解等式的性質(zhì),能用等式的性質(zhì)解簡潔的方

程。

第三學(xué)段：除了"理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算”外，算理的內(nèi)容和要求進(jìn)

一步強(qiáng)化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“駕馭等式的基本性質(zhì)"；在學(xué)習(xí)不等式解法之前，要求

"探究不等式的基本性質(zhì)"；為此，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》供應(yīng)了例53:小麗去文具店買

鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？

在此例中，不僅給出了具體的解題方案和過程，還指出：這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且

問題是開放的，通過列表詳細(xì)計算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。對于初中的學(xué)生，這個問題是

生活常識，但希望學(xué)生能通過這個例子學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式看待生活中的問題。在一元二次方

程的內(nèi)容中，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》不僅設(shè)置了"能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)

字系數(shù)的一元二次方程"而且增加了"會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩

個實(shí)根是否相等""*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表明不僅要學(xué)習(xí)和駕馭解

一元二次方程的運(yùn)算方法，更要思索和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理.

3.由常量到變量

函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容。函數(shù)概念的引入，運(yùn)篝對象從常量提升到變量。運(yùn)算的內(nèi)容

更加豐富多彩，《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中不僅有"能確定簡潔實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取

值范圍，并會求出函數(shù)值""會利用待定系數(shù)法確定一次的數(shù)的表達(dá)式""會用配方法將數(shù)字系

數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)"

等干脆進(jìn)行運(yùn)算的內(nèi)容；還包括與運(yùn)算親密相關(guān)的內(nèi)容，如："能結(jié)合圖象對簡潔實(shí)際問胚中的

函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析""用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡潔實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系""結(jié)合對函

數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的改變狀況進(jìn)行初步探討""依據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式

y=kx+b(kwO)探究并理解k>0和k探究并理解k>0或k由常量到變量，表明運(yùn)算思維

產(chǎn)生了新的飛躍，運(yùn)算實(shí)力也發(fā)展到一個新的高度。

4.由單向思維到逆向、多向思維

逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個特點(diǎn)。在其次學(xué)段，《課程標(biāo)準(zhǔn)(2024年版)》規(guī)定"在詳細(xì)運(yùn)

算和解決簡潔實(shí)際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系。"在第三學(xué)段，又增加了乘

方與開方的互逆關(guān)系。到中學(xué)階段，更有指數(shù)與對數(shù)、微分與積分等互逆關(guān)系。運(yùn)算的互逆關(guān)系，

是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。

運(yùn)算也是一種推理，在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，"由因?qū)Ч?和"執(zhí)果索因”的

推理模式也是常常要用到的，表現(xiàn)為有效探究運(yùn)算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互

轉(zhuǎn)化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。

在實(shí)施運(yùn)算的過程中，還會遇到多因素的狀況，各個因素相互聯(lián)系，相互制約，又相輔相成，

更加須要不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優(yōu)選用。這是

運(yùn)算思維達(dá)到一個新的高度的重要標(biāo)記，是運(yùn)算實(shí)力的培育與發(fā)展的高級階段。

由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實(shí)施運(yùn)算的過程中，對分析

運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序等各個環(huán)節(jié)都要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行周密的思

索，力求使運(yùn)算符合算理，達(dá)到正確嫻熟、敏捷多樣、合理簡潔，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算思維的優(yōu)化及運(yùn)算實(shí)

力的逐步提高。

推理實(shí)力

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中的推理實(shí)力

1.合情推理與演繹推理

推理實(shí)力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思索（思維）實(shí)力中的一種,因此《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年扳）》

在數(shù)學(xué)思索的目標(biāo)表述中作了明確的要求，指出：要"發(fā)展合情推理和演繹推理實(shí)力"。合情推

理是數(shù)學(xué)家喬治?波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不肯定成立的推理）

的特稱。歸納推理是以個別（或特別）的學(xué)問為前提，推出一般性學(xué)問為結(jié)論的推理。它的思維

進(jìn)程是從特別到一般。根據(jù)它考慮的對象是否完全而又分為完全歸納推理和不完全歸納推理。由

于完全歸納推理考查了推理前提中全部的對象或類，所以若前提成立，結(jié)論也肯定成立，因此完

全歸納推理不是或然的推理而是必定的推理。合情推理中的歸納推理一般指不完全歸納推理。

類比推理是由兩個或兩類思索對象在某些屬性上的相同或相像，推出它所在另一屬性也相同

或相像的一種推理。它是從特別到特別的推理。如由分?jǐn)?shù)類比分式，由分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)得到分式基

本性質(zhì)；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢

達(dá)哥拉斯定理等。類比推理也是一種或然性的推理。

而演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）確定的規(guī)則動身，得到某個詳細(xì)結(jié)

論的推理，它是必定性推理（即只要推理前提真，得到的結(jié)論肯定真）。它的思維進(jìn)程是從一般

到特別。它的基本形式是三段論。

2.合情推理與演繹推理功能不同，相輔相成波利亞很早就留意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面……用

歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但在倉犍過程中的數(shù)學(xué)卻是試驗(yàn)性的歸納科

學(xué)。"因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)當(dāng)有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)覺結(jié)論；用演繹推理驗(yàn)證

猜想，證明結(jié)論。正如《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》所指出的："兩種推理功能不同，相輔相成?！?/p>

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，我們常常會遇到同時采納兩種推理方式來求得問題解決的情形。如這樣

一個例子：

探究過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線的長有什么關(guān)系。

例4教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)這樣的過程：

Q）發(fā)覺結(jié)論。在透亮紙上畫出如圖6-9所示的圖：設(shè)pa,pb是。。的兩條切線，a,b是切

點(diǎn)，讓學(xué)生操作：沿直線op將圖形對折，啟發(fā)學(xué)生思索，或者組織學(xué)生溝通。學(xué)生可以發(fā)覺:

pa=pb,zapo=zbpo

這是通過實(shí)例發(fā)覺圖形性質(zhì)的過程。啟發(fā)學(xué)生由特別到一般，通過合情推理推想出切線長定

理的結(jié)論。

（2）證明結(jié)論的正確性。如圖6-10所示，連接oa和ob。因?yàn)閜a和pb是。。的切線，

則/pao=/pbo=90o，即叩2。和△pbo均為直角三角形。又因?yàn)閛a=ob和op=op,則

rt^pao^rt^pbo,于是有pa=pb,zapo=zbpoo這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式都是探討圖形性質(zhì)的有效工具。

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿意于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)驗(yàn)探

究結(jié)論、提出猜想的活動過程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)覺結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2024

年版）》提出培育合情推理實(shí)力，對培育學(xué)生的創(chuàng)新意識供應(yīng)了支撐。

二、關(guān)于學(xué)生推理實(shí)力培育

在整個義務(wù)教化階段，對學(xué)生推理實(shí)力的培育是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成的一條主線，也是一個

漸漸提升的長期過程。以下幾個方面在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)加以留意。

1,推理實(shí)力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中

這是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》中提出的特別明確的要求。這里的"貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過

程"應(yīng)當(dāng)有這樣幾層含義其一，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)習(xí)內(nèi)容即應(yīng)包括數(shù)與代數(shù)、

圖形與幾何、統(tǒng)計與概率及綜合與實(shí)踐等全部領(lǐng)域內(nèi)容。其二,它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種

活動過程。如在概念教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)從特定對象的本質(zhì)屬性人手，抽象、概括形成概念的過

程，并引導(dǎo)學(xué)生有條理地表述概念定義；在命題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，把握條件、

結(jié)論間的邏輯關(guān)系；在證明教學(xué)中，更要讓學(xué)生遵循證明規(guī)則，通過數(shù)學(xué)推理、證明數(shù)學(xué)結(jié)論。

其三，它也應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，如預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、課堂教學(xué)、自我練習(xí)、測驗(yàn)考試……

在全部的這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，逐步要求學(xué)生做到言必有據(jù)，合乎邏輯。當(dāng)然，"貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

過程”也意味著推理實(shí)力的培育應(yīng)貫穿于三個學(xué)段，合理叉配、按部就班、協(xié)調(diào)發(fā)展。

2.通過多樣化的活動，培育學(xué)生的推理實(shí)力

反思傳統(tǒng)教學(xué)，對學(xué)生推理實(shí)力的培育往往被認(rèn)為就是加強(qiáng)邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就

是通過習(xí)題演練以駕馭更多的證明技巧。明顯，這樣的相識是有局限性的?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2024

年版）》強(qiáng)調(diào)通過多樣化的活動來培育學(xué)生的推理實(shí)力。如《課程標(biāo)準(zhǔn)（2024年版）》提出：

"在視察、操作等活動中，能提出一些簡潔的猜想"（第一學(xué)段），"在視察、試驗(yàn)、猜想、驗(yàn)

證等活動中，發(fā)展合情推理實(shí)力”（其次學(xué)段），"在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理與

演繹推理的實(shí)力"（第三學(xué)段）。老師