§1.7定積分的簡單應(yīng)用第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.能利用定積分解決物理中的變速直線運動的路程、變力做功問題.學(xué)會用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，進(jìn)一步體會定積分的價值.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點一定積分在幾何中的應(yīng)用思考怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答案

求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可.梳理

(1)當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)>0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝

.(2)當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)<0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝

.(3)當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)>g(x)>0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)和曲線y＝f(x)，y＝g(x)所圍成的平面圖形的面積S＝

.(如圖)知識點二變速直線運動的路程思考變速直線運動的路程和位移相同嗎？答案

不同.路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念.梳理

(1)當(dāng)v(t)≥0時，求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用

dt求解.(2)當(dāng)v(t)<0時，求某一時間段內(nèi)的位移用

dt求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－

dt.做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即

.知識點三變力做功問題思考恒力F沿與F相同的方向移動了s，力F做的功為W＝Fs，那么變力做功問題怎樣解決？梳理如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所做的功為

.2.在求變速直線運動的路程時，物體運動的速度一定為正.(

)3.在計算變力做功時，不用考慮力與位移的方向.(

)[思考辨析判斷正誤]×√×題型探究類型一利用定積分求面積解析答案因此，所求圖形的面積為S＝S曲邊梯形OABC－S曲邊梯形OABD反思與感悟求由曲線圍成圖形面積的一般步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形.(2)找出范圍，確定積分上、下限.(3)確定被積函數(shù).(4)將面積用定積分表示.(5)用微積分基本定理計算定積分，求出結(jié)果.·解答跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成的圖形的面積.所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點坐標(biāo)為(－3,5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為S，＝解答解

畫出圖形，如圖所示.得交點坐標(biāo)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)，反思與感悟兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的坐標(biāo)，定出積分上、下限，若積分變量選x運算較煩瑣，則積分變量可選y，同時要更換積分上、下限.解答跟蹤訓(xùn)練2求由曲線y＝x2，直線y＝2x和y＝x所圍成的圖形的面積.類型二定積分在物理中的應(yīng)用例3一點在直線上從時刻t＝0s開始以速度v＝t2－4t＋3(v的單位：m/s)運動，求：(1)該點在t＝4s時的位置；解答解答(2)該點前4s走過的路程.反思與感悟

(1)求變速直線運動的物體的路程(位移)方法①用定積分計算做直線運動物體的路程，要先判斷速度v(t)在時間區(qū)間內(nèi)是否為正值，若v(t)>0，則運動物體的路程為s＝

v(t)dt；若v(t)<0，則運動物體的路程為s＝

|v(t)|dt＝－

v(t)dt；②注意路程與位移的區(qū)別.(2)求變力做功的方法步驟①首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移；②利用變力做功的公式W＝

F(x)dx計算；③注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳.解析跟蹤訓(xùn)練3一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長的長度成正比.若20N的力能使彈簧伸長3cm，則把彈簧從平衡位置拉長13cm(在彈性限度內(nèi))時所做的功W為答案√解析

設(shè)拉伸彈簧所用的力為FN，彈簧伸長的長度為xm，則F＝kx.達(dá)標(biāo)檢測12345解析答案1.由曲線y＝x2與直線y＝2x所圍成的平面圖形的面積為√解析

如圖，畫出曲線y＝x2和直線y＝2x的圖象，則所求面積S為圖中陰影部分的面積.所以A(2,4)，O(0,0).123452.一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的單位：N，位移單位：m)的作用下沿與力F(x)相同的方向由x＝5m運動到x＝10m，則F(x)做的功為A.925J B.850JC.825J D.800J√解析

依題意F(x)做的功是12345解析答案12345解析答案1－ln2所以圍成的封閉圖形的面積S1等于四邊形ABCD的面積減去S2的面積，即S1＝1－ln2.答案解析123454.一輛汽車的速度—時間曲線如圖所示，則汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為____m.90012345解析

由速度—時間曲線得所以汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為＝150＋750＝900m.解答123455.求由拋物線y＝x2－1，直線x＝2，y＝0所圍成的圖形的面積.解

作出草圖如圖所示，所求圖形的面積為圖中陰影部分的面積.由x2－1＝0，得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是(－1,0)和(1,0)，因此所求圖形的面積為＝12345對于簡單圖形的面積求解，