課程基本信息課例編號2020QJ10SXRA018學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題函數(shù)的單調(diào)性教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)人員姓名單位授課教師盛曉艷北京市東直門中學(xué)指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，會用定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性；2.經(jīng)歷從定性到定量的概念形成過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的一般過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；3.通過構(gòu)建一個(gè)從具體到抽象，從特殊到一般的過程，使學(xué)生歸納概括出用嚴(yán)格數(shù)學(xué)語言精確刻畫單調(diào)性的方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．教學(xué)難點(diǎn)：符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用．教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘（一）知識引入教師引導(dǎo)：我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這樣我們可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認(rèn)識．那么什么是函數(shù)性質(zhì)呢？總體而言，函數(shù)性質(zhì)就是“變化中的不變性，變化中的規(guī)律性”．研究函數(shù)性質(zhì)，就是要學(xué)會在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請大家回顧初中學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，我們通過什么來研究它們的性質(zhì)呢？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，師生共同得到結(jié)論：通過圖象研究函數(shù)性質(zhì).問題1：請看下面的函數(shù)圖象，從中能發(fā)現(xiàn)什么變化中的規(guī)律？師生活動(dòng)：教師利用PPT展示例子，學(xué)生觀察圖象并回答問題．學(xué)生的回答可能涉及很多方面（如升降變化，對稱性，最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等），教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖象從左到右升降變化的特點(diǎn)．追問：函數(shù)圖象所反映的這些特點(diǎn)就是函數(shù)的性質(zhì)．你能回顧一下初中的知識，用定性的方法描述前兩個(gè)圖象從左到右的升降變化嗎？即隨的增大是如何變化的？預(yù)設(shè)：第一個(gè)圖象從左到右是上升的，即在上，隨的增大而增大；第二個(gè)函數(shù)在及兩個(gè)區(qū)間上，從左到右圖象分別上升，隨的增大而增大；在及兩個(gè)區(qū)間上，從左到右圖象分別下降，隨的增大而減小．教師指出：本節(jié)課我們繼續(xù)研究這一性質(zhì)，我們要用定量的方法刻畫函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規(guī)律．設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例，使學(xué)生感受研究函數(shù)性質(zhì)的必要性；結(jié)合初中已學(xué)的定性方法刻畫函數(shù)單調(diào)性的知識，明確學(xué)習(xí)任務(wù)．12分鐘（二）函數(shù)單調(diào)性的定量刻畫1.具體實(shí)例的分析問題2：初中我們研究過二次函數(shù)，現(xiàn)在我們以函數(shù)為例，我們知道在區(qū)間上，隨的增大而減?。垎柲闶窃鯓永斫狻半S的增大而減小”的？你能說說它的數(shù)量特征嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并交流．設(shè)計(jì)意圖：從刻畫數(shù)量特征的角度進(jìn)行描述，促使學(xué)生深入思考單調(diào)性，從定性描述轉(zhuǎn)向定量刻畫．追問1：“增大了”如何用符號語言表示？“對應(yīng)的函數(shù)值減小”又該如何表示？觀察下表，你能給出具體的描述嗎？…-5-4-3-2-1……2516941…師生活動(dòng)：一般地，學(xué)生會從表格中看到具體數(shù)值的變化規(guī)律，如：當(dāng)從-5增大到-4，函數(shù)值從25減小到16；當(dāng)從-4增大到-3，函數(shù)值從16減小到9；當(dāng)從-3增大到-2，函數(shù)值從9小到4；……追問2：這樣的變化過程能寫的完嗎？你能借助字母符號，歸納出上述具體數(shù)值變化的共同點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：先讓學(xué)生從具體到抽象嘗試概括，教師進(jìn)行啟發(fā)，最后得到符號表示“只要，就有”．追問3：這里對，有什么要求？只取上的某些數(shù)對是否可以？你能舉例說明嗎？師生活動(dòng)：讓學(xué)生展開討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)，并舉出反例進(jìn)行說明，要讓學(xué)生明確，應(yīng)該是區(qū)間上的所有數(shù)對，．預(yù)設(shè)反例：如圖象所示函數(shù)，我們可以找到、，但很明顯函數(shù)在區(qū)間上并不單調(diào)遞減．追問4：“所有”又該如何說明？既然“所有”不易操作，可以用什么量詞來代替“所有”呢？你能嚴(yán)格的表達(dá)出來嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生說出用“任意”代替“所有”，幫助學(xué)生體會用“任意”處理“無限”的思想．預(yù)設(shè)：任取，，只要，就有．教師總結(jié)：我們借助數(shù)學(xué)符號語言，給出了一個(gè)與“無限”相關(guān)的變化規(guī)律的定量描述，即任取，，把“無窮”問題轉(zhuǎn)化為了可操作的有限過程，這就是數(shù)學(xué)抽象的力量．追問5：你能說出為什么嗎？教師引導(dǎo)：要對兩個(gè)函數(shù)值比大小，實(shí)質(zhì)上是不等式的代數(shù)證明，具體證明方法我們稍后會說明．追問6：對于函數(shù)，你能模仿上述方法，給出“在區(qū)間上，隨的增大而增大”的符號語言刻畫嗎？設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，其核心是通過從具體到抽象的過程，讓學(xué)生學(xué)會用嚴(yán)格的符號語言刻畫“在區(qū)間上，當(dāng)增大時(shí)，相應(yīng)的隨之減小”．從圖象到定性再到定量的不斷精確化的過程中，通過問題串，設(shè)法引出“任意”，引導(dǎo)學(xué)生體會用“任意”刻畫“無限”的力量．練習(xí)：請你模仿上述過程，用嚴(yán)格的符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性．2.單調(diào)性定義的抽象問題3：請你歸納以上兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性的刻畫方法，給出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的符號表述．師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立完成并交流，再由教師給出嚴(yán)格的單調(diào)性定義表述．定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間．如果，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)．再由學(xué)生類比給出單調(diào)遞減及減函數(shù)的定義．3.單調(diào)性定義的辨析問題4：函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)（即增函數(shù)）例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？師生活動(dòng)：先由學(xué)生思考并交流，教師幫助完善．預(yù)設(shè)1：如函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，描述函數(shù)單調(diào)性，要說清哪個(gè)函數(shù)、在哪個(gè)區(qū)間上，單調(diào)怎樣．預(yù)設(shè)2：允許函數(shù)在某些區(qū)間上單調(diào)遞增，在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減，只有在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增才能叫增函數(shù)．預(yù)設(shè)3：當(dāng)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能隨意用并集．如反比例函數(shù)，我們不能說它在單調(diào)遞減，因?yàn)榭梢哉业饺纾@樣的反例，不滿足單調(diào)遞減的定義，所以只能說函數(shù)在及上分別單調(diào)遞減．設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)辨析是為了區(qū)分“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”、“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”等概念，也是為了引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，并不意味著函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)的．8分鐘（三）單調(diào)性定義的簡單應(yīng)用例1根據(jù)定義，研究函數(shù)的單調(diào)性．師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，共同討論研究思路，教師給出嚴(yán)格的表述．教師強(qiáng)調(diào)：（1）研究一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，需要利用單調(diào)性的定義，考察在定義域內(nèi)的哪些區(qū)間上單調(diào)遞增、在哪些區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）具體的操作方法是，在條件下，考察與的大小關(guān)系，比大小可以做差，這里往往要用到不等式的性質(zhì)和代數(shù)變形．設(shè)計(jì)意圖：例1不僅是讓學(xué)生熟悉利用定義研究函數(shù)單調(diào)性的過程，也是對初中階段從圖象中得到的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明．此外，這里將“比較與的大小”轉(zhuǎn)化為“比較與0的大小”的做法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“化繁為簡”“化難為易”的轉(zhuǎn)化與化歸思想．例2物理學(xué)中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時(shí)，壓強(qiáng)將增大，試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明．師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考“體積減小時(shí)，壓強(qiáng)增大”的含義，建立物理意義與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，明確只要證明函數(shù)（）是減函數(shù)即可．再讓學(xué)生獨(dú)立給出證明，教師完善．設(shè)計(jì)意圖：例2是一個(gè)物理學(xué)中的公式，本例要使學(xué)生體會函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)的研究是將一類運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象抽象成一類函數(shù)，通過研究這一類函數(shù)的性質(zhì)而獲得事物的變化規(guī)律．注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性．追問：你能由例1、例2的解題過程，歸納一下用單調(diào)性定義研究或證明一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的基本步驟嗎？師生活動(dòng)：師生共同歸納出證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的基本步驟：第一步，在區(qū)間上任取兩個(gè)自變量的值，，并規(guī)定；第二步，計(jì)算，將分解為若干個(gè)可以直接確定符號的式子；第三步，確定的符號．若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生規(guī)范證明過程．2分鐘（四）課堂小結(jié)問題5：請同學(xué)們回答下列問題：（1）什么叫函數(shù)的單調(diào)性？你能舉出一些具體例子嗎？（2）證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，應(yīng)把握好哪些關(guān)鍵問題？（3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你對函數(shù)性質(zhì)的研究方法有什么體會？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，教師進(jìn)行歸納．設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生