重難點07求圓的方程八大題型匯總技巧一.幾何法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．技巧二待定系數法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．技巧三．標準方程法確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．技巧四．圓系方程1.過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；2.過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)．題型1圓的標準方程法【例題1】（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高級中學校考期末）圓心在x軸負半軸上，半徑為4，且與直線x+3A．(x+3)2+yC．(x?13)2+y【答案】A【分析】根據題意，設圓心為坐標為(m，0)(m<0)，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線x+3y?5=0的距離d=4，解得【詳解】根據題意，設圓心為坐標為(m，0),(m<0)，圓的半徑為4，且與直線x+3則圓心到直線x+3y?5=0的距離解得：m=?3或13（舍)，則圓的坐標為(?3,0)，故所求圓的方程為(x+3)2故選：A【變式1-1】1.（2023春·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）以C1,1為圓心，且經過M2,3的圓的方程是【答案】x?1【分析】設出圓的標準方程，把M2,3【詳解】因為圓心C1,1，故可設圓的標準方程為x?1因為點M2,3在圓上，所以r所以所求圓的方程為x?12故答案為：x?1【變式1-1】2．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學校考期末）已知點A(4,0),O(0,0),B(0,?3)，則△AOB的內切圓的方程為．【答案】(x?1)【分析】根據給定條件，確定△AOB內切圓的圓心位置，設出圓心坐標，再借助點到直線的距離公式求解作答.【詳解】依題意，△AOB內切圓的圓心C在第四象限，并且到x、y軸距離相等，令此圓半徑為r(r>0)，則圓心C(r,?r)，直線AB方程為：x4+y?3=1，即3x?4y?12=0因此r=|3r?4(?r)?12|32+(?4)顯然r<|OB|=3，于是r=1，圓心C(1,?1)，所以△AOB內切圓的方程為(x?1)2故答案為：(x?1)【變式1-1】3.（2022秋·甘肅蘭州·高二蘭化一中?？计谀╈巢瞧趼菪€被譽為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數：1，1，2，3，5，8，13，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如圖為該螺旋線在邊長為1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為．【答案】x+4【分析】根據題意，分析要求的圓的圓心和半徑，由圓的標準方程分析即可得出答案.【詳解】根據題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑r=5+8=13，其圓心為?4,2，（根據題中圖象規(guī)律發(fā)現(xiàn)），則其標準方程為x+42故答案為：x+42【變式1-1】4.（2022秋·廣東珠海·高二珠海市第一中學?？计谀┑聡鴶祵W家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點A、B和在直線l上的動點P，當l與△APB的外接圓相切時，∠APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x軸正半軸上一動點，當P對線段AB的視角最大時，△APB的外接圓的方程為（

）A．(x?4)2+(y?4)C．(x?5)2+(y?4)【答案】D【分析】先由條件確定點P的坐標，再求△APB外接圓的方程.【詳解】設P(p,0),(p>0)，則k1=ktan∠APB=tan=?2p+8p1+(?2p當且僅當p=16p時成立,解得p=4，設△APB的外接圓的方程為(x+a)2則a2+(2+b)2=r2△APB的外接圓的方程為(x?4)2故選：D．

【變式1-1】5.（2022秋·廣西欽州·高二浦北中學統(tǒng)考期末）已知直線l：x?2y+4=0與圓C：x2(1)求圓心為D?3,3(2)求經過點A和點B且面積最小的圓的方程.【答案】(1)x+32(2)(x+2)2【分析】（1）聯(lián)立直線l與圓C的方程，求出交點A(?4,0)，B(0,2).求出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）當線段AB為圓的一條直徑時，面積最小.求出AB=25以及線段【詳解】（1）解：聯(lián)立直線l與圓C的方程x?2y+4=0x2+解得y1=0，y2=2，代入直線方程可得x1=?4，又圓心為D?3,3則圓D的r=DA所以圓D的方程為x+32（2）解：要使圓的面積最小，則應使半徑最小.當線段AB為圓的一條直徑時，面積最小.AB=?4?02又圓心即線段AB的中點?2,1，所以圓的方程為(x+2)2【變式1-1】6.（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期末）已知△ABC中，點A?1,5，AC邊上中線所在直線l1的方程為8x+y?12=0，AB邊上的高線所在直線l2(1)求點B和點C的坐標：(2)以M1,0為圓心作一個圓，使得A、B、C【答案】(1)B2,?4，(2)x?1【分析】（1）求出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB和直線l1的方程可求得點B的坐標，設點Cm,n，根據點C在直線l2上以及線段AC的中點在l1上可得出關于m、（2）計算出AM、BM、CM，比較大小后可得出圓M的半徑，即可得出圓M的方程.【詳解】（1）解：因為AB邊上的高線所在直線l2的方程為x?3y+6=0且直線l2的斜率為13，則kAB=?3，故直線AB的方程為聯(lián)立直線AB和直線l1的方程可得3x+y?2=08x+y?12=0，解得x=2y=?4設點Cm,n，則線段AC的中點為D由題意可得8×m?12+n+52（2）解：因為AM=?1?12CM=3?12故圓M的半徑為BM=17，所以，圓M的方程為題型2圓的一般方程法【例題2】)(多選)（2022秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A1,1，B?2,3，A．AC邊上的高所在直線的方程7x+4y+2=0；B．△ABC的外接圓的方程為x2C．過A作直線l與線段BC相交，則直線l斜率的取值范圍為?2D．△ABC的面積為132【答案】BCD【分析】對選項A，利用直線垂直時斜率的關系可求得高線方程；對選項B，用待定系數求圓的方程；對選項C，根據直線l從點B到點C的過程中斜率的變化求得；對選項D，△ABC的面積利用點到直線的距離求得△ABC中AC邊的高，然后根據面積公式即可.【詳解】對選項A，直線AC的斜率為：k則AC邊上的高的斜率為：?則高的方程為：y?3=?23故A不正確；對選項B，設△ABC的外接圓的方程為x則有：1+1+D+E+F=0解得：D=3，E=?1，F(xiàn)=?4所以△ABC的外接圓的方程為：x故B正確；對選項C，kAB=則過點A作直線l與線段BC相交時，則直線l斜率的取值范圍為：?故C正確；對選項D，易知AC所在直線的方程為：3x?2y?1=0點B到直線AC的距離為：?2×3?2×3?1又AC則△ABC的面積為：13故D正確故選：BCD【變式2-1】1.（2022秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知△ABC的三個頂點分別是點A（4，0），B(?2,0)，C(?2,2)，則△ABC的外接圓的方程為．【答案】(x?1)【分析】令外接圓圓心O(x,y)，而AB中點為D(1,0)、BC中點為E(?2,1)，由OD?AB=【詳解】令△ABC的外接圓圓心O(x,y)，又A（4，0），B(?2,0)，∴AB中點為D(1,0)，則OD?AB=?6(1?x)=0BC中點為E(?2,1)，則OE?BC=2(1?y)=0∴圓心O(1,1)，又外接圓的半徑R=|OA∴△ABC的外接圓的方程為(x?1)2故答案為：(x?1)2【變式2-1】2.（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知△ABC的頂點坐標分別是A3,0，B1,2，(1)求△ABC外接圓的方程；(2)若直線l：3x+4y?8=0與△ABC的外接圓相交于M，N兩點，求∠MCN.【答案】(1)(x?1)(2)∠MCN=60°【分析】（1）設出圓的一般方程，代入點A,B,C，求出方程組的解，即可得到本題答案；（2）先求出圓心到直線MN的距離，即可得到∠PMN=30°，然后求出∠MPN，即可得到本題答案.【詳解】（1）設圓的一般方程為：x2+y代入點A(3,0),B(1,2),C(?1,0)得，9+3D+F=01+4+D+2E+F=0所以圓的一般方程為：x2標準方程為：(x?1)2（2）圓心P(1,0)到直線l:3x+4y?8=0的距離d=3×1+4×0?8又因為PM=2，在等腰△PMN中，∠PMN=30°所以圓心角∠MPN=2×60°=120°，則∠MCN=60°.【變式2-1】3.（2023秋·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）已知△ABC的頂點分別為A(?1,7),B(?4,?2),C(3,?1)．(1)求△ABC外接圓的方程；(2)設P是直線l:4x?3y?25=0上一動點，過點P作△ABC外接圓的一條切線，切點為Q，求PQ最小值及點P的坐標．【答案】(1)x(2)PQmin=2【分析】（1）設出圓的一般方程將A,B,C三點坐標代入，利用待定系數法即可求得△ABC外接圓的方程；（2）根據切線長公式可知，當P與圓心之間的距離最小時，切線長PQ最小，根據點到直線距離公式和兩直線垂直關系即可求得最小值及點P的坐標.【詳解】（1）設△ABC外接圓的方程為x2將A,B,C分別代入圓方程可得50?D+7E+F=020?4D?2E+F=010+3D?E+F=0，解得所以△ABC外接圓的方程為x2（2）△ABC外接圓(x+1)2+(y?2)2=25因為PQ=PM2?R當PM⊥l時，PM最小，所以PMmin所以PQmin設P(x0,解得x0即點P的坐標為P23【變式2-1】4.（2023秋·廣東深圳·高二深圳大學附屬中學?？计谀┚匦蜛BCD的兩條對角線相交于點M2,0，AB邊所在直線的方程為x?3y?6=0，AC所在直線的方程為x?y?2=0(1)求BC邊所在直線的方程；(2)求經過M，A，B三點的圓的方程.【答案】(1)3x+y?14=0(2)x【分析】（1）聯(lián)立兩條直線得點A0,?2，由C與A關于點M對稱得C4,2，由BC與AB垂直，得（2）聯(lián)立直線方程解出B點坐標，設圓的一般方程，將M，A，B坐標分別代入，解出圓的方程.【詳解】（1）由x?3y?6=0x?y?2=0，得x=0y=?2，則因為矩形ABCD兩條對角線相交于M(2,0)，所以C與A關于點M對稱，設Cx0,y0，所以x因為AB邊所在直線的方程為x?3y?6=0，斜率為13BC與AB垂直，所以直線BC的斜率為?3，則BC邊所在直線的方程為y?2=?3×x?4，即3x+y?14=0（2）由x?3y?6=03x+y?14=0，解得x=245y=?2設所求圓的方程為x2+y則4+2D+F=04?2E+F=057625則所求圓的方程為：x2題型3數形結合法【例題3】（2022秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）過點A(?6,2)，B(2,?2)且圓心在直線x?y+1=0上的圓的方程是（

）A．(x?3)2+(y?2)C．(x?3)2+(y?2)【答案】B【分析】由題設得AB的中垂線方程為y=2(x+2)，其與x?y+1=0交點即為所求圓心，并應用兩點距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.【詳解】由題設，AB的中點坐標為(?2,0)，且kAB∴AB的中垂線方程為y=2(x+2)，聯(lián)立x?y+1=0，∴{y=2(x+2)x?y+1=0，可得{x=?3y=?2，即圓心為∴圓的方程是(x+3)2故選：B【變式3-1】1.（多選）（2022秋·江蘇連云港·高二期末）若圓C的半徑為13，且直線2x+3y?10=0與圓C相切于點P2,2A．x2+y?1C．x+42+y?5【答案】BD【分析】由直線與圓相切及點在圓上，結合待定系數法得到方程組，解之即可.【詳解】根據題意，設圓的標準方程為(x?a)2+y?b過圓心且過切點的直線與直線2x+3y?10=0垂直，得b?2a?2??2由點P2,2在圓上得2?a2將①②聯(lián)立得3a?2b=22?a2+2?b2故所求圓的方程為x2+y+1故選：BD．【變式3-1】2.（多選）（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）已知圓C和直線3x?y=0及x軸都相切，且過點3,0A．x?32+y?C．x+32+y?【答案】AB【分析】首先設出圓的方程，根據直線與圓相切以及圓經過的點，列出等量關系即可求解.【詳解】由題意設所求圓的方程為x?a2+(y?b)2=r2依據其他條件則有3?a2+b2=x?32+故選：AB【變式3-1】3.（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學?？计谀┮阎cA-2,2，B6,4，H5,2(1)求點C的坐標；(2)求△ABC【答案】(1)C(2)(【分析】（1）先求出直線BH，AH的斜率，則可求出直線AC的斜率和直線BC的傾斜角，求出直線（2）先得到CB邊和AC邊的中垂線方程，進行聯(lián)立得圓心坐標，再利用兩點距離公式算出半徑，即可得到答案【詳解】（1）因為點A-2,2，B6,4，所以kBH=2-4∴直線AC的方程為y-2=-12又∵kAH=0，∴BC所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為聯(lián)立直線AC與BC的方程得點C的坐標為C6，（2）CB邊的中垂線方程為y=1因為kAC=-12，所以因為AC邊的中點為(2,0)，故AC邊的中垂線的方程為：y=2所以聯(lián)立兩條中垂線得y=1y=2所以圓心坐標為(52,1)則△ABC的外接圓的標準方程為(【變式3-1】4.（2023春·上海浦東新·高二校考期末）已知圓C:(x?1)2+(y?1)2=4，P為直線l:2x+y+2=0上的動點，過點P作圓C的切線A．x?122C．x2+y?【答案】C【分析】先確定△PAC的面積最小時P點坐標，再由△PAC是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，PA⊥AC，半徑AC=2，圓心C(1,1)，所以S△PAC=12PA?AC=PA=PC2?AC2=PC2?4，要使△PAC的面積最小，即PC最小，PC的最小值為點C(1,1)到直線l:2x+y+2=0的距離2+1+222+12=5，即當P點運動到PC⊥l時，S△PAC最小，直線l的斜率為?2，此時直線PC故選：C.【變式3-1】5.（2021春·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）已知A1,1，B3,3，動點C在直線l：（1）設△ABC內切圓半徑為r，求r的最大值：（2）設△ABC外接圓半徑為R，求R的最小值，并求此時外接圓的方程．【答案】（1）rmax=10?2【分析】（1）利用面積相等可得r=822（2）AB中垂線方程為y=?x+4，AC中垂線方程為y?m?32=【詳解】（1）因為kAB=kl=1?AB//l，A所以三角形△ABC的面積S=1所以S=r=822設A關于l的對稱點為A'p,q則p?1q?1=?1q+1BC+AC最小為rmax（2）AB中垂線方程為y=?x+4AC中垂線方程為y?m?32R設t=RRmax=524，此時m=4【變式3-1】6.（2022秋·浙江溫州·高二溫州中學校考期末）已知直線l1:x?y+3=0和l2:x+y+1=0的交點為A，過A且與x軸和y軸都相切的圓的方程為，動點B，C分別在l1和l2上，且|BC|=2，則過【答案】(x+1)2+(y?1)2【分析】由A點坐標確定圓位置，設出圓方程后代入點的坐標可得圓方程，分析動圓圓心的軌跡，從而可得動圓掃過的區(qū)域及其面積．【詳解】根據題意，由x?y+3=0x+y+1=0，解得x=?2y=1，可得直線l1:x?y+3=0和顯然，點A位于第二象限．過A且與x軸和y軸都相切的圓的方程為(x?a)2+(y+a)把點A的坐標代入，可得(?2?a)2+(1+a)2=故要求的圓的方程為(x+1)2+(y?1)直線l1:x?y+3=0和l2:x+y+1=0，有1×1+(?1)×1=0，則直線又由兩直線的交點為A，動點B，C分別在l1和l2上，且則過A，B，C三點的動圓的圓心為BC的中點，其半徑r=12×|BC|=1，即動圓的圓心到A則動圓的圓心在以A為圓心，半徑r=1的圓上，故動圓掃過的區(qū)域的面積S=π×2故答案為：(x+1)2+(y?1)2=1題型4已知解析式型【例題4】（2023春·四川達州·高二?？计谥校┓匠蘹?1=A．一個圓 B．兩個半圓 C．兩個圓 D．半圓【答案】A【分析】方程x?1=1?(y?1)【詳解】由方程x?1=1?(y?1)即(x?1)2故選：A.【變式4-1】1.（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預測）數學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線C：x2A．2π B．4+π C．2+π【答案】C【分析】判斷曲線的對稱性，結合當x≥0,y≥0時，曲線即(x?1【詳解】以?x,?y代換x,y，方程x2故曲線C：x2當x≥0,y≥0時，可得x2+y可得此時曲線是以C(12,由此作出曲線C的圖象如圖所示，所以曲線C圍成的圖形的面積是2×故選：C【變式4-1】2.（2021秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┮阎€C:x+22+A． B．C． D．【答案】B【分析】利用特值法，令x=0即可得解.【詳解】令x=0，則4+y2?故曲線C經過點0,0，故選：B.【變式4-1】3.（多選）（2023·全國·高二專題練習）若曲線E是由方程x?1=1?yA．曲線E關于直線y=±x對稱B．曲線E圍成的圖形面積為π+4C．若點x0,y0在曲線ED．若圓x2+y2=【答案】AD【分析】對條件作代數變換得到E是由4個半圓組成，作曲線E的圖形，根據圖形的性質逐項分析.【詳解】由x?1=1?y2，∵1?當x≥1時，x?1=1?y2,x?1同理可得E的其他部分，分別為圓心為?1,0半徑為1的半圓，圓心為0,1半徑為1的半圓，圓心為0,?1半徑為1的半圓；作曲線E的圖形如下圖：圖中虛線部分ABCD是邊長為2的正方形；對于A，顯然圖形關于y=±x對稱，正確；對于B，圖形的面積=2×2+4×1對于C，由圖可知x0的取值范圍是?2,2對于D，覆蓋住曲線E的圓的半徑的最小值顯然是2，正確；故選：AD.【變式4-1】4.（2022春·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）方程x?1=4?y?1【答案】4【分析】由x?1≥0確定x的范圍，x?1=4?【詳解】由題，x?1≥0，即x≥1或x≤?1x?1=4?y?1當x>1時，即x?12當x<?1時，即x+12綜上，曲線的周長剛好為半徑為2的圓周，即4π故答案為：4【變式4-1】5.（2023·北京·高三專題練習）曲線x2+2x|y|+2y2?1=0【答案】x軸[?1,1].【分析】以?y代替y，方程不變，可得曲線的對稱軸方程，由方程可得x+|y|2【詳解】以?y代替y，方程不變，可得曲線的一條對稱軸是x軸；由x2+2x|y|+2y2?1=0，可得x+|y|即y的取值范圍是[?1,1].故答案為：x軸；[?1,1]題型5直徑公式法【例題5】（2023秋·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）以A0,0，BA．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】由中點坐標公式求出圓心坐標，兩點間距離公式求出圓的直徑，得解.【詳解】∵A0,0，B∴AB的中點坐標為1,0，∴以AB為直徑的圓的圓心為1,0，又AB=2∴圓的半徑為1，∴以AB為直徑的圓的方程為x?12+y故選：A.【變式5-1】1.（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點P3,1、Q5,?3，則以PQ為直徑的圓的方程是【答案】x?4【分析】根據條件求出圓心坐標及圓的半徑即可.【詳解】∵P3,1、Q5,?3,∴PQ的中點坐標為又|PQ|=(5?3)2+(?3?1)則所求圓的方程為x?42故答案為：x?42【變式5-1】2.(多選)（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為B．過不同兩點Ax1C．線段AB的兩個端點Ax1,y1和D．經過點2,1且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y?3=0【答案】ABD【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關系，直線兩點式方程、直線方程的對稱及圓的方程逐項判斷即可.【詳解】若一條直線的斜率為tanα，，此時α而直線的傾斜角的范圍為0,π由直線的兩點式方程可知過不同兩點A的直線方程為y?y但是兩點所在直線不能與坐標軸垂直或平行，故B錯誤.根據AB=x?易得圓的方程為：x?x當截距為0時直線方程為y=1故選：ABD.【變式5-1】3.（2021秋·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知圓直徑的兩個端點為A1,0，B0,22【答案】x?【分析】由題知圓心坐標為12【詳解】解：因為圓直徑的兩個端點為A1,0，B所以圓心坐標為12,2所以圓的方程為x?1故答案為：x?【變式5-1】4.（2022秋·山西太原·高二校聯(lián)考階段練習）已知線段PQ的端點Q的坐標為（﹣2，3），端點P在圓C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上運動．(1)求線段PQ中點M的軌跡E的方程；(2)若一光線從點Q射出，經x軸反射后，與軌跡E相切，求反射光線所在的直線方程．【答案】(1)（x﹣3）2+（y﹣2）2=1(2)4x﹣3y﹣1=0或3x﹣4y﹣6=0【分析】（1）設M（x，y），P（x0，y0），由題意得x0?22（2）先求得Q關于x軸對稱點Q'坐標，即可設出直線l的方程，根據直線l與E相切，即可求得直線l的斜率k，整理即可得答案.（1）設M（x，y），P（x0，y0），由題意得x0整理得x0=2x+2y整理得：軌跡E的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（2）由題意得Q（﹣2，3）關于x軸對稱點Q'（﹣2，﹣3），由題意得過點Q'（﹣2，﹣3）的直線斜率存在，且設為k，所以直線l：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0因為直線l與E相切，所以d=|3k?2+2k?3|所以（5k﹣5）2=k2+1，整理得25（k2﹣2k+1）=k2+1，所以24k2﹣50k+24=0，即（3k﹣4）（4k﹣3）=0，解得k=43或所以反射光線l：y+3=43(x+2)【變式5-1】5.（2022·全國·高三專題練習）已知A(1,0)，B(3,0)是圓C直徑上兩個端點，則圓C的方程為，若直線y=kx截圓C所得的弦長為3，則k=.【答案】(x?2)2+【分析】由直徑上的兩個端點可直接求出中點坐標為圓心，端點距離的一半為半徑，進而寫出圓C的方程；再由圓心到直線的距離公式結合垂徑定理即可求出斜率.【詳解】解：因為A(1,0)，B(3,0)是圓C直徑上兩個端點所以AB所以圓心為2,0，半徑為1，故圓的標準方程為(x?2)2由垂徑定理得，圓心到直線的距離為d=即|2k|k故答案為：(x?2)2+y題型6圓系方程法【例題6】（2023秋·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學校考期末）已知圓C1:x(1)求圓C1與圓C(2)求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.【答案】(1)2(2)x?【分析】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心C1（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2+y2?4x+2y+λx2+【詳解】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即x2+y所以圓C1的圓心0,1到直線x?y?1=0的距離為d=則AB22=所以公共弦長為23（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2則x2由圓心21+λ,?1?λ1+λ在直線2x+4y=1上，則所求圓的方程為x2+y解法二：由（1）得y=x?1，代入圓C2化簡可得2x2?4x?1=0當x=2+62時，y=62設所求圓的圓心坐標為a,b，則a?2+62所以r2所以過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為x?【變式6-1】1.（2021·全國·高二期末）以圓C1：x2+y2A．(x?1)2+(y?1)C．x+352【答案】B【分析】首先兩圓相減，求公共弦所在的直線方程，和圓心連線的方程聯(lián)立求圓心，再根據弦長公式求半徑，最后表示圓的方程.【詳解】∵圓C1:x2+y∴兩圓相減可得公共弦方程為l:2x?2y=0，即x?y=0又∵圓C1:x2圓C2:∴C1C∴聯(lián)立x+y+2=0x?y=0∵(?2,0)到公共弦的距離為：d=?2?0∴公共弦為直徑的圓的半徑為：r=3∴公共弦為直徑的圓的方程為x+12故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是兩圓相交時，兩圓相減后的直線方程是兩圓公共弦所在的直線方程.【變式6-1】2.（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）經過直線2x+y?6=0與圓C:xA．(x?4)2+(y?2)C．(x?4)2+(y+2)【答案】C【分析】當所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最?。缓髮⒔Y合圖形求解圓心和半徑即可求解；【詳解】

由題可知，當所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最?。畧AC:x2+所以圓心坐標為C2,?3弦心距d=2×2?3?622接下來求解所求圓的圓心位置P：kCP?k過圓C:(x?2)2+(y+3)2=9的圓心和直線最小圓的圓心為x?2y?8=0與直線2x+y?6=0的交點，解方程組可得4,?2，所求面積最小的圓方程為(x?4)2故選：C．【變式6-1】3.（2023·江蘇·高二專題練習）求經過直線x+y=0與圓x2+y【答案】x【分析】法一：聯(lián)立直線與圓的方程求交點，根據三點在圓上，應用待定系數法求圓的方程；法二：設所求圓的方程為x2+y【詳解】法一：解方程組x+y=0x2+y2∴直線與圓交于點A(1,?1),B(?4,4)．設所求圓的方程為x2+y將A，B，P的坐標代入，得1+1+D?E+F=0????????16+16?4D+4E+F=01+4?D?2E+F=0?????，解得故所求圓的方程為x2法二：設所求圓的方程為x2又P(?1,?2)在圓上，則(?1)2+(?2)故所求圓的方程為x2+y

【變式6-1】4.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀﹫A心在直線x?y?4=0上，且過兩圓x2+y2?4x?6=0【答案】x?3【分析】設出圓系方程x2【詳解】由題意設圓方程為x2整理得x2+y所以21+λ?2λ所以圓方程為x2+y故答案為：(x?3)2題型7對稱相關問題【例題7】（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┮阎獔AC:x2+y2A．(x+3)2+(y?4)C．(x+6)2+(y?8)【答案】D【分析】圓關于點對稱只是圓心的位置發(fā)生了變化，因此只需求圓心關于點(?3,4)對稱后的坐標即可解決.【詳解】圓C:x2+y2(0,0)關于(?3,4)對稱的點為(?6,8)，圓C對稱后只是圓心位置改變，圓的半徑不會變化，仍為5，因此所求的圓的方程為(x+6)2故選：D【變式7-1】1.（2022秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知圓C關于直線x?y+1=0對稱的圓的方程x?12+y?1A．x2+y+2C．x2+y?2【答案】C【分析】根據圓關于直線對稱，求出圓C的圓心即可求解，由點關于直線對稱列出方程即可.【詳解】因為圓x?12+y?1設(1,1)關于x?y+1=0的對稱點C(x,y)，則y?1x?1×1=?1x+1即圓C的圓心為(0,2)，半徑為1，所以方程為x2故選：C【變式7-1】2.（多選）（2022秋·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）已知圓C:x?32+A．直線l與圓C一定相交B．若m<4C．若m=1，則圓C關于直線l對稱的圓的方程是x+1D．若m=1，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，P為圓C上任意一點，當PB=6時，則【答案】BCD【分析】先確定直線是動直線，舉例可說明A錯誤；利用點到直線的距離公式列不等式可說明B正確；確定圓心關于直線x+y?2=0的對稱點，則可求對稱圓的方程，可知C的正誤；數形結合判斷D的正誤.【詳解】對于A，直線l:mx+y?2=0是繞點(0,2)轉動的動直線，和圓C:x?32+y?32=4不一定相交，比如對于B，令d=|3m+1|m2對于C，設圓心(3,3)關于l:x+y?2=0的對稱點為(a,b),則b?3a?3解得a=?1b=?1，故對稱圓的方程為x+1對于D,如圖示，當PB和圓相切時，∠PBA最大或最小，此時|PB|=|BC故選：BCD.【變式7-1】3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）從點P2,3射出兩條光線的方程分別為：l1:4x?3y+1=0和l2:3x?4y+6=0，經x【答案】(x+3)【分析】分別求出l1和l2的對稱直線，利用直線與圓相切列方程求出【詳解】設l1:4x?3y+1=0關于x軸的對稱直線為則點P2,3關于x軸的對稱點P'2,?3又l1:4x?3y+1=0與x軸的交點Q?14同理l2:3x?4y+6=0關于x因為l1'和l2所以4a+3b+142+∴a=?3,b=2,∴所求圓的方程為(x+3)2故答案為：(x+3)2【變式7-1】4.（2022秋·重慶江北·高二?？计谀┮阎獔AC的圓心在第一象限內，圓C關于直線y=13x對稱，與y軸相切，被直線y=?x(1)求圓C的方程；(2)若點P62，【答案】(1)x?3(2)x=62或【分析】（1）結合點到直線的距離公式、弦長公式求得a,b,r，由此求得圓C的方程.（2）根據過P的圓的切線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得切線方程.【詳解】（1）由題意，設圓C的標準方程為：x?a2∵圓C關于直線y=13x對稱，所以圓心a,b在直線y=∵圓C與y軸相切：∴r=a=3b①，點Ca,b到y(tǒng)=?x即x+y=0的距離為：d∵圓C被直線y=?x截得的弦長為22，∴結合①有：9b2=8又b>0，∴b=2，r=a=3b=3∴圓C的標準方程為：x?32（2）當直線l的斜率不存在時，直線方程為：x=62當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，則方程為y?2=k(x?62)，即又圓C的圓心為32,2由32k?2所以直線方程為y?2=?5+42即直線l的方程為x=62或5+4【變式7-1】5.（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚中市第二高級中學校考期末）已知圓C1:x+22+y?32=1，圓C2:x?32【答案】x+22+【分析】求出圓C1的圓心坐標關于x軸的對稱點坐標，即可得圓C1關于x軸的對稱圓C1【詳解】解：因為圓C1:x+22+因為圓心C1?2,3關于x軸的對稱點為C1'所以圓C1關于x軸的對稱圓的方程為x+2由題意，設動點M關于x軸的對稱點為M'，則M'在圓所以PM+故答案為：x+22+y+3題型8阿波羅尼斯圓問題【例題8】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點A(?1,0)和B(2,1)，且該平面內的點P滿足PA=2PB，若點P的軌跡關于直線mx+ny?2=0m,n>0A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】由題意計算得P的軌跡方程為(x?5)2+(y?2)【詳解】設點P的坐標為x,y，因為PA=2PB即x+12所以點P的軌跡方程為(x?5)2因為P點的軌跡關于直線mx+ny?2=0m>0,n>0所以圓心5,2在此直線上，即5m+2n=2，所以2m+5n當且僅當4nm=25m所以2m+5故選：B.【變式8-1】1.（2023春·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數λ（λ>0且λ≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A?3,0，動點M滿足MA=2MO，得到動點M的軌跡是阿氏圓C.若對任意實數k，直線l：y=kx?1A．?13,13C．?15,15【答案】B【分析】設點Mx,y，求出動點M的軌跡圓C的方程，再求出直線l過定點坐標，依題意點1,b在圓C【詳解】設點Mx,y，∵MA=所以動點M的軌跡為阿氏圓C：x2又直線l:y=kx?1+b恒過點若對任意實數k直線l:y=kx?1+b與圓∴1,b在圓C的內部或圓上，所以1+所以b2≤14，解得即b的取值范圍為?14故選：B【變式8-1】2.（多選）（2022秋·福建廈門·高三廈門雙十中學?？茧A段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點的軌跡是圓．”后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，點P滿足PAPB=2，點PA．曲線C的方程為xB．直線3x+4y=0與曲線C有公共點C．曲線C被x軸截得的弦長為4D．△ABP面積的最大值為2【答案】ACD【分析】通過阿氏圓的定義結合PAPB=2通過計算圓心到直線3x+4y=0的距離是否小于等于半徑，從而判斷B的正確性；計算圓心到x軸的距離d，結合d2+l22=rAB的長度確定，所以△ABP面積的最大值即為點P到AB距離的最大值，從而判斷C的正確性.【詳解】設Px,y對于選項A，因為PAPB=2，所以x?1對于選項B，因為曲線C為x2+y2?10x+17=0，所以圓心為5,0，半徑為22，計算圓心所以直線3x+4y=0與曲線C沒有公共點，故B錯誤；對于選項C，曲線C的圓心在x軸上，所以被x軸截得的弦即為直徑，所以曲線C被x軸截得的弦長為42對于選項D，因為A(1,0)，B(3,0)，所以|AB|=2,故S△ABP而曲線C為x2+y2?10x+17=0，所以y故選：ACD【變式8-1】3.（2023·江蘇·高二專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值λλ≠1的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系xOy中，A?2,0，B4,0，點P滿足PAPB=①軌跡C的方程為x+42②在x軸上存在異于A,B的兩點D,E，使得PDPE③當A,B,P三點不共線時，射線PO是∠APB的角平分線.④在C上存在點M，使得MO=2以上說法正確的序號是．【答案】②③【分析】利用求軌跡方程的方法確定軌跡C的方程可