中考專題訓(xùn)練一三角形的綜合

1.如圖，在△A8C中，BC=a厘米，AC=b厘米，AB=c厘米，且小b,c滿足等式

Vc-10+|?-6|+(2c-2。-b)2=0.

(1)/XABC是直角三角形嗎？請說明理由；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段AB上以1厘米/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為，秒.

①當(dāng)f=5秒時(shí)，求△ACP的面積；

②當(dāng)ABC尸為等腰三角形時(shí)，求f的值.

，八

2.在△ABC中，M是3c邊的中點(diǎn).

(1)如圖1,HD,CE分別是△A8C的兩條高，連接M。，ME；則與M七的數(shù)量關(guān)

系是.

(2)如圖2,點(diǎn)。，E在NBAC的外部，△A3。和△ACE分別是以AS,AC為斜邊的直

角三角形，且N8AQ=NC4E=30°,連接M。，ME.

①判斷(1)中MO與ME的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；

②求NOME的度數(shù).

3.如圖，在△ABC中，NAC8=90°,AB=\0cm,BC=6cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每

秒1cm的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(r>0).

(1)把△ABC沿著過點(diǎn)P的直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，請求出此時(shí)/的值.

(2)是否存在，值，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出結(jié)果；若不存在，請

說明理由.

(3)現(xiàn)把△A3C沿著直線8P翻折，當(dāng)，為何值時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線ABE

備用圖

4.如圖1,AB=AC,NBAC=90°,直線AE是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，8D_LAE于。，CEJ_AE

于E,則AAOB絲△CEA.

(1)［線形訓(xùn)練］如圖2,RtZXABC中，AB=AC,NB4C=90°,直線4E是經(jīng)過點(diǎn)4的

任一直線，BO_LAE于。，CEJ_AE于E,證明：BD=DE+CE.

(2)［問題創(chuàng)設(shè)］如圖3,在△ABC中，AB=AC,若頂點(diǎn)A在直線加上，點(diǎn)。，E也在直

線m上，如果/班。=/4。8=乙4七。=100°,那么(1)中結(jié)論還成立嗎？如果不成

立，BD,DE,CE三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

(3)［發(fā)散探究］如圖4,把等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已

知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上，頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，若另一

頂點(diǎn)K(a,-2a+6)落在第匹象限，求G的值.

5.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,于點(diǎn)￡).

(1)如圖I,點(diǎn)、E、產(chǎn)分別在A8,4c上，且NSr=90°.求證：BE=AF.

(2)點(diǎn)M,N分別在直線ADAC上，且NBMN=90：

①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A,D之間，且NAMN=30°時(shí)，已知AB=屈,直接寫出線段DM的

長.

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)，求證：AB+AN=^/2AM.

6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A在x軸正半軸上，B在y軸正半軸上，且QA=2,OB=4,以

BA為腰作等腰直角△ABC.

(1)如圖1,A為直角頂點(diǎn)且C點(diǎn)落在第一象限時(shí)，請分別寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：

4,B,C；

(2)如圖2,。點(diǎn)落在第三象限，過。作CDJ_x軸交x軸于Z)點(diǎn)，求8。的長；

(3)如圖3,請求出所有以A8為邊的等腰直角△ABC中。點(diǎn)的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果)

7.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)4為線段8c外一動(dòng)點(diǎn)，且8C=a,AB=b,填空：當(dāng)點(diǎn)A位于

時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為(用含mb的式子表示)；

(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段8C外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=4,AB=\,如圖2所示，分別以A8,AC

為邊，作等邊三角形48。和等邊三角形4CE,連接8,BE.

①求證：DE=CD.

②直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(5,

0),點(diǎn)尸為線段A8外一動(dòng)點(diǎn)，且附=3,PM=PB,NBPM=90°,請直接寫出線段

AM長的最大值.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(b,0),C(0,3)且

a,b滿足|a+4|+(Z?-4)2=0,連接AC、BC.

(1)如圖1,若AC=8C=5,點(diǎn)M是直線8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AM最短時(shí)，求AM的

值；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)P是線段A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PEJLAC于點(diǎn)E,PFA.

于點(diǎn)尸，求PE+P/的值；

(3)如圖2,點(diǎn)過C作直線軸，過點(diǎn)3作/2〃4c與/1交于點(diǎn)。，與y軸交于點(diǎn)E,

AN、EN分別平分NC48、NCEB,求NANE的度數(shù).

線段CF的延長線交AB于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)C尸_LA。時(shí)，求證：DC=BE；

(2)在(1)的條件下，求證：AO-2DF=CE；

(3)如圖2,點(diǎn)尸為線段A尸上一點(diǎn)，連接BP,當(dāng)線段AB關(guān)于BP的對稱圖形在8尸

所在的直線上，且時(shí)，4'8交4c于G,求：N8GC的度數(shù).

10.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(a,0),B(b,0),C(2,7),連接AC,

交y軸于點(diǎn)。，且a=知-125,(Vb)2=5.

(1)求△AOC的面積；

(2)求點(diǎn)O的坐標(biāo)；

(3)如圖②，y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積與△ABC的面積相等？若存在,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

11.在△ABC中，4B=4C,點(diǎn)。在邊8。所在的直線上，過點(diǎn)。作DF〃AC交直線AB于

點(diǎn)F,OE〃A3交直線AC于點(diǎn)E.

（1）探究問題：當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上時(shí)，如圖①，求證：DE+DF=AC；

（2）類比探究：當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)。在邊8C的反向延長線

上時(shí)，如圖③.請分別寫出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系

是,;并對圖②的結(jié)果加以證明；

（3）實(shí)踐應(yīng)用：若AC=6,DE=4,貝1」。尸=.

FE

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,以線段。4為邊在第四象限內(nèi)作

等邊三角形AO8,點(diǎn)。為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC>1）,連接BC,以線段BC為邊在

第四象限內(nèi)作等邊三角形CB。，直線04交），軸于點(diǎn)E.

（1）求證：OC=AO.

（2）NC4。的度數(shù)是；

（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,。為頂點(diǎn)的三角形是筆腰三角形？

13.定義：把斜邊重合，且直角頂點(diǎn)不重合的兩個(gè)直角三角形叫做共邊直角三角形.

圖3

AB=3,4C=4,BD=2,

CD=y/21，說明△ABC和△Q8C是共邊直角三角形.

（2）問題探究：如圖2.5c和△D8C是共邊直角三角形，E、尸分別是4。、BC的

中點(diǎn)，連接后立求證

（3）拓展延伸：如圖3.△ABC和△Q8C是共邊直角三角形，且BO=CO,連接AQ,

求證：AO平分N8AC.

14.已知：如圖I,B,C,E三點(diǎn)在一條直線上，ZiABC和△EC。均為等腰直角三角形，

NAC8=NOCE=90°,連接BD,AE,8D與AE的延長線交于點(diǎn)M.

（1）AE與30有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由；

（2）探究：將圖1中的△ECO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°）,如圖

2所示.

①問：（1）中的結(jié)論還成立？若成立，請說明理由；

②連接MC,如圖3所示，求證：MC平分N3ME

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為邊8C上一點(diǎn)，且NAOE=NB,BD=CE.

(1)求證：AD=ED；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。F_1MC于凡作/B4C平分線4M分別交OF、OC于G、M,

求證：AG=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG并延長交A8于"，若A"=BO,求N5AC的

度數(shù).

16.小文解答這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖1,在△ABC中，N4C8=90°,BE是AC邊上的中

線，點(diǎn)D在BC邊上,CD：BD=i：2,A。與BE相交于點(diǎn)P,求星的值.

PD

小文經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)，如圖2,過點(diǎn)A作A〃〃5C,交BE的延長線于點(diǎn)R通過構(gòu)造

經(jīng)過推理和計(jì)算就能使問題得到解決.

(1)解決問題：請你根據(jù)小文的解題思路，完成求星的值的過程；

PD

(2)拓展應(yīng)用：參考小文思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3,在△A8C中，ZACB=9O0,點(diǎn)。在3c的延長線上，4Z)與AC邊上的中線8E

的延長線交于點(diǎn)P,DC：BC：AC=\t2：3.

①求券的值；

PD

②若CO=2,求B尸的長.

(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊黂tZXABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)。恰為4C中點(diǎn)時(shí)，連接求證：BD

=AE+DE；

(3)如圖(3),在等腰RtAABC不斷運(yùn)動(dòng)的過程中，若滿足8。始終是NABC的平分

線，試探究：線段OA、O。、BD三者之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若有，請直接寫

出結(jié)論；若沒有，請說明理由.

18.問題情景：如圖1所示，已知，在△A8C中，AC=BC,ZACB=90°,A￡＞是△ABC

的中線，過點(diǎn)。作CEJ_4￡),垂足為M,且交A8于點(diǎn)￡

(1)小虎通過度量發(fā)現(xiàn)NBCE=/C4。，請你幫他說明理由；

(2)小明在圖中添加了一條線段CM且CN平分N4C8交A。于點(diǎn)N,如圖2所示，

請找出一條與CN相等的線段，并說明理由；

(3)小剛在(2)的基礎(chǔ)上，連接。七，如圖3所示，已知AQ=6,CE=4,請求出。七

的長.

19.如圖1,等邊三角形BCZ)和等邊三角形4CE,連接AZ),BE.其中AOBC.

(1)求證：AD=BE；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、8在一條直線上時(shí)，AO交CE于點(diǎn)凡BE交CD于點(diǎn)G,求

證：BG=DR

（3）利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線AO,BE交于點(diǎn)、H,連接。7,若DH=3,CH=5,直

接寫出84的長.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0,a）,（b,0）,

（Ac）（如圖所示），其中a,4c滿足關(guān)系式（a-2）2+后§=0,|c-4|W0.

（1）求〃，b,c的值；

（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（相，1）,是否存在點(diǎn)P,使44。尸的面積與△ABC

的面積相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)附，使△A8M為等腰三角形，若存在，求出M的坐標(biāo)，若

不存在，請說明理由.

參考答案：

1.如圖，在△ABC中，BC=a厘米，AC=b厘米，AB=c厘米，且a,6c滿足等式

Vc-10+|t7-6|+（2c-2a-b）2=0.

（1）△A6C是直角三角形嗎？請說明理由；

（2）點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)在線段AB上以1厘米/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為f秒.

①當(dāng)1=5秒時(shí)，求△ACP的面積；

②當(dāng)△BCP為等腰一:角形時(shí)，求，的值.

【分析】（1）由非負(fù)性可求mb,c的值，由勾股定理的逆定理可求解;

（2）①由二角形的面積公式可求CH的長.由二角形面積公式可求解：

②分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：（1）/XABC是直角三角形，理由如下：

*?*Vc-10+l^-6|+（2c-2a-b}2=0.

Ac-10=0,a-6=0,2c-2G-Z?=0,

/.c=10,〃=6,b=8,

:?BC=6cm,AC=Scm,AB=10cm,

VAB2=I00,Ad+Bd=36+64=100,

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

???△ABC是直角三角形；

（2）①如圖，過點(diǎn)C作CH_LA8于〃，

.?.但山=罵皿

105

當(dāng)1=5秒時(shí)，則AP=5cm,

：.S^CP=—XAPXCH=12(cw2)；

2

②當(dāng)BC=BP=6時(shí)，則AP=4cm,

4

:.t=—=4,

1

當(dāng)C'P=6C時(shí)，

:?PH=BH,

V^=7BC2-CH2=^36-^=^^?

：.BP=^-cmf

5

14

：.AP=AB-PB=—cm,

5

14

.14

15

當(dāng)PC=PB時(shí),

,：PC2=CH2+PH2,

：,PB2=^-+2,

255

工PB=5cm,

.*.AP=5cmf

.*./=—=5,

1

綜上所述：/的值為5或4或單.

2.在△ABC中，M是8。邊的中點(diǎn).

(1)如圖1,BD,CE分別是△ABC的兩條高，連接M。，ME；則MO與ME的數(shù)量關(guān)

系是MD=ME.

(2)如圖2,點(diǎn)。，￡在N3AC的外部，ZUBD和△■(；￡：分別是以A8,AC為斜邊的直

角三角形，且NB4O=NC4E=30°,連接MO,ME.

①判斷(1)中MO與ME的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；

②求的度數(shù).

AA

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到可得結(jié)論；

（2）①分別取AB,AC的中點(diǎn)尸，H,連接FM,HE,HM,由“SAS”可證△QFM

迫叢MHE,可得MZ）=MR

②由全等三角形的性質(zhì)可得/F￡>M=N”ME,由平行線的性質(zhì)可求解.

【解答】解：（1）?:BD,CE分別是△A5C的兩條高，的是8c邊的中點(diǎn)，

：.EM=—BC=BM,DM=1C=CM,

22

工MD=ME,

故答案為：MD=ME；

（2）①M(fèi)￡>=ME仍然成立；

理由如下：如圖2,分別取AB,AC的中點(diǎn)F,",連接尸D,FM,HE,HM,

:點(diǎn)凡M分別是AB,8C的中點(diǎn),

???E0是△ABC的中位線.

：.FM//AC,FM=-AC.

2

："BFM=NBAC.

???〃是AC的中點(diǎn)，

???E”是RtZXAEC的中線.

：.EH=-AC=AH.

2

：.FM=EH.

同理可證，M"=OF.

?：DF=—AB=AF,

2

/.ZM)A=ZMD.

:.ZBFD=ZFDA+ZFAD=2ZFAD.

???/R4O=30°,

/.ZBFD=60°.

AZDFM=^BFLH-ABFM=^a+ZBAC.

同理可證，M〃E=60°+ZBAC.

???4DFM=/MHE.

在△OFM和△M”E中，

DF=MH

<ZDFM=ZMHE?

FM=HE

:ADFM匕4MHECSAS）.

:?MD=ME；

②?：HMaAB,

???NFMH=NBFM.

,:△DFM"AMHE,

:.NFDM=NHME,

；?NDME=NFMD+NFMH+NHME=NFMD+NBFM+NFDM=180°-NBFD=

120°.

3.如圖，在△43C中，ZACB=90°,AB=\0cm,BC=6cm,若點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每

秒Ie”?的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（r>0）.

（1）把△ABC沿著過點(diǎn)P的直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，請求出此時(shí)f的值.

（2）是否存在/值，使得△43P為等腰三角形？若存在，直接寫出結(jié)果；若不存在，請

說明理由.

（3）現(xiàn)把△ABC沿著直線BP翻折，當(dāng)f為何值時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上.

【分析】（1）連接P&根據(jù)勾股定理求出4C,根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，得到答案;

（2）分4P=A8、PA=PB,朋=BP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）分點(diǎn)P在AC上、點(diǎn)P在4C的延長線上兩種情況，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定

理計(jì)算，求出，的值.

【解答】解：(1)如圖1,連接P8,

在RtZ\ABC中，ZACT=90q,AB=\Ocm,BC=6cm,

則4C=dAB2—Bc2=dlo2?62=8(an)，

??,△ABC沿著過點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，

是A8的垂直平分線，

:.PA=PB,

在RtZXBPC中，PB2=PC2+BC2,即B42=(8-B4)2+62,

解得：%=至，

4

?，=生

"4'

(2)當(dāng)AP=A8=10cm時(shí)，/=10；

當(dāng)B4=P8時(shí)，由(1)可知，出=在，

4

?，25

4

當(dāng)時(shí)，AP=2AC=\2cm,

：.t=[2,

綜上所述：AABP為等腰三角形時(shí)，/的值為10或孕或12；

4

(3)當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，如圖2,BC=BC=6cm,PC=PC,ZBCB=/PCB=

90°,

：.ACf=10-6=4cw,

1,2f2

在RtZ\APC'中，AP=CA+C/，即4/=42+(S-AP),

解得：AP=5,

Z=5；

當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，如圖3,BC=BC=6cm,PC'=PC,/BCB=/PCB

=90。,

：.ACf=10+6=16。%，

在RtZ\APC'中，AP1=C,A^+C,產(chǎn),即4尸2=脩2+(AP-8)2,

解得：4P=20,

，f=20；

綜上所述：當(dāng)，為5或20時(shí)，點(diǎn)C恰好落在直線AB上.

A\

A

4.如圖1,AB=AC,ZBAC=90°,直線AE是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BD_LAE于O,CE^AE

于E,則

（1）［線形訓(xùn)練］如圖2,RlZ\4BC中，AB=AC,NBAC=90°,直線AE是經(jīng)過點(diǎn)A的

任一直線，8O_LAE于￡>,CELAETE,證明：BD=DE+CE.

（2）［問題創(chuàng)設(shè)］如圖3,在△ABC中，AB=AC,若頂點(diǎn)A在直線用上，點(diǎn)、D,E也在直

線機(jī)上，如果/84。=/4）8=/487=100°,那么（1）中結(jié)論還成立嗎？如果不成

立，BD,DE,CE三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

（3）［發(fā)散探究］如圖4,把等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，己

知直角頂點(diǎn)〃在y軸正半軸上，頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，若另一

頂點(diǎn)K（m-24+6）落在第四象限，求〃的值.

Ay|G

丈二樂

K

圖1圖2圖3圖4

【分析】(1)由“A4S”可證可得BO=AE,AD=CE,可得結(jié)論;

(2)由“44S”可證△AB。絲△€>!￡：,可得8O=AE,AD=CE,可得結(jié)論；

(3)由“A4S”可證△GHNgAHKP,可得NG=HP,NH=PK,列出等式可求解.

【解答】(1)證明：???NB4Z>FNCAO=90°,NABD+NBAD=90°,

：.ZABD=ZCAD,

在△A3。和△CAE中，

rZAEC=ZBDA

<NABD=/CAD，

AB=AC

.?.△ABD^AGAE(A4S)

：,BD=AE,AD=CEf

9：AE=AD+DE,

：.BD=DE+CE；

(2)結(jié)論不成立，DE=CE+BD,理由如下：

VZ5AD+ZCAD=1800-N/lO8=80°,NE4C+NA4O=1800-ZBAC=80°,

JZABD=NEAC,

在△ABO和△CAE中，

2AEC=NADB

<ZABD=ZEAC>

AB=AC

(AAS),

:.BD=AE,AD=CEf

*：DE=AD+AEt

：.DE=CE+BD；

(3)如圖4,過點(diǎn)G作GN_Ly軸于N,過點(diǎn)K作KP_Ly軸于P,

設(shè)OH=b,

:?NGNH=ZKPH=/GHK=90°,

J4HGN+/GHN=ZGHN+ZKHP=90°,

NNGH=NKHP,

又,：HG=HK,

:?△GHN/MHKP(A4S),

:,NG=HP,NH=PK,

???頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，頂點(diǎn)K(a,-加+6)落在第四象限,

:?GN=NO,PK=a,0P=2a-6,

:?NH=PK=a,HP=2a-6+b=NG,

/.a+b=2a-6+b,

??a=6.

5.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,于點(diǎn)O.

（1）如圖1,點(diǎn)E、尸分別在A8,4c上，且NED尸=90°.求證：BE=AF.

（2）點(diǎn)M,N分別在直線ADAC上，且/8MN=90°.

①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A,。之間，且NAMN=30°時(shí)，已知A8=正，直接寫出線段DM的

長.

【分析】（1）先判斷出NB4O=NC4O=45°,進(jìn)而得出NCAO=NB,再判斷出NBO石

=/AZ）F,進(jìn)而判斷出△BOEgZ\ADF,即可得出結(jié)論；

（2）①由直角三角形的性質(zhì)可求解；

②先判斷出AM=PM,進(jìn)而判斷出N8MP=N4MV,判斷出△AMNgZXPMB,即可判

斷出AP=A8+4M再判斷出力P=&AM,即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：VZBAC=90°,AB=ACf

???NB=NC=45°,

VAD±BC,

:?BD=CD,ZADB=90Q,ZBAD=ZCAD=45°,

???NC4D=NB,AD=BD,

'：^EDF=ZADfi=90°,

NBDE=NADF,

在△8DE與△4。尸中，

rZBAD=ZCAD

'AD=BD，

ZBDF=ZADF

，4BDE烏AADFCASA),

：.BE=AF；

(2)解：①如圖3,

圖3

'：AB=y/2=AC,ZBAC=90c,

:?BC=2,

???AB=AC,ADA.BC,

；?BD=CD=l,

VZAMN=30(>,NBMN=90°,

：.ZBMD=60°,

：?NDBM=30°,

???8O=V^OM=I,

??.QM=返；

3

②證明：如圖2,過點(diǎn)M作MP_LAM,交AB的延長線于點(diǎn)P,

*：ZR\M=45°,

???NP=NB4M=45°,

：.AM=PM,

VZBMN=ZAMP=90Q,

???NBMP=NAMM

???/OAC=NP=45°,

在△AMN與△PMB中，

rZAMN=ZPMB

<AM=PM，

ZDAC=ZP

???△AMN也△PMB(ASA),

:.AN=PB,

：.AP=AB+BP=AB+AN,

在RtZ\4MP中，NAMP=90°,AM=MP,

：.AP=42AM,

：.AB+AN=^[2AM.

6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A在x軸正半軸上，8在y軸正半軸上，且。A=2,0B=4,以

84為腰作等腰直角△ABC.

(1)如圖1,A為直角頂點(diǎn)且C點(diǎn)落在第一象限時(shí)，請分別寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：A⑵

0),B(0,4),C(6,2)；

(2)如圖2,。點(diǎn)落在第三象限，過。作CO_Lx軸交x軸于。點(diǎn)，求B。的長；

(3)如圖3,請求出所有以48為邊的等腰直角△ABC中。點(diǎn)的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果)

【分析】(1)如圖1中，過點(diǎn)C作C”_Lx軸于點(diǎn)H.證明△AOBgZ\CHA(A4S),推

出OA=CH=2,OB=AH=4,可得結(jié)論；

(2)證明△AOC絲△60A(AAS),推出C0=AO=2,AD=OB=4,再利用勾股定理

解決問題即可；

(3)利用圖象法解決問題即可.

【解答】解：(1)如圖1中，過點(diǎn)C作C”_Lx軸于點(diǎn)

圖1

VZAOB=ZAHC=ZBAC=90°,

???NBAO+NC4H=90°,NCAH+NACH=90°,

：.ZBAO=ZACH,

在NAOB和△CHA中，

rZA0B=ZCHA

?ZBA0=ZACH，

AB=AC

???△AOB且△CH4(A4S),

.\OA=CH=2,OB=AH=4,

???OH=OA+AH=2+4=6,

：.C(6,2),A(2,0),8(0,4),

故答案為：(2,0),(0,4),(6,2)；

(2)如圖2中,

VCD±AD,

AZADC=90°,

???NAO8=/A￡>C=NC4B=90°,

???NC4D+NO48=90°,NOA8+N48O=90°,

：.ZCAD=ZABO,

在△AOC和△BOA中，

2ADC=NBOA

?ZDAC=ZAB0，

AC=BA

ACAAS)，

：.CD=AO=2,AD=OB=4,

：,OD=AD-AO=2,

???NOO8=90°,

D5=22

VOD-H3B=V22+42=2臟;

(3)如圖3中，滿足條件的點(diǎn)C有6個(gè)，坐標(biāo)分別為。(6,2),C2(-2,-2),

C3(-4,2),C4(4,6),C5(-1,1),C6(3,3).

7.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點(diǎn)A為線段8C外一動(dòng)點(diǎn)，且8C=a,AB=b,填空：當(dāng)點(diǎn)A位于

C8的延長線上時(shí),線段AC的長取得最大值，且最大值為a+b(用含b的式

子表示)；

(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=4,4B=1,如圖2所示，分別以4B,AC

為邊，作等邊三角形A8。和等邊三角形ACE,連接CO,BE.

①求證：BE=CD.

②直接寫出線段長的最大值.

(3)拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,

0),點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且以=3,PM=PB,ZBPM=90°,請直接寫出線段

4M長的最大值.

(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4O=AB,AC=AE,N84D=NCAE=60°,推出△

C4。g△E48,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BEx

②由于線段3七長的最大值=線段。的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

(3)連接BM,將△4PM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBM連接AM得到△人?%

是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段

84的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值；過戶作PE_Lx軸于E,根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)???點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=mAB=b,

???當(dāng)點(diǎn)4位于C8的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+A5=a+b,

故答案為：C8的延長線上，a+bx

(2)①CD=BE,

理由：與△4CE是等邊三角形，

：,AD=AB,AC=AE,N84O=NC4E=60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NC4O=NE4B,

在△C4￡＞與中，

'AD二AB

?ZCAD=ZEAB?

AC=AE

:.XCAD94EAB(SAS),

:?CD=BE；

②,??線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

由(1)知，當(dāng)線段8的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)。在C8的延長線上，

，最大值為BD+BC=AB+BC=5,

(3)如答圖1中，連接

??,將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P8N,連接AM

則AAPN是等腰直角三角形，

，PN=R1=3,BN=AM,

YA的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),

：.OA=2,OB=5,

???48=3,

???線段A例長的最大值=線段BN長的最大值，

???當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，如答圖2,

最大值=4B+AN,

在等腰RtZXAPN中，以=3,

：.AN=^[2AP=3&，

???AM長的最大值為3V2+3.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(b,0),C(0,3)且

小6滿足|葉4|+"-4)2=0,連接AC、BC.

(1)如圖1,若AC=BC=5,點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4M最短時(shí)，求4M的

值；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)尸是線段48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PE_LAC于點(diǎn)￡P(guān)F1

BC于點(diǎn)、F,求PE+PF的值；

(3)如圖2,點(diǎn)過C作直線軸，過點(diǎn)8作/2〃AC與人交于點(diǎn)O,與y軸交于點(diǎn)E,

AN、EN分別平分NCAB、NCEB,求NANE的度數(shù).

【分析】(1)過A作垂足為M,此時(shí)AM最短，利用三角形的面積公式可列

方程求出4M的長；

(2)根據(jù)等腰三角形底邊上一點(diǎn)向兩腰作垂線段，兩條垂線段之和等于一腰上的高，因

此有PE+PF=AM,

(3)過N作N尸〃AC〃BE,由角平分線的意義得NANP=NCAN=』NOAC,/ENP=

2

/BEN='/OEB,而NOAC+NOEB=90°,進(jìn)而得到NANE=aX90°=45°.

22

【解答】解：(1)???|〃+4|+(34)2=0,

,?a=-4,6=4,

?"(-4,0),B(4,0),

：.AO=BO=4,

*：AC=BC=5,

如圖1中，當(dāng)AM_LAB時(shí)，4M最短，

,/SMBC-AB^OC=2BC?AM,

22

：.AB*OC=BC*AM,

即:8X3=5?AM,

■??AAMw-—---2--4-；

5

(2)如圖1中，連接PC.

:△ABC,AC=BC,PELAC,PFVBC,

SMBC=SMCP+S^PCB,

.?.A?BC*AM=~^AC*PE4?BC?PF,

222

：.AM=PE+PFf

：.PE+PF=AM=—；

5

⑶?.?OA=O8=4,BE//AC,NAOC=N8OE=900

???NOAC=NO8E,NOBE+NOEB=90°,

???NO4C+NOE8=90°,

過點(diǎn)N作NP〃AC,則NP〃AC〃8￡

ZANP=ZCAN=—ZOAC,

2

4ENP=NBEN=T/OEB,

2

:,/ANP+NENP=Z(ZOAC+ZOEB)=—X90°=45°,

22

???NAN"45°.

01

9.已知：在△ABC中，ZBCA=90°,BC=AC,4。平分NBAC,點(diǎn)尸為線段A。上一點(diǎn),

線段CF的延長線交AB于點(diǎn)E.

（1）如圖1,當(dāng)C產(chǎn)_L4Q時(shí)，求證：DC=BE；

（2）在（1）的條件下，求證：AD-2DF=CE；

（3）如圖2,點(diǎn)P為線段A尸上一點(diǎn)，連接8尸，當(dāng)線段A5關(guān)于8尸的對稱圖形在8萬

所在的直線上，且8尸=4。時(shí)：4'B交AC于G,求：NBGC的度數(shù).

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求乙4CE=/AEC=67.5°,可得

AC=AE,由“SAS”可證△ASgZUED,可得CD=DE,即可求解；

（2）由“ASA”可證△。尸△”/E,可得CD=EH,DF=FH,由“SAS”可證

出△CBE,CE=AH,可得結(jié)論；

（3）先證明△8NP是等邊三角形，可得NNBP=60°,可求NABP=7.5°,由軸對稱的

性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解.

【解答】（1）證明：如圖L連接OE,

B

???NCB4=NCA5=45°,

平分N8AC,

：.ZCAD=ZBAD=22.5°,

*：CF±ADf

AZAFC=ZAFE=90<>，

ZACE=ZAEC=67.5°,

?*?AC=AEi

又???NC4￡>=N8AO=22.5°，AD=AD,

???△AC。g△AEO(SAS),

:,CD=DE,NAC￡>=NAED=90°,

，NC4B+NCOE=180",

；?NEDC=135°，

；?NEDB=45°=NB,

:?BE=DE,

：,BE=CD；

(2)如圖1,過點(diǎn)E作EH〃BC交A。于”,

*：AC=AE,AFLEC,

:?EF=CF,

又「NDFC=NEFH,

:?△DFCWAHFE(ASA),

：,CD=EH,DF=FH,

,:CD=DE=BE,

:?EH=BE,

又???4C=BC=4E,NB=NAEH=45°,

???△AEH經(jīng)△CBE(SAS),

：.CE=AH,

*：AH=AD-DH,

???A。-2DF=CE；

(3)如圖2,連接3P,延長AC至N,使CN=OC,連接BMNP,

*：CN=CD,ZBCN=NACD=9C,BC=AC,

:?△ACWABCN(SAS),

:?BN=AD,4CBN=NCAD=225°,

，N8NC=67.5°,NABN=NCBN+NABC=67.5°,

/./BNC=4ABN,

，A8=AN,

又,：4BAP=NNAP=225°,AP=AP,

???△APBgzMPN(SAS),

：?BP=NP,

;AD=BP,

:?BN=BP=NP=AD,

是等邊三角形，

AZNBP=60°,

??.NABP=7.5°,

V當(dāng)線段AB關(guān)于BP的對稱性形在BF所在的直線上,

:.NABP=N4BP=7.5,

：.ZABA'=\5°,

???NBGC=NB4C+/A84'=6Q°.

10.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(a,0),B(b,0),C(2,7),連接AC,

交y軸于點(diǎn)。，且a=1-125,(五)2=5.

(1)求△AOC的面積；

(2)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積與△ABC的面積相等？若存在,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

得結(jié)論；

(2)連接0C,設(shè)。。=心根據(jù)三角形AOC的面積可求出x的值，則答案可求出；

(3)求出三角形ABC的面積為35,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,y),根據(jù)SMCP=S"D/葉

CDP,可求出y的值，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求出.

【解答】解：(1)加25=5,<Vb)2=5,

'.a=-5,8=5,

VA(①0),B(b,0),

(-5,0),B(5,0),

；?OA=OB=5.

VC(2,7),

ASMOC=—X5X7=17.5；

2

(2)如圖1,連接OC,設(shè)。。=x,

D

圖1

*.*SMOC=S/MD+S^CODf

.-.AX5XX+—XxX2=17.5,

22

，x=5,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,5）；

■:A(-5,0),B(5,0),C(2,7),

/.5MBC=—X(5+5)X7=35,

2

???點(diǎn)P在)，軸上，

，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,y),

VS^ACP=SMDP+SACDP,D(0,5),

???5X|5-y|X2+2><|5-y|X2=35,

22

解得：y=-5或15,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-5)或(0,15)；

11.在△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。在邊8C所在的直線上，過點(diǎn)。作。尸〃AC交直線于

點(diǎn)、F,OE〃AB交直線AC于點(diǎn)E.

(1)探究問題：當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上時(shí)，如圖①，求證：DE+DF=AC,

(2)類比探究：當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)。在邊的反向延長線

上時(shí)，如圖③.請分別寫出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系是DF=

AC+DE,DE=AC+Q-:并對圖②的結(jié)果加以證明：

(3)實(shí)踐應(yīng)用：若4c=6,DE=4,則DF=2或10

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到DF=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)，可得結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到。尸=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可得

結(jié)論；

（3）分兩種情況討論，結(jié)合（1）（2）可求解.

【解答】（1）證明：如圖①，：DF//AC,DE//AB,

???四邊形AFDE是平行四邊形：

：.DF=AE,

'：AB=AC,

:,/B=/C,

?:DE"AB,

:?NEDC=NB,

:./EDC=/C,

，DE=EC,

：.DE+DF=EC+AE=AC；

（2）解：如圖②，,：DF//AC.DE//AB,

???四邊形AFDE是平行四邊形，

：.AE=DF,

?：DE〃AB,

:?/B=/BDE,

*：AB=ACt

:,NB=4ACB,

VZDCE=ZACB,

:./BDE=NDCE,

:?DE=CE,

：.AC+DE=AC+CE=AE=DF,

如圖③，*：DF//AC,DE//AB,

??.四邊形AP-DE是平行四邊形：

：,AE=DF,

?:DE"AB,

:.ZABC=ZBDE,

*：AB=ACf

???ZABC=/ACB,

/./BDE=/DCE,

:.DE=CE=AE+AC=AC+DF,

故答案為：。產(chǎn)=AC+OE；DE=AC+DFx

（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上時(shí)，由（1）可知：DE+DF=AC,

VAC=6,OE=4,

：.DF=2；

當(dāng)點(diǎn)。在邊BC的延長線上時(shí)，由（2）可知：AC+DE=DFt

VAC=6,DE=4,

ADF=10;

故答案為：2或10.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作

等邊三角形A03,點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),連接3C,以線段8c為邊在

第四象限內(nèi)作等邊三角形CBO,直線OA交y軸于點(diǎn)￡

（1）求證：OC=A。.

（2）的度數(shù)是60。；

（3）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NO84=NCBZ）=60°,OB=BA,BC=BD,

則N0BC=N48。，然后可根據(jù)“S4S”可判定△。8（3人48。，由全等三角形的判定

與性質(zhì)可得出結(jié)論；

（2）由△408是等邊三角形知NBOA=NOA8=60°,再由△O8C也/XABD知/BA。

=N8OC=60°,根據(jù)NC4O=I80°-N0A5?NBA。可得結(jié)論；

（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得NE4c=120°,進(jìn)而得出

以A,E,C為頂點(diǎn)